運(yùn)用變式教學(xué)優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的策略研究

胡亨

摘? 要：當(dāng)下的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)常常出現(xiàn)教師的教與學(xué)生的學(xué)無法很好對應(yīng)的現(xiàn)象，而這種不對應(yīng)很大程度上源自教師與學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間的差異。學(xué)生想要在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上達(dá)成較高的成就，往往需要構(gòu)建起一個(gè)良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，因此，尋找合適的教學(xué)途徑優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)成為數(shù)學(xué)教師亟須攻克的一大難題。變式教學(xué)作為我國數(shù)學(xué)教育中一種常見的教學(xué)方式，對學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題本源并主動(dòng)構(gòu)建相應(yīng)知識(shí)體系有很大的幫助。文章將重點(diǎn)分析運(yùn)用變式教學(xué)優(yōu)化中學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的可行性，并在此基礎(chǔ)上總結(jié)優(yōu)化中學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的有效策略，以供參考。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)變式;數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu);動(dòng)點(diǎn)問題

中學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平具有較大差異性，主要體現(xiàn)在學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的廣度、學(xué)生認(rèn)知的層次性和邏輯性等方面。當(dāng)前越來越多的數(shù)學(xué)教師嘗試運(yùn)用數(shù)學(xué)變式教學(xué)推動(dòng)學(xué)生從問題本源出發(fā)，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)。本研究從數(shù)學(xué)變式與數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)入手，解析兩者的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，并以“線段上的動(dòng)點(diǎn)問題”變式教學(xué)為例，分析運(yùn)用變式教學(xué)優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的有效策略，希望能有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果。

一、數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和變式教學(xué)概述

（一）數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的概念和特點(diǎn)

數(shù)學(xué)教育專家曹才翰先生對數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)界定為學(xué)生頭腦里的數(shù)學(xué)知識(shí)按照自己的理解深度、廣度，結(jié)合自己的感覺、知覺、記憶、思維、聯(lián)想等認(rèn)知特點(diǎn)，組合成的一個(gè)具有內(nèi)部規(guī)律的整體結(jié)構(gòu)。從數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的概念出發(fā)，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)有著幾個(gè)重要的特點(diǎn)。一是個(gè)體性，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和學(xué)生心理發(fā)展水平是相輔相成的，學(xué)生的心理結(jié)構(gòu)會(huì)影響其內(nèi)化數(shù)學(xué)知識(shí)的組成方式，正是由于每個(gè)人的心理水平不一樣，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)在學(xué)生之間存在顯著的個(gè)體差異;二是結(jié)構(gòu)性：學(xué)生大腦中的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是成板塊結(jié)構(gòu)的，新知識(shí)內(nèi)化到學(xué)習(xí)者的大腦中，學(xué)生再將知識(shí)進(jìn)行自我劃分和規(guī)劃，形成知識(shí)之間主體與分支、內(nèi)涵和外延的結(jié)構(gòu)化體系。

（二）變式教學(xué)的概念和特點(diǎn)

上海市教育科學(xué)研究院的顧泠沅先生把變式教學(xué)分為兩種：概念性變式和過程性變式。他把概念性變式定義為“在教學(xué)中用不同形式的直觀材料或事例說明事物的本質(zhì)屬性，或變換同類事物的非本質(zhì)特征以突出事物的本質(zhì)特征，目的在于使學(xué)生準(zhǔn)確掌握概念，區(qū)分和理解事物的本質(zhì)特征和非本質(zhì)特征”;同時(shí)把過程性變式定義為“通過有層次的推進(jìn)，使學(xué)生分步解決問題，積累多種活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，是一個(gè)關(guān)注學(xué)生動(dòng)態(tài)的、內(nèi)在的、層次性遞進(jìn)的過程”。

結(jié)合教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，可以發(fā)現(xiàn)變式教學(xué)有兩個(gè)非常顯著的特點(diǎn)：開放性和本源性。開放性體現(xiàn)在變式教學(xué)提供問題的主體部分，而把問題的變化方向交給學(xué)生和教師，學(xué)生可以依據(jù)自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)對問題的概念、條件、所求進(jìn)行適當(dāng)變形。本源性是變式教學(xué)最為核心的部分，任何的“變”都是基于“本”的基礎(chǔ)，問題本源就像是大樹的樹干，而多樣的變式則是樹枝，任何樹枝的生長都離不開樹干的滋養(yǎng)，如果變式脫離了本源，那么最終結(jié)果就會(huì)導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的錯(cuò)亂。

