基于深度學(xué)習(xí)的“函數(shù)的單調(diào)性”概念教學(xué)

左婷

課題信息：江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度課題“指向深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)策略研究”，立項(xiàng)編號(hào)為C/2022/02/05.

1 深度學(xué)習(xí)的基本思維

1.1 概念內(nèi)涵的深層理解

基于數(shù)學(xué)概念課堂的教學(xué)實(shí)踐與深度學(xué)習(xí)，從概念層面挖掘，剖析概念的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，以及相關(guān)概念的來龍去脈與關(guān)聯(lián)，從而聯(lián)系相關(guān)概念的外延與應(yīng)用，全面構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系，形成不同概念之間的節(jié)點(diǎn)與聯(lián)系，促進(jìn)不同數(shù)學(xué)知識(shí)之間的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.

1.2 數(shù)學(xué)思維的深層應(yīng)用

基于數(shù)學(xué)概念課堂的教學(xué)實(shí)踐與深度學(xué)習(xí)，由知識(shí)到思維逐步深入，借助構(gòu)造、類比、聯(lián)系、創(chuàng)新等思維方式，展示知識(shí)所對(duì)應(yīng)的思維，加深對(duì)知識(shí)的理解與掌握，從思維層面形成數(shù)學(xué)習(xí)慣，構(gòu)建更加良好的思維品質(zhì)與核心素養(yǎng).

1.3 創(chuàng)新應(yīng)用的深層拓展

基于深度學(xué)習(xí)，有效構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)等方面之間的融合，形成更加完善與系統(tǒng)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系與架構(gòu)，對(duì)于數(shù)學(xué)應(yīng)用與創(chuàng)新應(yīng)用等都有較好的提升與拓展作用.

2 深度學(xué)習(xí)的教學(xué)過程

2.1 導(dǎo)學(xué)聚焦

基于深度學(xué)習(xí)的“函數(shù)的單調(diào)性”概念教學(xué)的導(dǎo)學(xué)聚焦如表1.

表1

教材考點(diǎn)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

核心素養(yǎng)

函數(shù)單調(diào)性的概念、判定與證明

了解函數(shù)單調(diào)性（增函數(shù)、減函數(shù)）的概念，會(huì)用定義判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性

直觀想象、邏輯推理

求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

會(huì)借助函數(shù)的圖象或函數(shù)單調(diào)性的定義確定或求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象

函數(shù)單調(diào)性的簡(jiǎn)單應(yīng)用

會(huì)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解相關(guān)參數(shù)值或求解參數(shù)不等式問題等

數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象

2.2 問題導(dǎo)學(xué)

預(yù)習(xí)教材（人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)）第三章第二節(jié)“函數(shù)的基本性質(zhì)”，對(duì)應(yīng)教材的位置是第76～79頁，并思考下列相關(guān)問題：

（1）如何定義單調(diào)遞增與單調(diào)遞減？增函數(shù)、減函數(shù)的概念又是怎樣的？

（2）函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖象變化規(guī)律有何關(guān)系？函數(shù)的單調(diào)性和其對(duì)應(yīng)的單調(diào)區(qū)間有何關(guān)系？

2.3 情境引入

材料1：目前，國內(nèi)市場(chǎng)銷量前三的智能音響分別是：第三名，天貓精靈（浙江）；第二名，小愛同學(xué)（北京）；第一名，小度（北京）.圖1是2017—2022年中國智能音響市場(chǎng)銷售量變化圖.

問題1? （1）上述情境中變量分別是什么，哪一個(gè)變量隨著另一個(gè)變量的變化而變化？

（2）從左到右，圖象的變化規(guī)律是什么？

材料2：二十四節(jié)氣，是中華民族悠久歷史文化的重要組成部分.我們的祖先通過它能直觀地了解一年中季節(jié)氣候的變化規(guī)律，它在安排和指導(dǎo)農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，發(fā)揮了重大作用.圖2是某地一年的氣溫變化圖.

問題2? 氣溫隨著時(shí)間的改變?nèi)绾巫兓瑘D象的變化規(guī)律是什么？

2.4 新知探究

（1）增函數(shù)、減函數(shù)的概念

一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮，區(qū)間DI：

①如果x1，x2∈D，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）＜f（x2），那么就稱函數(shù)f（x）在區(qū)間D上單調(diào)遞增（如圖3）.

