壓剪作用下單一閉合裂紋起裂擴(kuò)展研究

收稿日期：2022-09-06""" 修回日期：2023-04-09

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（No.52074143；51874176；51874166）；煤炭科學(xué)研究院科技發(fā)展基金資助項(xiàng)目（No.2022CX-Ⅱ-04）；遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)科創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)資助項(xiàng)目（No.LNTU20TD-11）

通信作者：李宏艷。E-mail：lhylhb@163.com

引用格式：

徐海鐸，李宏艷，梁冰，等. 壓剪作用下單一閉合裂紋起裂擴(kuò)展研究［J］.應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2024，41（3）：524-535.

XU Haiduo， LI Hongyan， LIANG Bing， et al. Study on initiation and propagation of a single closed crack under compression-shear stress［J］.Chinese journal of applied mechanics，2024，41（3）：524-535.

文章編號(hào)：1000-4939（2024）03-0524-12

摘" 要：構(gòu)建了壓剪作用下單一閉合裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)方程，應(yīng)用最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則分析了翼裂紋開裂角，側(cè)壓系數(shù)k對(duì)應(yīng)力場(chǎng)和翼裂紋起裂擴(kuò)展的影響，單軸壓縮下裂紋傾角α對(duì)翼裂紋起裂應(yīng)力的影響。通過單軸壓縮試驗(yàn)及三軸文獻(xiàn)數(shù)據(jù)對(duì)比驗(yàn)證了理論解的正確性。研究表明：開裂臨界相對(duì)尺寸λ→0或裂紋傾角α→45°，T應(yīng)力對(duì)翼裂紋開裂角的影響作用可以忽略；周向拉應(yīng)力隨側(cè)壓系數(shù)k的升高而降低，翼裂紋起裂所需軸向應(yīng)力增大；圍壓對(duì)翼裂紋的擴(kuò)展存在抑制作用，且裂紋面有效剪應(yīng)力大于0時(shí)抑制作用更強(qiáng)；試驗(yàn)觀察到預(yù)制裂紋尖端出現(xiàn)翼裂紋和少量的反翼裂紋和共面剪切裂紋，翼裂紋的開裂角在預(yù)測(cè)值附近上下波動(dòng)；單軸壓縮，翼裂紋起裂應(yīng)力隨裂紋傾角的增大而增大；三軸壓縮，翼裂紋起裂應(yīng)力隨側(cè)壓系數(shù)的增大而增大，與模型預(yù)測(cè)的變化關(guān)系具有一致性。

關(guān)鍵詞：T應(yīng)力；有效剪應(yīng)力；翼裂紋；側(cè)壓系數(shù)；周向應(yīng)力；單軸壓縮試驗(yàn)

中圖分類號(hào)：TU452" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI：10.11776/j.issn.1000-4939.2024.03.005

Study on initiation and propagation of a single closed crackunder compression-shear stress

XU Haiduo1，2，3，LI Hongyan1，2，LIANG Bing1，SUN Zhongxue2，3，4，HE Shi2，4，MO Yunlong2

（1.School of Mechanics and Engineering，Liaoning Technical University，123000 Fuxin，China;

2.China Coal ResearchInstitute，100013 Beijing，China;

3.State Key Laboratory of Coal Mining and Clean Utilization，100013 Beijing，China;4.School of Energy and Mining Engineering，China University of Mining and Technology（Beijing），100083 Beijing，China）

Abstract：

Field equation of single and closed flaw tip under compression-shear stress is constructed in this paper.The initiation angle of wing crack，the influence of side pressure coefficient k on stress field and initiation and propagation of wing crack and the influence of flaw angle α on initiation stress of wing crack under uniaxial compression are analyzed by using the maximum tangential stress criterion.The correctness of the theoretical solution is verified by uniaxial compression test and triaxial compression literature data comparison.The research shows

that the effect of T-stress on the initiation angle of wing crack can be ignored when the critical relative size of cracking λ approaches 0 or the flaw angle α approaches 45°.Hoop tensile stress decreases with the increase of side pressure coefficient k，and axial stress required for the initiation of wing crack increases.The confining pressure has an inhibitory effect on the propagation of wing cracks and the inhibitory effect is stronger when effective shear stress of the flaw surface is greater than 0.Wing cracks and a small number of anti-wing cracks and coplanar shear cracks are observed at the tip of the pre-existing flaw.The initiation angle of wing cracks are fluctuated around the predicted value.The initiation stress of wing crack increases with the increase of flaw angle under uniaxial compression，and it also increases with the increase of side pressure coefficient under triaxial compression，and they are consistent with the changing relationship predicted by the model in this paper.

Key words：T-stress; effective shear stress; wing crack; side pressure coefficient; hoop stress; uniaxial compression test

巖石內(nèi)部的微裂紋控制著巖石的斷裂破壞過程，巖石的強(qiáng)度及變形性質(zhì)都將隨著裂紋的孕育、起裂及擴(kuò)展而發(fā)生變化。地下巖體通常是受壓的且在長(zhǎng)年的地質(zhì)活動(dòng)作用下會(huì)產(chǎn)生不同尺度的缺陷如裂隙、斷層等，這些含有缺陷的巖體在不同的受壓狀態(tài)下會(huì)產(chǎn)生不同類型的裂紋。因此研究含有裂紋的巖石在壓剪作用下的起裂、擴(kuò)展，對(duì)于掌握地下圍巖破壞機(jī)理及預(yù)測(cè)圍巖工程質(zhì)量有著重要意義。