（三）數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和變式教學(xué)的聯(lián)系

從數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和變式教學(xué)的特點(diǎn)上看，兩者存在一定的對應(yīng)關(guān)系。數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有個(gè)體性，而變式教學(xué)固有的開放性可以滿足學(xué)生個(gè)體性需求，基于每個(gè)學(xué)生的現(xiàn)有知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理變式，有利于教師了解學(xué)生的現(xiàn)有認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平，并從學(xué)生的已知經(jīng)驗(yàn)出發(fā)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理變式;數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)還具有結(jié)構(gòu)性，學(xué)生對知識(shí)結(jié)構(gòu)存在一定的理解，但可能這種理解存在偏差，變式教學(xué)的本源性正好可以幫助學(xué)生厘清知識(shí)脈絡(luò)，找到知識(shí)主體，并且從問題本源出發(fā)，梳理知識(shí)點(diǎn)的分支，構(gòu)建一個(gè)更為詳細(xì)而龐大的知識(shí)體系。

（四）運(yùn)用變式教學(xué)優(yōu)化中學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的可行性

何小亞認(rèn)為，良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)包括以下四個(gè)特征：足夠多的觀念、穩(wěn)定而又靈活的產(chǎn)生式、層次分明的觀念網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、穩(wěn)定的問題解決策略的觀念。那么變式教學(xué)能否幫助學(xué)生達(dá)到這四個(gè)特征呢？答案是肯定的。

一方面，在變式教學(xué)中，生生之間的信息交互可以促進(jìn)學(xué)生的信息共享和靈感迸發(fā);另一方面，變式教學(xué)能幫助學(xué)生認(rèn)清問題本源，理解題目演變的技巧和方法，對整個(gè)知識(shí)點(diǎn)的架構(gòu)有更加清晰和充分的了解。而最終通過歸納通用的解題策略，可以幫助學(xué)生形成多題一解的觀念，引導(dǎo)學(xué)生找到有效解決一類問題的有效策略。下文將以“線段上的動(dòng)點(diǎn)問題”為例進(jìn)行變式教學(xué)的闡述，分析優(yōu)化中學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的策略。

二、課例闡述——線段上的動(dòng)點(diǎn)問題

本研究選取浙教版七年級(jí)上冊數(shù)學(xué)教材第六章“圖形的初步知識(shí)”中有關(guān)線段長短比較以及線段和差的拓展知識(shí)“線段上的動(dòng)點(diǎn)問題”進(jìn)行變式教學(xué)。

原題：A、B兩城市相距16千米，小林騎車以每小時(shí)3千米的速度從A市出發(fā)前往B市，小明同時(shí)步行以每小時(shí)1千米的速度從B市出發(fā)前往A市。問多少時(shí)間后小林和小明相遇？

本題意在引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際情境中抽象出數(shù)學(xué)模型“線段上的動(dòng)點(diǎn)模型”，經(jīng)由C點(diǎn)表示小林，D點(diǎn)表示小明，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析問題解決策略（見圖1）。在解決這道問題時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生盡量嘗試用代數(shù)式表示線段長度的方法，把時(shí)間設(shè)為t，則線段AC=3t，線段BD=t，分析兩人相遇時(shí)C、D點(diǎn)的位置關(guān)系，運(yùn)用方程思想發(fā)現(xiàn)AC+BD=16解決問題，為后續(xù)尋找變式通用解法提供幫助。

變式方向1：改變已知條件。

變式①：小明步行速度改為每小時(shí)2千米，問何時(shí)相遇？

變式②：小明步行速度不變，比小林提前一個(gè)小時(shí)從B市出發(fā)前往A市，問何時(shí)相遇？

變式方向2：改變提問。

變式③：問小林到達(dá)B市時(shí)，小明距離A市還有多遠(yuǎn)？

變式④：問何時(shí)小明和小林兩人相距2千米？

變式方向3：增加外延。

變式⑤：已知A、B兩點(diǎn)在同一數(shù)軸上，點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，與原點(diǎn)相距10個(gè)單位，點(diǎn)B在A點(diǎn)的右側(cè)且兩點(diǎn)相距16個(gè)單位長度。點(diǎn)C以每秒3個(gè)單位的速度從點(diǎn)A出發(fā)在A、B兩點(diǎn)之間來回運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)（見圖2）。

