方程組中的整體眼光

最近我學(xué)了二元一次方程組，在作業(yè)中遇到這樣一道問題，引發(fā)了我的思考。

問題1 已知二元一次方程組[x+2y=5，2x+y=4，]則x+y= 。

拿到這個(gè)問題，我首先想到解方程組[x+2y=5，2x+y=4，]解得[x=1，y=2，]所以x+y=3。

反思：對(duì)于這道題，我通過解方程組求出x、y的值，再代入求出x+y的值。這是一道填空題，采用這種方法有些費(fèi)時(shí)，有沒有其他方法呢？能不能不解方程組，用整體的眼光來思考呢？帶著這樣的想法，我先將方程組編號(hào)，得到[x+2y=5，①2x+y=4。②]再嘗試把兩式相加或者相減，①+②，得3x+3y=9。此時(shí)，我驚奇地發(fā)現(xiàn)3x+3y是x+y的倍數(shù)，迅速得出答案x+y=3。這才符合填空題的邏輯?。〈藭r(shí)，我好有成就感。這種方法是否通用呢？帶著激動(dòng)的心情，我趕緊換了一個(gè)方程組試試。

問題2 已知二元一次方程組[x+2y=5，2x-y=5，]則x+y= 。

我先將方程組進(jìn)行編號(hào)，得到[x+2y=5，①2x-y=5。②]再將兩式相加，①+②，得3x+y=10，無法求得x+y。好失落，原來剛剛只是誤打誤撞。我不死心，繼續(xù)思考。得出的式子中x與y的系數(shù)不相等，能否把y的系數(shù)增大？我觀察①式中y的系數(shù)較大，先嘗試將①×2，得到③式，再將③+②，得4x+3y=15，仍然不能得到x+y。但可喜的是，我發(fā)現(xiàn)x與y的系數(shù)開始接近。我再次嘗試將①×3，得到④式，再將④+②，得5x+5y=20。哇！答案出來了，x+y=4。

再反思：原來可以把方程組中某個(gè)方程的未知數(shù)的系數(shù)先擴(kuò)大，再考慮兩式相加或相減。問題2是逐步擴(kuò)大①式的倍數(shù)進(jìn)行猜想的，那么，我們能否一步到位，直接確定擴(kuò)大的倍數(shù)呢？

于是，我繼續(xù)思考，設(shè)方程①擴(kuò)大a倍，方程②擴(kuò)大b倍，①×a，②×b，得[ax+2ay=5a，③2bx-by=5b，④]③+④，得（a+2b）x+（2a-b）y=5a+5b。題目要求x+y的值，x與y的系數(shù)要相等才行，所以a+2b=2a-b，即a=3b。那我們不妨設(shè)b=1，則a=3，所以①×3+②，就可求得x+y的值，果然與上面猜想是一致的。

同理，再求x-y的值看看。x與y的系數(shù)互為相反數(shù)，所以a+2b=-（2a-b），即3a=-b。不妨設(shè)a=1，則b=-3，所以①+②×（-3），即可求得x-y的值。驗(yàn)證一下，將②×（-3），得-6x+3y=-15，再與①相加，得-5x+5y=-10，即x-y=2。數(shù)學(xué)好神奇啊，我又找一題來驗(yàn)證一下這種方法，看看能不能順利解決。

問題3 已知二元一次方程組[x+2y=5，5x+y=7，]則x+y= ，x-y= 。

我先把方程組進(jìn)行編號(hào)，得到[x+2y=5，①5x+y=7，②]再將①×a，②×b，得[ax+2ay=5a，③5bx+by=7b，④]③+④，得（a+5b）x+（2a+b）y=5a+7b。當(dāng)x與y的系數(shù)相等時(shí)，a+5b=2a+b，即a=4b。不妨設(shè)b=1，則a=4，所以①×4+②，得9x+9y=27，求得x+y=3。當(dāng)x與y的系數(shù)互為相反數(shù)時(shí)，a+5b=

-（2a+b），即a=-2b。不妨設(shè)b=1，則a=-2，所以①×（-2）+②，得3x-3y=-3，求得x-y=-1。

在解決問題的過程中，我領(lǐng)悟到了老師經(jīng)常說的一句話，“解決一道題，收獲一類題”。我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中，只要多加思考，就能找到適合自己的方法，幫助我們高效地解決問題。數(shù)學(xué)的奧秘是無窮的，只要肯攀登，就會(huì)有無窮無盡的收獲。

教師點(diǎn)評(píng)

小作者能活學(xué)活用，在解決問題的過程中，通過不斷自我反思，發(fā)現(xiàn)二元一次方程組中兩個(gè)方程之間的關(guān)聯(lián)，也引入了參數(shù)，實(shí)現(xiàn)一般化思考，促進(jìn)了思維的發(fā)展。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)思考、發(fā)現(xiàn)、歸納的過程，她的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)?zāi)軒椭覀儗W(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，用數(shù)學(xué)的思維來思考現(xiàn)實(shí)世界。

（指導(dǎo)教師：王向）