與面積有關(guān)的二次函數(shù)綜合題探析

戴學(xué)良

［摘 要］在初中數(shù)學(xué)中，與面積有關(guān)的二次函數(shù)綜合題比較常見，學(xué)生普遍覺得比較困難。文章結(jié)合幾道例題，探討與面積有關(guān)的二次函數(shù)綜合題的解題策略，旨在幫助學(xué)生突破難點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生思維，提升學(xué)生核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］二次函數(shù)；面積；綜合題；初中數(shù)學(xué)

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2024）08-0030-03

二次函數(shù)綜合題的類型比較多，其中二次函數(shù)與圖形面積綜合的類型題比較常見，如求三角形面積最大值，求三角形面積比最大值，對稱軸分平行四邊形為定比求字母的值，四邊形面積是三角形面積的固定倍數(shù)求字母的值等。下面結(jié)合幾道例題對與面積有關(guān)的二次函數(shù)綜合題進(jìn)行分析探討。

一、求三角形面積的最大值

在拋物線所在的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)求三角形面積的最大值時，通常先根據(jù)三角形的面積公式建立二次函數(shù)模型，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得三角形面積的最大值。

［例1］如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線[y=ax2+bx-4]與[x]軸交于點(diǎn)[A（-2，0）]，[B（4，0）]，與[y]軸交于點(diǎn)[C]，點(diǎn)[D]為[BC]的中點(diǎn)。（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)[P]是第四象限內(nèi)該拋物線上一動點(diǎn)，求[△BDP]面積的最大值。

分析：（1）把點(diǎn)[A]、[B]的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式，求出[a]、[b]的值，從而求得拋物線的表達(dá)式；（2）過點(diǎn)[P]作[PQ⊥x]軸交[BC]于點(diǎn)[Q]，先求出點(diǎn)[D]的坐標(biāo)，設(shè)[Pm，12m2-m-4]（[0

解：（1）∵拋物線[y=ax2+bx-4]與[x]軸交于點(diǎn)[A（-2，0）]，[B（4，0）]，∴將A（-2，0），B（4，0）代入[y=ax2+bx-4得][4a-2b-4=0，16a+4b-4=0，]解得[a=12，b=-1，]∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為[y=12x2-x-4]。

（2）如圖2所示，過點(diǎn)[P]作[PQ⊥x]軸交[BC]于點(diǎn)[Q]，∵[B（4，0）]，C（0，-4），點(diǎn)[D]為[BC]的中點(diǎn)，∴D（0，-2），設(shè)[Pm，12m2-m-4]（[0

評注：在坐標(biāo)平面內(nèi)求斜三角形的面積，一般要轉(zhuǎn)化為有一邊與坐標(biāo)軸平行的三角形面積的和或差，因?yàn)檫@樣便于用點(diǎn)的坐標(biāo)的和或差表示線段的長，體現(xiàn)了化斜為正的數(shù)學(xué)思想。

二、求三角形面積比的最大值

求三角形面積比時，如果兩個三角形是相似三角形，則它們的面積比等于相似比的平方；如果兩個三角形是同高三角形，則它們的面積比等于底邊之比。當(dāng)面積比轉(zhuǎn)化為線段比后，需要進(jìn)一步將線段比轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)模型，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求面積比的最大值 。

［例2］如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線[y=-12x2+mx+4m]的圖象交[x]軸于點(diǎn)[A]、[B]，交[y]軸于點(diǎn)[C（0，4）]，點(diǎn)[P]是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn)，連接[AC]、[CP]、[PA]，[PA]與直線[BC]交于點(diǎn)[D]。（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）設(shè)[△CDP]的面積為[S1]，[△CDA]的面積為[S2]，求[S1S2]的最大值。

