證明的“浪漫”

我國(guó)數(shù)學(xué)家陳省身先生曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)是一門(mén)演繹的學(xué)問(wèn)，從一組公設(shè)，經(jīng)過(guò)邏輯的推理，獲得結(jié)論。”數(shù)學(xué)老師也一直引導(dǎo)我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，要會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，到分析問(wèn)題，最后去解決問(wèn)題。

“三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°”，這是我們?cè)谛W(xué)階段就知道的知識(shí)。記得當(dāng)時(shí)，老師將三角形卡片的三個(gè)角隨意撕開(kāi)，隨后又將頂角拼湊到一起，如圖1所示，三角形的三個(gè)角竟然正好在一條直線上，我很驚訝。下課后，我又用量角器量出三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，計(jì)算發(fā)現(xiàn)，三個(gè)內(nèi)角度數(shù)加起來(lái)確實(shí)等于180°。懵懂的我不禁對(duì)此產(chǎn)生好奇，為什么呢？該如何用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)證明這一現(xiàn)象呢？

上了初中，當(dāng)我學(xué)習(xí)了平行線的性質(zhì)后，再回想“三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°”這一定理時(shí)，我想到了證明這一定理的方法。

我當(dāng)時(shí)想到的方法和畢達(dá)哥拉斯的證明方法是一樣的，如圖2，過(guò)A點(diǎn)作BC的平行線DE，∵BC∥DE，∴∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，∴∠BAC+∠B+∠C=∠BAC+∠DAB+∠EAC=180°，∴在任意三角形中，其內(nèi)角和都為180°。

“反證法”也是常用的證明方法，了解到這一點(diǎn)后，我又思考能否舉出反例來(lái)推翻這一結(jié)論。如圖3，假設(shè)∠ABC+∠ACB+∠BAC≠180°。

我延長(zhǎng)BC，得到射線BE，過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB，可知，∠DCE=∠ABC，∠BAC=∠ACD，所以得到∠BCA+∠ACD+∠DCE≠180°，又因?yàn)锽、C、E三點(diǎn)共線，所以與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立。

數(shù)學(xué)結(jié)論的證明都需要一步步地探索，探索的過(guò)程充滿了驚喜與浪漫。在上述推理探究的過(guò)程中，我總結(jié)了三條證明思路：

（1）分析法：從結(jié)論逆推到條件（即“執(zhí)果索因法”，如拼圖、量角證明）。

（2）綜合法：從條件推得結(jié)論（即“由因?qū)Чā保鐖D2的證明）。

（3）反證法：假設(shè)結(jié)論不成立，由此推導(dǎo)出與已知條件或公理、定理相違背的結(jié)論，從而證明假設(shè)不成立（如圖3的證明）

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們不妨主動(dòng)提出自己的疑惑，積極和老師、同學(xué)互動(dòng)交流，運(yùn)用各種方法，層層遞進(jìn)，來(lái)探求一個(gè)真命題的成立。我相信，你也一定會(huì)感受到證明的“浪漫”和獨(dú)一無(wú)二的成就感。

教師點(diǎn)評(píng)

“證明”確實(shí)是一件很浪漫的事，小作者從小學(xué)遇見(jiàn)的問(wèn)題入手，利用初中學(xué)習(xí)所得，再次去分析問(wèn)題，解決問(wèn)題，切身感受到了數(shù)學(xué)的證明之美，推理之趣，同時(shí)利用自己的收獲，總結(jié)出對(duì)證明的認(rèn)知，也提供了證明的多種途徑，相信會(huì)對(duì)同學(xué)們有所啟發(fā)，有所幫助。

（指導(dǎo)教師：楊石波）