②如果x1，x2∈D，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）＞f（x2），那么就稱函數(shù)f（x）在區(qū)間D上單調(diào)遞減（如圖4）.

特別地，

當(dāng)函數(shù)f（x）在它的定義域上單調(diào)遞增（減）時(shí)，我們就稱它是增（減）函數(shù).

【微思考1】①在函數(shù)單調(diào)性的定義中，能否去掉“任意”？

（提示：不能.不能用特殊代替一般）

②x1，x2∈D，若（x2-x1）［f（x2）-f（x1）］＞0，則y=f（x）在某個(gè)區(qū)間D上單調(diào)遞增嗎？若（x2-x1）［f（x2）-f（x1）］＜0，則y=f（x）在某個(gè)區(qū)間D上單調(diào)遞減嗎？簡(jiǎn)要說明原因.

（提示：是.若（x2-x1）［f（x2）-f（x1）］＞0則x2-x1與f（x2）-f（x1）同號(hào)，即x2＞x1時(shí)，f（x2）＞f（x1），所以f（x）在D上單調(diào)遞增；

同理（x2-x1）［f（x2）-f（x1）］＜0時(shí)，f（x）在D上單調(diào)遞減.）

③x1，x2∈D，若f（x2）-f（x1）x2-x1＞0，則y=f（x）在區(qū)間D上單調(diào)遞增嗎？若f（x2）-f（x1）x2-x1＜0，則y=f（x）在區(qū)間D上單調(diào)遞減并簡(jiǎn)要說明原因.（

提示：是.若f（x2）-f（x1）x2-x1＞0，則x2-x1與f（x2）-f（x1）同號(hào)，即x2＞x1時(shí)，f（x2）＞f（x1），所以f（x）在D上單調(diào)遞增；

同理f（x2）-f（x1）x2-x1＜0時(shí)，f（x）在D上單調(diào)遞減.）

（2）函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y=f（x）在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f（x）的單調(diào)區(qū)間.

【微思考2】區(qū)間D一定是對(duì)應(yīng)函數(shù)的定義域嗎？（

提示：不一定，可能是定義域的一個(gè)子區(qū)間，單調(diào)性是局部概念，不是整體概念.）

2.5 新知應(yīng)用

（1）函數(shù)單調(diào)性的判定與證明

例1? 根據(jù)定義，研究函數(shù)f（x）=axx—1（a≠0）在x∈（-1，1）上的單調(diào)性.（a＞0時(shí)，單調(diào)遞減;a＜0時(shí)，單調(diào)遞增.）

點(diǎn)評(píng)：利用函數(shù)的單調(diào)性的定義判斷和證明函數(shù)單調(diào)性的基本步驟如圖5所示.

這里要注意：作差變形是判斷和證明函數(shù)單調(diào)性的關(guān)鍵所在，且變形的結(jié)果多為幾個(gè)因式乘積的形式.

（2）函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定與求解

例2? 畫出函數(shù)y=|-x2+2x+3|的圖象，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（增區(qū)間為［-1，1］，［3，+∞）；減區(qū)間為（-∞，-1］，（1，3）.）

點(diǎn)評(píng)：確定與求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的兩種常見方法如圖6所示.

3 深度學(xué)習(xí)的教學(xué)啟示

基于數(shù)學(xué)概念課堂的教學(xué)實(shí)踐與深度學(xué)習(xí)，立足數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，特別是數(shù)學(xué)概念與性質(zhì)所對(duì)應(yīng)的內(nèi)涵，從而從概念或性質(zhì)等視角切入，進(jìn)行多視角的深度學(xué)習(xí)，對(duì)于基礎(chǔ)性的把握更加到位.

借助深度學(xué)習(xí)，將相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行“串點(diǎn)成線、織網(wǎng)鋪面”，構(gòu)建一個(gè)完善的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，從而有效夯實(shí)學(xué)生的“四基”，培養(yǎng)學(xué)生的“四能”，強(qiáng)化創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新應(yīng)用，培育理性思維，促進(jìn)學(xué)生高階思維、核心素養(yǎng)的發(fā)展.