分析：（1）將點(diǎn)[C]的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式求出[m]的值，繼而求出拋物線的表達(dá)式；（2）過點(diǎn)[A]作[AG]∥[y]軸交[BC]于點(diǎn)[G]，則[G（-2，6）]，設(shè)點(diǎn)[Pt，-12t2+t+4]，過點(diǎn)[P]作[PH]∥[y]軸交于[BC]于點(diǎn)[H]，由[PH]∥[AG]，可知[PHAG=PDAD=S1S2=-112]（[t-2]）2[+13]，當(dāng)[t=2]時，[S1S2]有最大值[13]。

解：（1）將點(diǎn)[C（0，4）]代入[y=-12x2+mx+4m]，得[4m=4]，解得[m=1]，∴拋物線的表達(dá)式為[y=-12x2+x+4]。

（2）如圖4所示，直線[BC]的表達(dá)式為[y=-x+4]，過點(diǎn)[A]作[AG]∥[y]軸交[BC]于點(diǎn)[G]，則[G（-2，6）]，∴[AG=6]，設(shè)點(diǎn)[Pt，-12t2+t+4]，過點(diǎn)[P]作[PH]∥[y]軸交于[BC]于點(diǎn)[H]，∴[H（t，-t+4）]，∴[PH=-12t2+t+4+t-4=-12t2+2t]，∵[PH]∥[AG]，∴[PHAG=PDAD]，∴[PDAD=-12t2+2t6=-112t2+13t]，∴[S1S2=-112t2+13t=-112（t-2）2+13]，當(dāng)[t=2]時，[S1S2]有最大值[13]。

評注：本題的兩個三角形[△PCD]與[△ACD]是同高的兩個三角形，它們的面積比等于底邊之比；然后利用相似三角形對應(yīng)邊成比例，將兩條斜線段之比轉(zhuǎn)化為兩條豎直線段之比，從而建立二次函數(shù)模型。實(shí)際上也可以將斜線段之比轉(zhuǎn)化為水平線段之比，再建立二次函數(shù)模型。

三、對稱軸分平行四邊形為定比求字母的值

拋物線的對稱軸分平行四邊形為定比1∶[m]時，需要分類討論，即分得的兩個圖形面積甲∶乙為1∶[m]或[m]∶1，當(dāng)其中一個圖形的面積確定時，另一個圖形的面積也就確定了，再根據(jù)平行四邊形的面積公式可以求得相應(yīng)線段的長，從而求得相應(yīng)字母的值。

［例3］在平面直角坐標(biāo)系中，[O]為坐標(biāo)原點(diǎn)。已知拋物線[y=-x2+ax+3]經(jīng)過點(diǎn)（3，0），點(diǎn)[P]在這條拋物線上，其橫坐標(biāo)為[m]。點(diǎn)[Q]的坐標(biāo)為[（-1，m+1）]。當(dāng)[P]、[Q]不重合時，以[OQ]和[PQ]為邊構(gòu)造平行四邊形[OQPM]。（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）當(dāng)平行四邊形[OQPM]為矩形時，求[m]的值；（3）當(dāng)[QM]與某條坐標(biāo)軸垂直時，求點(diǎn)[P]的坐標(biāo)；（4）當(dāng)拋物線的對稱軸分平行四邊形[OQPM]的面積為1∶2兩部分時，直接寫出[m]的值。

分析：（1）由于拋物線經(jīng)過點(diǎn)（3，0），所以將點(diǎn)（3，0）代入拋物線的表達(dá)式中可求得[a]的值；（2）矩形的四個角都是90°，所以當(dāng)[?OQPM]為矩形時，[∠OQP=90°]，由于兩直線互相垂直，[k1·k2=-1]，進(jìn)而求得[m]的值；（3）[QM]與坐標(biāo)軸垂直的情況可以分為兩類，一類是和[x]軸垂直，一類是和[y]軸垂直，可分類討論，兩類都用到了平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)，先求得中點(diǎn)坐標(biāo)，再利用橫縱坐標(biāo)分別與中點(diǎn)坐標(biāo)相等求得點(diǎn)[P]的坐標(biāo)；（4）根據(jù)直線[PQ]的表達(dá)式可求得點(diǎn)[E]的坐標(biāo)，進(jìn)而求得四邊形[QOLK]的面積，當(dāng)拋物線的對稱軸將[?OQPM]的面積分為1∶2兩部分時，可以分兩種情況討論，一種是1∶2，一種是2∶1，進(jìn)而求得[m]的值。

