從直觀認(rèn)識到邏輯推理

經(jīng)過前面走進(jìn)圖形世界、平面圖形的認(rèn)識（一）、平面圖形的認(rèn)識（二）這3章的學(xué)習(xí)，同學(xué)們經(jīng)歷了觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等數(shù)學(xué)活動，探索了基本圖形點(diǎn)、線、面、角、平行線、相交線和三角形的一些性質(zhì)，在探索的同時對有關(guān)圖形性質(zhì)的認(rèn)識進(jìn)行了簡單的推理。但僅憑直觀認(rèn)識得到的結(jié)論未必正確，必須進(jìn)行合乎邏輯的推理證明。本章的學(xué)習(xí)，我們主要通過對前面一些定理的證明，理解證明的基本過程，掌握證明的基本格式，會用數(shù)學(xué)的思維思考，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅實(shí)的基礎(chǔ)。

一、基于情境，發(fā)現(xiàn)命題

人們在說理的時候，常常使用一些名稱或術(shù)語。對名稱或術(shù)語的含義進(jìn)行描述或做出規(guī)定，就是給出它們的定義。同學(xué)們，你能說出線段中點(diǎn)的定義嗎？一個點(diǎn)把一條線段分成相等長度的兩條線段，這個點(diǎn)就叫作這條線段的中點(diǎn)，這就是中點(diǎn)的定義。由此請大家判斷下面這兩句話是否正確：①如果O是線段AB的中點(diǎn)，那么AO=BO；②如果O是線段AB的中點(diǎn)，那么AO≠BO。這兩句話的已知條件都是“O是線段AB的中點(diǎn)”，根據(jù)中點(diǎn)的定義，我們能判斷AO=BO這個結(jié)論正確，而AO≠BO這個結(jié)論不成立。由此得出：①的結(jié)論是正確的，②的結(jié)論不成立。

像①②這樣判斷一件事情的句子叫作命題，①這種正確的命題叫作真命題，②這種結(jié)論不成立的命題叫作假命題。在命題①中，“O是線段AB的中點(diǎn)”叫作這個命題的條件，“AO=BO”叫作這個命題的結(jié)論。這些概念的學(xué)習(xí)為后續(xù)證明做了充分的準(zhǔn)備，下面就讓我們走進(jìn)證明的世界吧！

二、感悟必要，體驗(yàn)證明

公元1640年，法國著名數(shù)學(xué)家費(fèi)馬發(fā)現(xiàn)：220+1=3，221+1=5，222+1=17，223+1=257，224+1=65537。而3，5，17，257，65537都是質(zhì)數(shù)，于是費(fèi)馬猜想的命題如下：對于一切自然數(shù)n，22n+1都是質(zhì)數(shù)。這個命題看著似乎是正確的，但實(shí)際上，到了1732年，數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)：225+1=232+1=4294967297=641×6700417。這說明225+1是一個合數(shù)，從而得出這個命題是一個假命題。像歐拉這樣，舉出一個符合命題的條件，但命題結(jié)論不成立的例子，就可以說明命題是假命題，這樣的例子稱為反例。數(shù)學(xué)中，判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例。雖然通過觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等方法進(jìn)行合情推理能得到猜想并初步進(jìn)行驗(yàn)證，但這些猜想不一定都正確，因此對這些命題進(jìn)行嚴(yán)格的證明是必要的。

2000多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得對前人在數(shù)學(xué)上的成果進(jìn)行了整理，把人們公認(rèn)的一些真命題作為公理，并以此為出發(fā)點(diǎn)，用推理的方法證實(shí)了一系列命題，編撰成人類文明史上具有里程碑意義的數(shù)學(xué)巨著《幾何原本》。在前面的學(xué)習(xí)中，我們也用了類似的思想，把一些真命題作為基本事實(shí)，并從基本事實(shí)出發(fā)證實(shí)了有關(guān)余角、補(bǔ)角、對頂角、平行線的一些結(jié)論。根據(jù)已知的真命題，確定某個命題真實(shí)性的過程叫作證明。經(jīng)過證明的真命題稱為定理。接下來，就讓我們用數(shù)學(xué)家的思維方式，對三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行嚴(yán)格的證明。歷史上，畢達(dá)哥拉斯證明了這個定理，隨后，歐幾里得在《幾何原本》中又提供了新的證法。

三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180°。

先寫出已知和求證。

已知：△ABC。

求證：∠A+∠B+∠C=180°。

歐幾里得的證明方法如下：

證明：如圖1，畫△ABC的邊BC的延長線CD，過點(diǎn)C畫CE∥AB。

∵CE∥AB（輔助線畫法），

∴∠1=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

∠2=∠B（兩直線平行，同位角相等）。

∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定義），

∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代換）。

畢達(dá)哥拉斯的證明方法如下：

證明：如圖2，過點(diǎn)A畫直線l，使l∥BC。

∵l∥BC（輔助線畫法），

∴∠1=∠B（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

∠2=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）。

∵∠1+∠2+∠BAC=180°（平角的定義），

∴∠BAC+∠B+∠C=180°（等量代換）。

證明過程用符號表達(dá)，如“因?yàn)椤庇梅枴啊摺北硎?，“所以”用符號“∴”表示。證明過程通常包含幾個推理，每個推理應(yīng)包括因、果和由因得果的依據(jù)，做到言必有據(jù)。其中，“因”是已知條件，“果”是推得的結(jié)論，由因得果的依據(jù)是基本事實(shí)、定義、已學(xué)過的定理等。一題多證，貌似證法不同，但實(shí)際上數(shù)學(xué)本質(zhì)是相同的，都是通過添加輔助線，將內(nèi)角和轉(zhuǎn)化成平角解決問題，實(shí)現(xiàn)多證歸一。事實(shí)上，證明一個命題的常用方法包括由因推果的綜合法和由果索因的分析法等。

三、逆向思維，創(chuàng)新應(yīng)用

如果把一個命題的結(jié)論作為條件，條件作為結(jié)論，就可以得到一個新命題。其中一個命題是另一個命題的逆命題，類似于相反數(shù)，這兩個命題稱為互逆命題。例如，“對頂角相等”的逆命題是“相等的角是對頂角”。我們可以應(yīng)用證明的方法得出“對頂角相等”是真命題，可以通過舉一個反例來說明它的逆命題是假命題。學(xué)會逆向思考，有助于我們探索并獲得一些新的結(jié)論，有助于我們從多方面感知事物之間的聯(lián)系。

人類對三角形內(nèi)角和定理的認(rèn)識，起源于拼圖驗(yàn)證，即合情推理，成就于一題多證，即演繹推理。同學(xué)們通過對前人證明的再學(xué)習(xí)和再創(chuàng)造，經(jīng)歷了對證明基本方法的了解和證明過程的體驗(yàn)，感受了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性，感悟了演繹推理的邏輯要求。在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，我們要發(fā)展言之有理、落筆有據(jù)的推理能力，發(fā)展有條理的思考和表達(dá)的能力，要善用合情推理和演繹推理正確認(rèn)識事物，認(rèn)識我們的現(xiàn)實(shí)世界。

（作者單位：江蘇省蘇州市相城區(qū)教育發(fā)展中心）