（1）求點(diǎn)A、B所表示的數(shù)。

（2）問C、D兩點(diǎn)相遇時(shí)，點(diǎn)C所在的位置。

[A??????????????????? C????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? D???? B][-10??? -9? -8? -7? -6? -5????? -4? -3? -2? -1?????? 0?????? ?1?? 2??????? 3??????? 4??????? 5?? 6]

圖2

變式⑥（改變已知條件）：若D同時(shí)以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)B出發(fā)，在A、B兩點(diǎn)之間來回運(yùn)動(dòng)，求C、D兩點(diǎn)第四次相遇時(shí)，相遇點(diǎn)所表示的數(shù)為多少？

變式⑦（改變提問）：在變式⑥的基礎(chǔ)上問第100次相遇點(diǎn)所表示的數(shù)為多少？

上述實(shí)例中采用了三種變式方向：改變已知條件、改變提問、增加外延。其中變式①和變式②對已知條件進(jìn)行一定的修改，編題和解題難度都不大，完全可以由學(xué)生自主產(chǎn)生，以幫助學(xué)生鞏固本源問題的基本解決策略，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)展薄弱的學(xué)生也可以獲得完成的成就感，鞏固了學(xué)生對本源問題主體部分的認(rèn)識(shí)。變式③和變式④對提問方式進(jìn)行了改變，幫助學(xué)生不斷拓寬數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，基于主體部分所展開。教師可以提問：“你還能求出哪些情況？”引導(dǎo)學(xué)生開放探究。其中變式④對學(xué)生的思維提出了較高要求，運(yùn)用方程思想需要學(xué)生能綜合運(yùn)用線段和差的有關(guān)知識(shí)，并且還需要認(rèn)清“相距2千米”包含兩種情況，一種是C點(diǎn)在D點(diǎn)的左側(cè)，另一種是C點(diǎn)在D點(diǎn)的右側(cè)。此時(shí)，教師應(yīng)著重引導(dǎo)學(xué)生從題目出發(fā)聯(lián)系生活實(shí)際，幫助學(xué)生真實(shí)體會(huì)分類討論思想的必要性。變式教學(xué)中具有較高變式難度的是通過聯(lián)系多個(gè)知識(shí)點(diǎn)來擴(kuò)充更大范圍的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，往往會(huì)在編題、解題和理解上都對學(xué)生提出更高的要求。變式⑤在線段上的動(dòng)點(diǎn)問題的基礎(chǔ)上，通過引入數(shù)軸這個(gè)概念，進(jìn)一步完善和拓寬學(xué)生有關(guān)“線段上的動(dòng)點(diǎn)問題”的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。第二小問有關(guān)相遇點(diǎn)的探究既是對變式②的再拓展，把線段關(guān)系和數(shù)軸上點(diǎn)的位置關(guān)系相聯(lián)系，更考查了學(xué)生的分類討論思想，即C點(diǎn)在A、B兩點(diǎn)之間來回運(yùn)動(dòng)過程中與D點(diǎn)多次相遇，而C點(diǎn)每次改變運(yùn)動(dòng)方向后，有關(guān)線段長度與運(yùn)動(dòng)時(shí)間的代數(shù)式均會(huì)發(fā)生改變，依據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程和點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡正確表示對應(yīng)線段長度是這個(gè)問題的難點(diǎn)，對學(xué)生的邏輯思維和運(yùn)動(dòng)分析能力提出了較高要求，能夠?qū)崿F(xiàn)學(xué)生深度思維的開發(fā)。變式⑥是對變式⑤中問題解決策略的再次應(yīng)用和鞏固，而變式⑦是基于變式⑤和變式⑥幫助學(xué)生尋找核心數(shù)學(xué)規(guī)律，有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)方法的類比和歸納，由特殊的運(yùn)動(dòng)條件轉(zhuǎn)化為對一般的規(guī)律性問題的思考，具有更高的思維要求，讓部分學(xué)有余力的學(xué)生深度挖掘思維邏輯，拓展數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

三、運(yùn)用變式教學(xué)優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的有效策略

（一）確定先行組織經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)豐富變式結(jié)構(gòu)