解：（1）已知拋物線[y=-x2+ax+3]經(jīng)過點(diǎn)（3，0），∴[-9+3a+3=0]，解得[a=2]，∴拋物線的表達(dá)式為[y=-x2+2x+3]。

（2）∵[?OQPM]是矩形，∴[OQ⊥PQ]，∴[kOQ·kPQ=-1]，由題可知[P（m，-m2+2m+3）]，[Q（-1，m+1）]，[kOQ=-（m+1）]，[kPQ=-m2+m+2m+1]，∵[kOQ·kPQ=-1]，∴[-（m+1）×-m2+m+2m+1=-1]，解得[m1=1+52]，[m2=1-52]。

（3）當(dāng)[QM⊥x]軸時，[OP]中點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)與點(diǎn)[Q]的橫坐標(biāo)相等，∵四邊形[OQPM]為平行四邊形，∴[QM]的中點(diǎn)坐標(biāo)即為[OP]的中點(diǎn)坐標(biāo)，∵[P（m，-m2+2m+3）]，[Q]（-1，[m+1]），∴[OP]的中點(diǎn)坐標(biāo)為[m2，-m2+2m+32]，∴[m2=-1]，解得[m=-2]。當(dāng)[QM⊥y]軸時，同理可得[OP]中點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)[Q]的縱坐標(biāo)相等，即[-m2+2m+32=m+1]，解得[m1=1]，[m2=-1]（舍去）。綜上，[P1]（-2，-5），[P2]（1，4）。

（4）如圖5所示，過點(diǎn)[P]作[PD⊥x]軸，交[OM]于點(diǎn)[D]，∵[P（m，-m2+2m+3）]，[Q（-1，m+1）]，∴直線[PQ]的表達(dá)式為[y=（2-m）x+3]，設(shè)直線PQ與y軸交于點(diǎn)E，∴[E（0，3）]，設(shè)拋物線[y=-x2+2x+3]的對稱軸與直線[PQ]交于點(diǎn)[K]，與直線[MO]交于點(diǎn)[L]，∵四邊形[EODP]是平行四邊形，∴[S△QEO=S△PDM=32]，[S四邊形EOLK=3]，∴[S四邊形QOLK=92]，∵拋物線的對稱軸分平行四邊形[OQPM]的面積為1∶2兩部分，∴[S四邊形QOLK]可以為1份也可以為2份。當(dāng)[S四邊形QOLK]為1份時，[S四邊形LKPM=9]，∴[S?KLDP=152=3h]，解得[h=52]，∴[m=1+52=72]；當(dāng)[S四邊形QOLK]為2份時，[S四邊形LKPM=94]，∴[S?KLDP=34=3h]，解得[h=14]，∴[m=1+14=54]。綜上所述，[m1=72]，[m2=54]。

評注：本題的平行四邊形[OQPM]的各邊不與分割線即拋物線的對稱軸平行，這給解答帶來了一定的困難。我們的解決方案是作平行于分割線的平行線，再次分割平行四邊形，將平行四邊形分成四塊，其中[△QEO]與[△PDM]兩塊的面積易求，另外兩塊都有一邊與對稱軸平行，這樣就易于求出字母的值，這里體現(xiàn)了化斜為正的數(shù)學(xué)思想。

四、四邊形面積是三角形面積的固定倍數(shù)求字母的值

在拋物線所在的平面內(nèi)，當(dāng)四邊形面積是三角形面積的固定倍數(shù)時，通常三角形面積可以計(jì)算出來，這樣就確定了四邊形的面積。若這個四邊形的形狀是不確定的，且其中三個頂點(diǎn)確定，第四個頂點(diǎn)為拋物線上一動點(diǎn)，則根據(jù)四邊形的面積可以求得未知字母的值。

