唯有“證”過，才能“理”所當(dāng)然

在生活中，你是否有過憑經(jīng)驗(yàn)做事的經(jīng)歷呢？如果遇到相同的問題，重復(fù)出現(xiàn)多次，你會不會覺得結(jié)果是理所當(dāng)然的呢？在學(xué)習(xí)中，你是否也會如此呢？

比如，蘇科版數(shù)學(xué)教材七（下）第25頁，有這樣一個問題：

畫出三角形的3條中線，你有什么發(fā)現(xiàn)？

當(dāng)時，我畫了好幾條不同形狀的三角形中線，發(fā)現(xiàn)每個三角形的三條中線都是交于一點(diǎn)的。哦，原來三角形的三條中線交于一點(diǎn)呀，真開心，又發(fā)現(xiàn)了一個“真相”！直到我學(xué)習(xí)了第十二章“證明”，才知道當(dāng)初的我多膚淺啊，作圖有誤差，有時眼見還未必真實(shí)呢，探索發(fā)現(xiàn)的結(jié)論不一定都是正確的，必須要經(jīng)過證明才可以。我所發(fā)現(xiàn)的這個“真相”其實(shí)僅僅是一個猜想，必須要去證明才能成為真相！說干就干，我拿起紙筆，開始證明！

如圖1，BE和CD是△ABC的兩條中線，交點(diǎn)為G，連接AG并延長，交BC于點(diǎn)F。求證：AF是△ABC的中線。

說到三角形的中線，大家馬上會想到平分面積，所以聰明的你猜到我接下來使用的方法了嗎？

對了，就是把兩個共邊三角形的面積比轉(zhuǎn)化成線段比。我們先來看圖2，在△ABC中，D為BC上的一點(diǎn)（D不與B、C重合），E在線段AD上（E不與A重合）。因?yàn)椤鰽BD和△ACD同高，所以S△ABD∶S△ACD=BD∶CD。同理S△EBD∶S△Wy47yTwbi09EcX/9u1M7BTMFtMyfNPTKLLFQNGvhjHs=ECD=BD∶CD。所以（S△ABD-S△EBD）∶（S△ACD-S△ECD）=BD∶CD，即S△ABE∶S△ACE=BD∶CD。讓我來考考你，如果E在射線AD上，這個結(jié)論還成立嗎？

回到圖1的證明：

∵D為AB中點(diǎn)，

∴S△ACD=S△BCD=[12]S△ABC，

S△ADG=S△BDG=[12]S△ABG。

同理S△ABE=S△CBE=[12]S△ABC，S△AEG=S△CEG=[12]S△ACG。

∴S△ACD=S△ABE，

∴S△ACD-S四邊形ADGE=S△ABE-S四邊形ADGE，即S△CEG=S△BDG。

∴S△ABG=S△ACG。

將面積比轉(zhuǎn)化為線段比，我們得到S△ABG∶S△ACG=BF∶CF。

∴BF=CF。

∴AF是△ABC的中線。

除此之外，我還發(fā)現(xiàn)，G為中線的三等分點(diǎn)。因?yàn)镾△ADG=S△BDG=S△AEG，所以S△ABG=2S△AEG。所以BG=2GE。同理可得AG=2GF，CG=2GD。真是驚喜不斷啊！

好了，終于把三角形的三條中線為什么交于一點(diǎn)弄明白了。不管是生活還是學(xué)習(xí)，唯有通過證明得到的結(jié)論，才能用得理所當(dāng)然、心安理得！

教師點(diǎn)評

對于課后作業(yè)中涉及的一些結(jié)論，很多同學(xué)往往會憑“經(jīng)驗(yàn)”來解題，而不知其中的“道理”。在幾何證明中，對于一些結(jié)論，我們不能知其然，而不知其所以然。沈亦琳同學(xué)在學(xué)習(xí)過程中，善于思考，通過“證明”這章的學(xué)習(xí)，意識到證明的重要性，于是回想第七章中的這道課后習(xí)題，把曾經(jīng)的猜測，通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?，得到證實(shí)，讓想當(dāng)然的“結(jié)論”變成理所當(dāng)然的“真理”，這種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度值得表揚(yáng)！

（指導(dǎo)教師：孫媛媛）