在預(yù)制裂紋試驗(yàn)方面。BRACE等［1］對(duì)板狀玻璃預(yù)制單裂紋進(jìn)行單軸壓縮試驗(yàn)，結(jié)果僅觀察到翼裂紋并未看到其它裂紋，預(yù)制裂紋的最終擴(kuò)展平行于最大主應(yīng)力方向。LAJTAI［2］使用類巖石試件預(yù)制單裂紋進(jìn)行單軸壓縮試驗(yàn)，試驗(yàn)后觀察到翼裂紋、反翼裂紋和次生裂紋，其中翼裂紋最先產(chǎn)生。PETIT等［3］對(duì)PMMA試件和砂巖試件進(jìn)行單、三軸壓縮試驗(yàn)，單軸壓縮均有翼裂紋出現(xiàn)，而三軸壓縮很少出現(xiàn)翼裂紋。李銀平等［4］在大理石中預(yù)制單、雙裂紋，通過單軸壓縮試驗(yàn)得到翼裂紋和反翼裂紋。李廷春等［5］使用類巖石材料預(yù)制單裂紋進(jìn)行三軸壓縮試驗(yàn)，試驗(yàn)得到翼裂紋擴(kuò)展緩慢，次生裂紋擴(kuò)展明顯，預(yù)制裂隙的擴(kuò)展受圍壓影響且擴(kuò)展過程艱難。劉偉韜等［6］使用砂巖試件預(yù)制45°單裂紋進(jìn)行單、三軸壓縮試驗(yàn)，觀察到單軸壓縮以翼裂紋和反翼裂紋為主，三軸壓縮以反翼裂紋和次生裂紋為主。

針對(duì)上述現(xiàn)象，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了相應(yīng)的理論分析。GRIFFITH［7］對(duì)材料斷裂現(xiàn)象進(jìn)行了研究，從能量的觀點(diǎn)出發(fā)提出裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展條件，并建立了準(zhǔn)脆性材料的斷裂強(qiáng)度與裂紋尺寸之間的關(guān)系。MCCLINTOCK［8］和HOEK等［9］考慮了裂紋面受壓閉合產(chǎn)生摩擦對(duì)GRIFFITH理論進(jìn)行了修正。MUSKHELISHVILLI［10］認(rèn)為對(duì)于彈性力學(xué)平面問題的應(yīng)力場(chǎng)可以用兩個(gè)復(fù)變量函數(shù)Φ（z）和Ω（z）來表示，該復(fù)變量函數(shù)通常稱為Kolossoff-Muskhelishvili應(yīng)力函數(shù)，這為研究裂紋尖端的應(yīng)力函數(shù)及應(yīng)力分布提供了理論依據(jù)。

WILLIAMS［11］對(duì)裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)進(jìn)行級(jí)數(shù)展開得到奇異項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)和高階項(xiàng)。IRWIN［12］引入應(yīng)力強(qiáng)度因子和T應(yīng)力概念用以描述奇異項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)。WILLIAMS［13］和YUKIO等［14］預(yù)制裂紋PMMA試件進(jìn)行單軸拉伸試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)在最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則中引入T應(yīng)力可以有效減少預(yù)測(cè)值和試驗(yàn)值之間差距。AYATOLLAHI等［15］將T應(yīng)力引入最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則，預(yù)測(cè)了Ⅰ型裂紋的破裂，表明T應(yīng)力對(duì)裂紋的起裂擴(kuò)展有顯著影響。趙艷華等［16］用考慮T應(yīng)力的最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則分析了Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型裂紋擴(kuò)展，結(jié)果表明T應(yīng)力對(duì)裂紋擴(kuò)展影響不可忽略，尤其對(duì)于Ⅱ型斷裂影響明顯。師俊平等［17］根據(jù)Muskhelishvilli理論結(jié)合裂紋面應(yīng)力邊界條件及Riemann-Hilbert解法分別給出了在偽集中力下不同類型裂紋面基本解，認(rèn)為裂紋面狀態(tài)不影響KⅠ而影響KⅡ。劉紅巖［18］、唐世斌等［19］認(rèn)為壓縮時(shí)應(yīng)考慮裂紋面間的摩擦作用，并提出當(dāng)裂紋面有效剪應(yīng)力等于0時(shí)，裂紋尖端奇異性消失；當(dāng)裂紋面有效剪應(yīng)力大于0時(shí)，裂紋尖端只存在KⅡ奇異項(xiàng)。LI等［20］利用Muskhelishvilli理論，從遠(yuǎn)場(chǎng)應(yīng)力和裂紋面應(yīng)力邊界條件出發(fā)，推導(dǎo)了壓剪作用下含閉合裂紋平板的應(yīng)力函數(shù)，得到了單軸壓縮下考慮T應(yīng)力的裂紋尖端應(yīng)力分布。

由前人的研究工作可知：常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)由于圍壓的作用很難在裂紋尖端產(chǎn)生翼裂紋，理論并不能很好地解釋現(xiàn)象；T應(yīng)力對(duì)裂紋的起裂擴(kuò)展影響顯著，可以提高預(yù)測(cè)精度；裂紋面有效剪應(yīng)力取值對(duì)于應(yīng)力函數(shù)及場(chǎng)方程的影響還鮮有討論?；谝陨?點(diǎn)，本研究通過偽力法及希爾伯特邊值解法，給出了三軸壓縮下的Γ函數(shù)及相應(yīng)的裂紋尖端應(yīng)力函數(shù)和考慮T應(yīng)力的場(chǎng)方程，探討了裂紋面有效剪應(yīng)力大于0和等于0兩種情況下的翼裂紋開裂角、圍壓對(duì)周向應(yīng)力變化趨勢(shì)的影響、預(yù)制裂紋傾角對(duì)翼裂紋起裂應(yīng)力的影響，通過預(yù)制裂紋巖樣單軸壓縮試驗(yàn)驗(yàn)證翼裂紋開裂角及起裂強(qiáng)度，通過文獻(xiàn)數(shù)據(jù)與本研究預(yù)測(cè)值對(duì)比，驗(yàn)證三軸壓縮下翼裂紋起裂強(qiáng)度，以期對(duì)后續(xù)含裂紋巖石壓剪破壞的理論分析有一定的參考價(jià)值。