要想構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，必須熟悉學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。奧蘇貝爾的同化理論強(qiáng)調(diào)，有意義的學(xué)習(xí)需要教師先認(rèn)清學(xué)生的先行組織者，從而把握教學(xué)起點(diǎn)進(jìn)行有針對性的教學(xué)，以便將數(shù)學(xué)新知識(shí)同化到學(xué)生原有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去。變式教學(xué)同樣基于學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)開展，需要教師在認(rèn)清學(xué)生先行組織者經(jīng)驗(yàn)的前提下盡可能多地設(shè)想學(xué)生可能性的提問，創(chuàng)設(shè)豐富的變式結(jié)構(gòu)，在改變條件、改變提問、增加外延等方面下足功夫，在本源問題的主導(dǎo)下進(jìn)行合理解答和變式，不能盲目變式，忽略學(xué)生的理解和接受情況，脫離學(xué)生實(shí)際認(rèn)知的變式就是失敗的變式。

（二）創(chuàng)設(shè)良好問題情境，引導(dǎo)學(xué)生自主變式

良好的問題情境可以幫助學(xué)生從生活實(shí)際出發(fā)快速理解問題本源的內(nèi)涵和本質(zhì)，引發(fā)學(xué)生自主和合理的邏輯探究與策略歸納。但是介于學(xué)生的個(gè)體差異，以及變式教學(xué)的開放性，在整個(gè)教學(xué)過程中不能“放任自由”，需要教師作為主持人進(jìn)行合適的引導(dǎo)，幫助學(xué)生正確構(gòu)建“基于主體的分支變式”。這既是優(yōu)化教學(xué)效率的必要手段，又是幫助學(xué)生正確構(gòu)建問題體系的必要手段。這對教師提出了較高的要求，需要在教學(xué)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)投入更大的心血，對每個(gè)設(shè)想的情境與問題都要組織好過渡語言，用恰到好處的指點(diǎn)進(jìn)行引導(dǎo)。

（三）圍繞問題本源拓展，抓緊核心解題策略

良好的變式教學(xué)必須緊緊圍繞問題本源，從知識(shí)主體的通用解決思路、策略出發(fā)構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。變式教學(xué)只有緊緊依托于合理的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)才能起到完善學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的要求。教師要想通過變式教學(xué)搭建合理的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，首先自己必須理清知識(shí)的內(nèi)在邏輯，這就要求教師對教材有更為深刻的理解和認(rèn)識(shí)，能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系和合理演變。其次，變式教學(xué)尤其注重核心解題策略的歸納與應(yīng)用，所有的變式圍繞本源。核心解題策略必須在教學(xué)起始就點(diǎn)明，并在后續(xù)變式中不斷深化與強(qiáng)化，以幫助所有學(xué)生掌握、理解并運(yùn)用好策略解決問題。

（四）強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維歸納，提升數(shù)學(xué)思想認(rèn)知

學(xué)生的成長軌跡以及基于長期實(shí)踐的理論研究都表明，形成數(shù)學(xué)思維在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)方面有重要作用。數(shù)學(xué)思維具有高度的概括性和遷移性，在數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)和優(yōu)化過程中，應(yīng)當(dāng)突出數(shù)學(xué)思維方法的歸納，幫助學(xué)生構(gòu)建思想層面的數(shù)學(xué)認(rèn)知。例如本文課例中牽涉解決“線段上的動(dòng)點(diǎn)問題”的基本思路是方程思想的運(yùn)用，而在題目的變式中又牽涉了分類討論思想，這些重要數(shù)學(xué)思維的歸納對學(xué)生把握這一類問題的解決策略都有很重要的指導(dǎo)作用，對學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完整化起著至關(guān)重要的作用。

四、結(jié)語

本研究從數(shù)學(xué)變式和數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)出發(fā)分析了運(yùn)用變式教學(xué)優(yōu)化中學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的可行性，結(jié)合實(shí)例分析了如何運(yùn)用變式教學(xué)優(yōu)化中學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，最后提出了四條對應(yīng)的運(yùn)用策略。變式教學(xué)是數(shù)學(xué)教育教學(xué)中具有特色的一種教學(xué)模式，改善和精進(jìn)變式教學(xué)策略可以很好地提升數(shù)學(xué)教學(xué)的效果，也是當(dāng)下值得廣大數(shù)學(xué)教師研究的一個(gè)重要課題。

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（責(zé)任編輯：廖? 藝）