［例4］如圖6所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線[y=ax2+bx+c]的圖象與[x]軸交于[A]、[B]兩點(diǎn)（點(diǎn)[A]在點(diǎn)[B]的左邊），與[y]軸交于點(diǎn)[C]，點(diǎn)[A]的坐標(biāo)為（-1，0），拋物線頂點(diǎn)[D]的坐標(biāo)為（1，-4），直線[BC]與對稱軸相交于點(diǎn)[E]。（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)[M]為直線[x=1]右方拋物線上的一點(diǎn)（點(diǎn)[M]不與點(diǎn)[B]重合），設(shè)點(diǎn)[M]的橫坐標(biāo)為[m]，記[A]、[B]、[C]、[M]四點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形面積為[S]，若[S=3S△BCD]，請求出[m]的值。

分析：（1）根據(jù)拋物線頂點(diǎn)[D]的坐標(biāo)為（1，-4），寫出拋物線的頂點(diǎn)式，再將A（-1，0）代入表達(dá)式，求得a的值，則可得拋物線的表達(dá)式；（2）設(shè)[M（m，m2-2m-3）]，先求得直線[BC]的表達(dá)式為[y=x-3]，再得出點(diǎn)[E]的坐標(biāo)，然后由[S△BCD=S△CDE+S△BDE]求得[S△BCD]，進(jìn)而根據(jù)[S=3S△BCD]，得出[S]的值，再分類討論：①當(dāng)點(diǎn)[M]在[x]軸上方時，[m>3]；②當(dāng)點(diǎn)[M]在[x]軸下方時，[1

解：（1）∵拋物線頂點(diǎn)[D]的坐標(biāo)為（1，-4），∴設(shè)拋物線的表達(dá)式為[y=a（x-1）2-4]，把[A（-1，0）]代入得[a（-1-1）2-4=0]，解得[a=1]，∴[y=（x-1）2-4=x2-2x-3]，∴拋物線的表達(dá)式為[y=x2-2x-3]。

（2）設(shè)[M（m，m2-2m-3]），∵[y=x2-2x-3]，∴當(dāng)[x=0]時，[y=-3]，∴[C（0，-3）]；∵[A（-1，0）]，對稱軸為直線[x=1]，∴[B（3，0）]，∴直線[BC]的表達(dá)式為[y=x-3]，∴當(dāng)[x=1]時，[y=x-3=-2]，∴[E（1，-2）]，∴[DE=2]，∴[S△BCD=S△CDE+S△BDE=12DE×（xB-xC）=12×2×3=3]，∴[S=3S△BCD=9]。分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)[M]在[x]軸上方時，[m>3]，如圖7所示，[S=S△ACB+S△ABM=12AB×OC+12AB×yM=12×4×3+12×4（m2-2m-3）=2m2-4m=9]，解得[m1=2+222]，[m2=2-222]（舍去），∴[m=2+222]；②當(dāng)點(diǎn)[M]在[x]軸下方時，[1

評注：以點(diǎn)[A]、[C]、[B]、[M]為頂點(diǎn)的四邊形可以分為兩類，即當(dāng)點(diǎn)[M]在[x]軸上方時和當(dāng)點(diǎn)[M]在[x]軸下方時。在表達(dá)四邊形面積時，又分為兩個或三個三角形面積的和，再利用三角形面積公式建立四邊形面積關(guān)于[m]的二次函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)四邊形面積建立一元二次方程求解。既然建立了關(guān)于[m]的二次函數(shù)，那么就可以求得四邊形面積的最值。

二次函數(shù)與圖形面積的綜合題的求解方法不是唯一的，但在求解過程中方法的選擇會影響到解題過程的繁簡程度。通過上述四道例題的解析，找到解決此類問題的一般方法，并對多種解法進(jìn)行取舍，以簡化求解過程。

（責(zé)任編輯 羅 艷）