1" 理論模型

1.1" 應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算

含裂紋圓柱試件在軸壓和圍壓作用下裂紋面會(huì)發(fā)生閉合，圍壓均布作用于表面，簡(jiǎn)化為平面模型，按照彈性力學(xué)平面問題求解，如圖1所示。設(shè)預(yù)制裂紋長(zhǎng)為2a，邊緣受到均布軸向應(yīng)力σ和圍壓kσ，k為側(cè)壓系數(shù)且0≤k≤1，預(yù)制裂紋與水平方向夾角為α。

規(guī)定拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)，試件所受遠(yuǎn)場(chǎng)應(yīng)力為

σx=-σ（sin2α+kcos2α）σ

SymboleB@y=-σ（cos2α+ksin2α）

τSymboleB@xy=-σ（1-k）sinαcosα

（1）

由偽力法并考慮裂紋面摩擦，可得遠(yuǎn)場(chǎng)應(yīng)力在裂紋面上的作用力為

σn=σ（cos2α+ksin2α）（2a）

τe=0，τs≤τfτs-τf=σ1-ksinαcosα-

fσcos2α+ksin2α，τs＞τf（2b）

式中：σn、τe、τs和τf分別為作用在裂紋面上的壓應(yīng)力、有效剪應(yīng)力、切向偽力和摩擦力；f為裂紋面摩擦系數(shù)。

裂紋上下表面所受合力為壓應(yīng)力和有效剪應(yīng)力，所以裂紋面應(yīng)力邊界條件為

σ+y=-σn，τ+xy=-τe

σ-y=-σn，τ-xy=-τe（3）

式中：σy、τxy右上角的正負(fù)號(hào)表示裂紋上下表面，“+”代表裂紋上表面，“-”代表裂紋下表面。

根據(jù)Muskhelishvilli理論，裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)方程可由平面內(nèi)的應(yīng)力函數(shù)Φ（z）和Ω（z）表示，二者與裂紋附近應(yīng)力關(guān)系為［10］

σx+σy=4ReΦ（z）

σy-iτxy=Φ（z）+Ω（z）+（z-z）Φ′（z）

（4）

式中：z=x+iy為復(fù)變量；z為z的共軛。

當(dāng)z分別從裂紋上下表面趨近于裂紋表面上一點(diǎn)t時(shí)，應(yīng)力函數(shù)滿足

Φ-（t）+Ω+（t）=σ+y-iτ+xy

Φ+（t）+Ω-（t）=σ-y-iτ-xy（5）

由式（3）、（5）得

［Φ（t）+Ω（t）］++［Φ（t）+Ω（t）］-=

-2σn+2iτe=Q

［Φ（t）+Ω（t）］+-［Φ（t）+Ω（t）］-=0（6）

其中，Q為復(fù)常數(shù)。

利用Riemann-Hilbert邊值問題解法［17］，可求通解

Φ（z）=4k0-Qz4" z2-a2+Q4-12?！洇福▃）=4k0-Qz4" z2-a2+Q4+12?！洌?）

式中

k0=Γ+12?！?/p>

（8）

對(duì)于常規(guī)三軸壓縮，Γ函數(shù)為

Γ=-14σ1+k?！?-12σ1-k［cos（2α）+isin（2α）］（9）

將式（2）、（6）、（8）、（9）代入式（7），得到常規(guī)三軸壓縮下裂紋尖端應(yīng)力函數(shù)。

當(dāng)τs＜τf時(shí)，有

Φ（z）=-σ（1+k）4+iτs2z" z2-a2-1Ω（z）=-σ43-kcos2α+（3k-1）sin2α+

iτs2z" z2-a2+1（10）

同理，當(dāng)τs＞τf時(shí)，有

Φ（z）=-σ1+k4+iτf2z" z2-a2-1

Ω（z）=-σ43-kcos2α+3k-1sin2α+

iτf2z" z2-a2-1+τs

（11）

以式（10）為例進(jìn)行驗(yàn)算，τs＜τf，τe=0，當(dāng)z→∞時(shí)，由式（4）和（10）可得

σx+σy=4limz→SymboleB@

ReΦ（z）=" -σ1+k=σSymboleB@x+σSymboleB@y

σy-iτxy=Φ（z）+Ωz-+

（z-z）Φ′（z）=σSymboleB@y-iτSymboleB@xy（12）

滿足遠(yuǎn)場(chǎng)應(yīng)力邊界條件。當(dāng)z→t時(shí)，由式（5）和（10）得

limz→t-Φ（z）+limz→t+Ω（z）=" -σcos2α+ksin2α=σ+y-iτ+xylimz→t+Φ（z）+limz→t-Ω（z）=

-σcos2α+ksin2α=σ-y-iτ-xy（13）

滿足裂紋面應(yīng)力邊界條件。

應(yīng)力強(qiáng)度因子由下式計(jì)算［12］。

K=KⅠ-iKⅡ=2" 2πl(wèi)imz→±a" z±aΦ（z）

（14）

其中，KⅠ和KⅡ分別為Ⅰ、Ⅱ型裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子。

將式（10）、（11）代入式（14）得裂紋面有效剪應(yīng)力等于0時(shí)，有

KⅠ=0KⅡ=-τsπa

（15）

同理裂紋面有效剪應(yīng)力大于0時(shí)，有

KⅠ=0KⅡ=-τfπa（16）

1.2" 裂尖應(yīng)力場(chǎng)的理論解

將式（10）、（11）兩種情況下的應(yīng)力函數(shù)分別帶入式（4）并極坐標(biāo)化得σx、σy、τxy的理論解。裂紋面有效剪應(yīng)力等于0時(shí)，有

σx=σ1-ksinαcosα" πa" 2πrsinθ2·

2+cosθ2cos3θ2-

σsin2α+kcos2α+o（r）

σy=-σ1-ksinαcosαπa2πrsinθ2cosθ2·

cos3θ2-σ（cos2α+ksin2α

）+o（r）

τxy=-σ1-ksinαcosαπa2πrcosθ2·

1-sinθ2cos3θ2+o（r）

（17）

同理裂紋面有效剪應(yīng)力大于0時(shí)，有

σx=fσcos2α+ksin2α" πa" 2πrsinθ2·

2+cosθ2cos3θ2-σsin2α+kcos2α+orσy=-fσcos2α+ksin2απa" 2πrsinθ2cosθ2·

cos3θ2-σcos2α+ksin2α+o（r）τxy=-fσcos2α+ksin2α" πa" 2πrcosθ2·

1-sinθ2cos3θ2-σ1-ksinαcosα+fσcos2α+ksin2α+o（r）（18）

經(jīng)典斷裂力學(xué)認(rèn)為，靠近裂紋尖端r→0，奇異項(xiàng)趨近于無窮大，從而忽略方程中的常數(shù)項(xiàng)和高階項(xiàng)，上兩式退化為純Ⅱ型剪切應(yīng)力場(chǎng)。此時(shí)裂尖應(yīng)力趨近于無窮，意味著裂紋體稍稍承受載荷便會(huì)在裂紋尖端產(chǎn)生無窮大的應(yīng)力集中，這表明經(jīng)典理論在裂尖處并不適用。目前研究表明裂紋體受力會(huì)在尖端產(chǎn)生塑性區(qū)，從而削弱應(yīng)力集中程度，用開裂過程區(qū)尺寸rc描述塑性區(qū)的大小。對(duì)于均質(zhì)脆性材料如玻璃、PMMA等，其開裂過程區(qū)尺寸rc很小，采用經(jīng)典的斷裂判據(jù)分析裂紋擴(kuò)展問題誤差較??；對(duì)于巖石或混凝土材料，其由多種礦物集合而成，是典型的非均質(zhì)各向異性材料，不同裂尖距離包含的礦物類別差別較大，所以巖石材料的開裂過程區(qū)尺寸不能像玻璃等材料小到理想的范圍。因此對(duì)于巖石材料，開裂過程區(qū)尺寸rc較大與預(yù)制裂紋半長(zhǎng)a差距減小，奇異項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)差距減小，常數(shù)項(xiàng)的占比升高，常數(shù)項(xiàng)的影響不可忽略。rc雖然與a的差距減小，但是rc依然遠(yuǎn)小于a，高階項(xiàng)的影響忽略不計(jì)。用T應(yīng)力項(xiàng)Tx、Ty、Txy代替其中的常數(shù)項(xiàng)，并略去高階項(xiàng)得圖2所示裂尖應(yīng)力場(chǎng)，則

σx=-KⅡ" 2πrsinθ22+cosθ2cos3θ2+Txσy=KⅡ" 2πrsinθ2cosθ2cos3θ2+Tyτxy=KⅡ" 2πrcosθ21-sinθ2sin3θ2+Txy（19）

式（19）中裂紋面有效剪應(yīng)力等于0時(shí)，有

KⅡ=-σ1-ksinαcosα" πa=-τs" πaTx=-σsin2α+kcos2αTy=-σcos2α+ksin2αTxy=0（20）

同理裂紋面有效剪應(yīng)力大于0時(shí)，有

KⅡ=-fσ（cos2α+ksin2α）" πa=-τf" πaTx=-σ（sin2α+kcos2α）Ty=-σ（cos2α+ksin2α）Txy=-σ（1-k）sinαcosα+fσ（cos2α+ksin2α）（21）

2" 考慮T應(yīng)力的斷裂準(zhǔn)則

最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則由ERDOGAN等［21］提出，該準(zhǔn)則的基本假定是：①裂紋沿最大周向應(yīng)力σθmax的方向開裂；②當(dāng)此方向的周向應(yīng)力達(dá)到臨界值時(shí)，裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展。這一準(zhǔn)則經(jīng)常被用來預(yù)測(cè)翼裂紋的開裂，根據(jù)BOBET［22］、王飛陽(yáng)等［23-24］的研究，含裂紋的巖石或類巖石材料受壓過程中會(huì)產(chǎn)生3種類型裂紋：翼裂紋、剪裂紋和拉剪復(fù)合裂紋。翼裂紋的產(chǎn)生是張拉效應(yīng)的結(jié)果，屬于巖石劈裂破壞；剪裂紋包括反翼裂紋和共面剪裂紋，二者是剪切作用的結(jié)果，斷口粗糙且細(xì)觀顆粒不平整，屬于典型的摩擦滑移破壞。翼裂紋和剪裂紋常出現(xiàn)在單、三軸試驗(yàn)中。拉剪復(fù)合裂紋兼具翼裂紋和剪裂紋的特點(diǎn)，表現(xiàn)為前期翼裂后期裂紋偏折出現(xiàn)剪切特征。拉剪復(fù)合裂紋常出現(xiàn)在混凝土偏心加載試驗(yàn)中。裂紋擴(kuò)展示意圖如圖3所示。本研究?jī)H討論翼裂紋的起裂擴(kuò)展情況，根據(jù)最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則，有

σθθ=0， 2σθθ2lt;0

（22）

將式（19）坐標(biāo)變換并代入式（22），得

σθ=-3KⅡ2" 2πrcsinθcosθ2+Txsin2θ+Tycos2θ-Txysin（2θ）σθθ=-3KⅡ4" 2πrccosθ23cosθ-1+Tx-Tysin（2θ）-2Txycos（2θ）=0

2σθθ2=3KⅡ16" 2πrcsinθ2+9sin3θ2+

2Tx-Tycos2θ+4Txysin2θlt;0

（23）

式中，rc為開裂過程區(qū)半徑，用來描述裂紋尖端塑性區(qū)大小。為便于分析，令A(yù)=Tx" πaKⅡ、B=Ty" πaKⅡ、C=Txy" πaKⅡ、λ=" 2rca，其中λ為裂紋尖端開裂臨界相對(duì)尺寸，表征裂尖塑性區(qū)邊界到裂尖的相對(duì)距離。

對(duì)式（23）進(jìn)行無量綱處理，得

- "πaσθKⅡ=32λsinθcosθ2-Asin2θ-" Bcos2θ+Csin（2θ）

34λcosθ23cosθ-1-A-Bsin（2θ）+" 2Ccos（2θ）=03λ16sinθ2+9sin3θ2+2（A-B）cos（2θ）+" 4Csin（2θ）gt;0（24）

3" 開裂角及周向應(yīng)力分析

3.1" 裂紋面有效剪應(yīng)力等于0

裂紋面有效剪應(yīng)力等于0，由式（20）知Txy=0，C=0，代入式（24）中第2式可得

3cosθ23cosθ-1=4λA-Bsin（2θ）（25）

當(dāng)cos（θ/2）≠sin（2θ）≠0時(shí)，λ=0或A=B（α=45°），解得cosθ=1/3，θ=70.5°，即不考慮T應(yīng)力時(shí)純Ⅱ型裂紋的開裂角。而實(shí)際上λ≠0，也就是說當(dāng)λ→0或者α→45°時(shí)，T應(yīng)力對(duì)開裂角的影響作用可忽略。實(shí)際上從式（24）也可看出，當(dāng)λ→0，開裂角方程中的奇異項(xiàng)趨近于無窮，從而T應(yīng)力的影響忽略不計(jì)，這與經(jīng)典斷裂理論相同，當(dāng)α→45°，A→B，T應(yīng)力項(xiàng)趨近于0，T應(yīng)力對(duì)開裂角方程的影響也很??；當(dāng)cos（θ/2）=sin（2θ）=0，θ=π為其中一個(gè)根，代入式（24）第1式可得θ=π時(shí)均一化周向應(yīng)力為壓應(yīng)力，不會(huì)產(chǎn)生翼裂紋。

由式（2）知在側(cè)壓系數(shù)k固定的情況下，裂紋面有效剪應(yīng)力的取值只與裂紋傾角α和裂紋面摩擦系數(shù)f有關(guān)。為了控制變量，本研究通過改變裂紋面摩擦系數(shù)f來改變裂紋面有效剪應(yīng)力的值并進(jìn)行分析。裂紋面有效剪應(yīng)力等于0，A、B需滿足一定的條件，而A、B的取值又與k、α有關(guān)，經(jīng)計(jì)算，α=30°，f=0.6，λ=0.2，k從0增至0.5，裂紋面有效剪應(yīng)力均為0。圖4是α=30°，f=0.6，λ=0.2，均一化周向應(yīng)力隨θ的變化關(guān)系，k從0增大至0.5，圍壓增大，裂紋面壓應(yīng)力顯著增大而切向偽力顯著減小，T應(yīng)力顯著增大，因此周向拉應(yīng)力降低而周向壓應(yīng)力增大。從圖中可以看出圍壓增大，均一化峰值周向應(yīng)力逐漸降低，因此需要增加軸壓才能達(dá)到翼裂紋起裂強(qiáng)度，從而延緩了翼裂紋的起裂。

on homogenized hoop stress

圖5是側(cè)壓系數(shù)k=0和k=0.4均一化周向應(yīng)力隨θ的變化關(guān)系。從圖中可以看出，首先側(cè)壓系數(shù)k=0的峰值周向應(yīng)力高于k=0.4，其次側(cè)壓系數(shù)k=0（單軸加載）時(shí)，隨著λ的增加，在裂紋尖端塑性區(qū)內(nèi)峰值周向應(yīng)力均為拉應(yīng)力，軸壓增大周向拉應(yīng)力增大，達(dá)到翼裂紋的起裂強(qiáng)度從而產(chǎn)生翼裂紋。側(cè)壓系數(shù)k=0.4（三軸加載）時(shí)，隨著λ的增加，在裂紋尖端塑性區(qū)內(nèi)峰值周向應(yīng)力由拉應(yīng)力逐漸減小并轉(zhuǎn)變?yōu)閴簯?yīng)力，增加軸壓只能在小的裂尖范圍內(nèi)出現(xiàn)翼裂紋，翼裂紋在峰值周向應(yīng)力轉(zhuǎn)為壓應(yīng)力時(shí)不再擴(kuò)展，施加圍壓將會(huì)抑制翼裂紋的延展。

3.2" 裂紋面有效剪應(yīng)力大于0

裂紋面有效剪應(yīng)力大于0，由式（21）知A、B、C均不為0，式（24）第2式寫成

3cosθ23cosθ-1+8Cλcos（2θ）

=4λA-Bsin（2θ）（26）

由式可知，λ=0，方程有兩個(gè)根，cos（θ/2）=0和cosθ=1/3。cos（θ/2）=0，θ=π為一根，代入式（24）第1式可得均一化周向應(yīng)力為壓應(yīng)力，不會(huì)產(chǎn)生翼裂紋。cosθ=1/3，θ=70.5°，易知滿足式（24）第3式，代入第1式為拉應(yīng)力。而λ≠0，當(dāng)λ→0，θ→70.5°。

裂紋面有效剪應(yīng)力大于0，A、B、C需滿足一定的條件，取f=0.2，α=30°，λ=0.2，此時(shí)側(cè)壓系數(shù)k從0增至0.5裂紋面有效剪應(yīng)力均大于0。圖6所示為均一化周向應(yīng)力隨θ變化關(guān)系，與裂紋面有效剪應(yīng)力等于0的情況相比，周向壓應(yīng)力并非隨側(cè)壓系數(shù)k整體變化，而是一部分隨k的增大在減小，另一部分隨k的增大而增大，但是峰值周向拉應(yīng)力依然隨k的增大而減小，圍壓同樣會(huì)抑制翼裂紋的產(chǎn)生。

k on homogenized hoop stress

圖7是側(cè)壓系數(shù)k=0和k=0.4的均一化周向應(yīng)力隨θ的變化關(guān)系，可以看出首先側(cè)壓系數(shù)k由0增大到0.4，峰值周向應(yīng)力顯著減少，需要更大的外載才能達(dá)到開裂臨界值，圍壓抑制翼裂紋的產(chǎn)生，這與裂紋面有效剪應(yīng)力等于0的情況相同，其次側(cè)壓系數(shù)k=0.4時(shí)，隨著開裂相對(duì)臨界尺寸λ增大，與有效剪應(yīng)力等于0相比，在裂尖塑性區(qū)內(nèi)峰值周向應(yīng)力更快地由拉應(yīng)力轉(zhuǎn)為壓應(yīng)力，翼裂紋擴(kuò)展的范圍變小，圍壓對(duì)翼裂紋擴(kuò)展的抑制作用增強(qiáng)。

3.3" 裂紋傾角對(duì)周向應(yīng)力的影響

由前面的分析可知圍壓會(huì)抑制翼裂紋的起裂擴(kuò)展，所以本研究?jī)H分析了單軸壓縮k=0的情況。圖8是f=0.2，0.6，λ=0.2得到的均一化峰值周向應(yīng)力隨裂紋傾角的變化關(guān)系。均一化峰值周向應(yīng)力前期下降較慢后期下降較快，前期預(yù)制裂紋傾角較小，裂紋面切向偽力始終等于摩擦力，裂紋面有效剪應(yīng)力等于0，根據(jù)式（20）裂紋面切向偽力緩慢增大，Tx緩慢增大，Ty緩慢減小，由于Ty在裂尖應(yīng)力場(chǎng)中占比較大，所以周向應(yīng)力整體呈現(xiàn)緩慢下降趨勢(shì)；當(dāng)預(yù)制裂紋傾角增大，tanα逐漸增大到大于裂紋面摩擦系數(shù)f時(shí)，裂紋面切向偽力大于摩擦力，裂紋面有效剪應(yīng)力大于0，根據(jù)式（21）裂紋面摩擦力迅速減小，Tx緩慢增大，Ty迅速減小，Txy變化不明顯，導(dǎo)致周向應(yīng)力整體下降較快。前期裂紋面有效剪應(yīng)力等于0，裂紋面切向偽力始終等于摩擦力，裂紋面摩擦系數(shù)f不影響T應(yīng)力的大小，故f對(duì)周向應(yīng)力沒有影響，曲線存在重合部分；后期裂紋面有效剪應(yīng)力大于0，相同裂紋傾角，f增大，裂紋面摩擦力和Txy增大，導(dǎo)致周向應(yīng)力升高?？傊S著預(yù)制裂紋傾角的增大，均一化峰值周向應(yīng)力降低，相應(yīng)的翼裂紋起裂所需軸向應(yīng)力將增大。

記峰值周向應(yīng)力對(duì)應(yīng)的極角為θm，θm即為翼裂紋開裂角，代入式（24）第1式可得θm對(duì)應(yīng)的周向應(yīng)力σθm，根據(jù)最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則，若σθm達(dá)到了開裂臨界強(qiáng)度σθc則裂紋開裂，即

σθc=-3K*Ⅱc2" 2πrcsinθmcosθm2+Txsin2θm+

Tycos2θm-Txysin2θm=σθm

（27）

由此可得考慮T應(yīng)力的斷裂韌度為

K*Ⅱc=2Txsin2θm+Tycos2θm-Txysin2θm-σθc3sinθmcosθm2·

2πrc

（28）

將式（20）、（21）代入式（28）可得兩種情況下Ⅱ型裂紋的Ⅰ型斷裂韌度，二者顯然是不同的。

4" 試驗(yàn)及驗(yàn)證

4.1" 制作試樣

為了能夠清晰地得到翼裂紋及其擴(kuò)展，設(shè)計(jì)了含閉合裂紋砂巖單軸壓縮試驗(yàn)。巖芯取自內(nèi)蒙古巴彥高勒煤礦1214m深部巷道頂板砂巖，并在煤炭科學(xué)研究總院煤炭資源高效開采與潔凈利用國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行二次加工，經(jīng)一系列工序制成直徑50mm，高度100mm的標(biāo)準(zhǔn)試件，砂巖參數(shù)如表1所示。試件中心使用高壓水刀切割一條穿透裂紋，裂紋長(zhǎng)20mm，寬約1mm。為模擬閉合裂紋，在裂紋內(nèi)部緊緊插入一厚度為0.8mm的白鋼片。通過砂巖摩擦試驗(yàn)測(cè)得白鋼片與砂巖之間的摩擦系數(shù)為0.21，該試驗(yàn)利用自鎖現(xiàn)象和摩擦角原理［25］。將未加工的方形砂巖放置在一端可以轉(zhuǎn)動(dòng)的白鋼板上，緩慢抬起白鋼板直到砂巖滑動(dòng)，記錄此時(shí)斜面的傾角β，可由臨界滑動(dòng)傾角β計(jì)算二者之間摩擦系數(shù)。單軸壓縮試驗(yàn)試件分為5組，每組3個(gè)試件，裂紋傾角分別為0°、30°、45°、60°、90°，加工好的試件如圖9所示。

4.2" 試驗(yàn)過程及斷裂形態(tài)

單軸壓縮試驗(yàn)在煤炭科學(xué)研究總院國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室TAW-2000電液伺服試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行。加載方式采用位移加載，加載速度為0.1mm/min，試驗(yàn)過程中電腦記錄負(fù)荷、應(yīng)力、應(yīng)變和位移等數(shù)據(jù)，試驗(yàn)后測(cè)量翼裂紋的開裂角。圖10為試件斷裂模式圖，斷裂主裂紋為翼裂紋、反翼裂紋和共面剪切裂紋。本試驗(yàn)中翼裂紋產(chǎn)生居多，另外兩種裂紋出現(xiàn)較少，在預(yù)制裂紋尖端附近和試件表面還出現(xiàn)細(xì)小的次生裂紋，試件破壞表現(xiàn)為主裂紋和次生裂紋組合的斷裂帶。宋彥琦等［26］研究表明，當(dāng)軸向載荷達(dá)到一定程度，預(yù)制裂紋尖端開始出現(xiàn)由于應(yīng)力集中導(dǎo)致的帶狀損傷區(qū)域，并逐漸凝聚形成裂紋雛形。0°試件預(yù)制裂紋中心有一圓孔，受壓過程中在圓孔頂部出現(xiàn)應(yīng)力集中產(chǎn)生表面裂紋，裂紋左、右端均有翼裂紋產(chǎn)生，翼裂紋開裂角分別為78°和90°。30°試件在裂紋端部出現(xiàn)2條翼裂紋和1條反翼裂紋，翼裂紋開裂角分別為89°和51°，翼裂紋以彎曲路徑擴(kuò)展，擴(kuò)展?jié)u近線朝向單軸載荷方向。45°試件出現(xiàn)2條翼裂紋，翼裂紋開裂角分別為42°和44°，上部翼裂紋在壓剪作用下在表面產(chǎn)生次生裂紋。60°試件產(chǎn)生2條翼裂紋和1條共面剪切裂紋，翼裂紋開裂角分別為35°和42°，在試件底部產(chǎn)生表面裂紋。90°試件預(yù)制裂紋上端出現(xiàn)翼裂紋、反翼裂紋以及橫向劈裂裂紋，下端出現(xiàn)劈裂裂紋和表面次生裂紋，翼裂紋開裂角約為3°和2°。主裂紋貫通形成完整斷裂面或巖塊局部破碎導(dǎo)致試件最終失去承載能力。根據(jù)郭奇峰［27］、HADI等［28］的研究，巖石材料單軸壓縮過程中翼裂紋出現(xiàn)較早，加載初期便會(huì)在裂紋尖端出現(xiàn)翼型擴(kuò)展；而反翼裂紋和共面剪裂紋出現(xiàn)則較晚，在加載至峰值強(qiáng)度左右才會(huì)出現(xiàn)。

4.3" 強(qiáng)度特征及預(yù)測(cè)對(duì)比

選取僅產(chǎn)生翼裂紋試件的單軸壓縮數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，分別得到不同傾角單軸壓縮下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線（圖11）。曲線經(jīng)過壓密、彈性、屈服、塑性破壞階段，有些試件破壞過快未記錄到殘余應(yīng)力階段。根據(jù)LI等［20］的研究，應(yīng)力-應(yīng)變曲線中出現(xiàn)明顯的應(yīng)力降或應(yīng)變軟化意味著裂紋的擴(kuò)展，即初次下降點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力為試件初始起裂應(yīng)力。本研究?jī)H選取產(chǎn)生翼裂紋的試件，意味著曲線中出現(xiàn)的初次應(yīng)力降或者應(yīng)變屈服軟化為翼裂紋的初始起裂，后續(xù)的每一次應(yīng)力降代表其他翼裂紋的起裂或原有翼裂紋的擴(kuò)展貫通。

with different inclination angles

統(tǒng)計(jì)各傾角試件應(yīng)力-應(yīng)變曲線中初次應(yīng)力降點(diǎn)或屈服點(diǎn)的應(yīng)力值，預(yù)制0°、30°、45°、60°和90°裂紋翼裂紋起裂應(yīng)力分別為峰值應(yīng)力的52%、78%、80%、88%、90%，預(yù)制裂紋傾角越大翼裂紋起裂應(yīng)力越接近峰值強(qiáng)度。對(duì)不同預(yù)制裂紋傾角起裂應(yīng)力進(jìn)行擬合，擬合直線如圖12所示。預(yù)制裂紋傾角越大，翼裂紋的起裂應(yīng)力越大，與本研究的預(yù)測(cè)趨勢(shì)具有一致性。

對(duì)裂紋體施加相同的軸向壓力，裂尖周向應(yīng)力越大起裂應(yīng)力越小，周向應(yīng)力與起裂應(yīng)力負(fù)相關(guān)。收集文獻(xiàn)［29］和文獻(xiàn)［6］中的三軸壓縮試驗(yàn)應(yīng)力數(shù)據(jù)。為了方便說明將計(jì)算所得均一化起裂應(yīng)力放大400倍，得到圖13所示對(duì)比圖。由圖可得，側(cè)壓系數(shù)較小，起裂應(yīng)力隨k幾乎線性增加，符合文獻(xiàn)［6］的變化趨勢(shì)；側(cè)壓系數(shù)較大，起裂應(yīng)力隨k增長(zhǎng)變快，類似指數(shù)形式，符合文獻(xiàn)［29］的變化趨勢(shì)。后期隨著k的增加，翼裂紋起裂應(yīng)力將超過試件抗壓強(qiáng)度，從另一方面說明在較大的圍壓下，翼裂紋不會(huì)產(chǎn)生。

對(duì)于巖石或混凝土等脆性材質(zhì)， SCHIMIDT［30］根據(jù)最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則給出計(jì)算開裂過程區(qū)半徑rc的公式，即

rc=12πKⅠcσt2

（29）

式中：KⅠc為Ⅰ型斷裂韌度；σt為抗拉強(qiáng)度。根據(jù)表1可求得本次試驗(yàn)所用砂巖的斷裂過程區(qū)半徑rc約為2.52mm，根據(jù)式（24）可求得砂巖翼裂紋開裂角。預(yù)測(cè)值和試驗(yàn)值如圖14所示，可以看出翼裂紋開裂角隨預(yù)制裂紋傾角的增大而降低，且試驗(yàn)值基本在預(yù)測(cè)值處上下波動(dòng)。根據(jù)擬合曲線，裂紋傾角在0°附近預(yù)測(cè)值偏大，90°附近預(yù)測(cè)值偏小，中間角度預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)值吻合較好。

5" 結(jié)" 論

本研究通過偽力法和復(fù)變理論給出三軸壓縮的Γ函數(shù)及相應(yīng)的裂紋尖端應(yīng)力函數(shù)和考慮T應(yīng)力的場(chǎng)方程，根據(jù)最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則分析了裂紋面有效剪應(yīng)力等于0和大于0兩種情況下翼裂紋開裂角、側(cè)壓系數(shù)對(duì)周向應(yīng)力的影響和單軸壓縮預(yù)制裂紋傾角對(duì)翼裂紋起裂應(yīng)力的影響。通過預(yù)制裂紋砂巖單軸壓縮試驗(yàn)得到翼裂紋開裂角和起裂應(yīng)力，將三軸壓縮的預(yù)測(cè)值與文獻(xiàn)值進(jìn)行對(duì)比。分析理論和試驗(yàn)結(jié)果可得如下結(jié)論。

1）裂紋面有效剪應(yīng)力等于0，開裂臨界相對(duì)尺寸λ→0或者預(yù)制裂紋傾角α→45°，T應(yīng)力對(duì)開裂角的影響作用可以忽略；裂紋面有效剪應(yīng)力大于0，僅當(dāng)開裂臨界相對(duì)尺寸λ→0，T應(yīng)力對(duì)開裂角的影響較小，這種情況與忽略T應(yīng)力的經(jīng)典斷裂理論相同。

2）分析了側(cè)壓系數(shù)對(duì)周向應(yīng)力的影響，結(jié)果表明周向拉應(yīng)力隨側(cè)壓系數(shù)的增大而減小，翼裂紋開裂所需的載荷隨側(cè)壓系數(shù)的增大而增大。

3）三軸壓縮時(shí)，隨著開裂相對(duì)臨界尺寸λ的增大，峰值周向應(yīng)力由拉轉(zhuǎn)為壓，從而翼裂紋在擴(kuò)展的過程中受到抑制。裂紋面有效剪應(yīng)力大于0時(shí)峰值周向應(yīng)力由拉應(yīng)力轉(zhuǎn)為壓應(yīng)力會(huì)更早地發(fā)生，圍壓對(duì)翼裂紋擴(kuò)展的抑制作用增強(qiáng)。

4）單軸壓縮試驗(yàn)得到的翼裂紋開裂角與本研究預(yù)測(cè)值較吻合，翼裂紋起裂應(yīng)力隨裂紋傾角的增大而增大。通過文獻(xiàn)數(shù)據(jù)對(duì)比，三軸壓縮下翼裂紋起裂應(yīng)力隨側(cè)壓系數(shù)的增大而增大，與本研究的預(yù)測(cè)趨勢(shì)具有一致性。

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（編輯" 李坤璐）