多級(jí)多重模態(tài)減縮策略及其在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性分析上的應(yīng)用

姚毅 黃行蓉 管曉樂(lè) 徐迅 張大義

摘要： 航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子部件眾多，多部件高維復(fù)雜系統(tǒng)計(jì)算量大，導(dǎo)致動(dòng)力學(xué)分析困難、計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)，進(jìn)而影響轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和動(dòng)力學(xué)驗(yàn)證的效率?；诓考B(tài)綜合方法，提出一種針對(duì)多部件高維復(fù)雜系統(tǒng)降維計(jì)算的多級(jí)模態(tài)減縮策略。對(duì)每個(gè)單獨(dú)的子結(jié)構(gòu)利用固定界面模態(tài)減縮，并行減縮各子結(jié)構(gòu)的內(nèi)部自由度，同時(shí)完整保留子結(jié)構(gòu)間的耦合關(guān)系。通過(guò)子結(jié)構(gòu)組合定義新一級(jí)的子結(jié)構(gòu)，應(yīng)用多級(jí)模態(tài)減縮策略提升降維減縮效果，結(jié)合多重模態(tài)減縮方法，構(gòu)建界面分支模態(tài)，可顯著降低轉(zhuǎn)子有限元模型的維數(shù)，同時(shí)保留關(guān)鍵子結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特征和系統(tǒng)整體關(guān)鍵動(dòng)力學(xué)特性。此計(jì)算策略被用于某彈用發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)低維減縮模型的建立，利用減縮模型提升了轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)分析的效率，加速軸承剛度參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。研究結(jié)果表明，與ANSYS計(jì)算相比，轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)分析所需時(shí)間降低了99.5%，精度誤差不超過(guò)0.1%，該計(jì)算策略可用于多部件高維復(fù)雜系統(tǒng)的快速分析。

關(guān)鍵詞： 轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)； 部件模態(tài)綜合； 多級(jí)模態(tài)減縮； 模態(tài)減縮； 部件優(yōu)化

中圖分類號(hào)： O347.6??? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A??? 文章編號(hào)： 1004-4523（2024）05-0737-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.05.002

引? 言

準(zhǔn)確預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，如臨界轉(zhuǎn)速等，對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)等旋轉(zhuǎn)機(jī)械的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)非常重要。有限元方法能夠充分模擬多部件轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)復(fù)雜的幾何、材料等結(jié)構(gòu)特征，較為精確地計(jì)算轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)特性，在實(shí)際轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)中得到了廣泛應(yīng)用［1?3］。然而，有限元方法的精確計(jì)算通常要求大量的自由度，轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)特性預(yù)測(cè)需要在不同轉(zhuǎn)速下多次計(jì)算轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的模態(tài)，需要大量的計(jì)算資源［4］。并且，在多部件轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，對(duì)少數(shù)參數(shù)的調(diào)整（如軸承剛度參數(shù)）均需要重新計(jì)算轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，進(jìn)一步加重了計(jì)算資源的負(fù)擔(dān)，進(jìn)而影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的效率。如何在保證計(jì)算精度的前提下，實(shí)現(xiàn)多部件高維復(fù)雜模型的動(dòng)力學(xué)特性快速分析成為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)中不可回避的問(wèn)題。

部件模態(tài)綜合方法是高維復(fù)雜模型常用的降維計(jì)算方法之一。左彥飛等［5?6］、馬威猛等［7］采用部件模態(tài)綜合方法減縮三維有限元轉(zhuǎn)子模型，能夠減少轉(zhuǎn)子模型87%的自由度數(shù)目，節(jié)省80%左右的計(jì)算資源。孫傳宗等［8］將固定界面模態(tài)減縮方法應(yīng)用于單轉(zhuǎn)子和雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的降維，通過(guò)對(duì)比臨界轉(zhuǎn)速和固有振動(dòng)特性驗(yàn)證了縮減模型的準(zhǔn)確性?？芎＝龋?］建立了盤片軸一體化結(jié)構(gòu)的低維減縮模型，給出了一種模態(tài)保留階數(shù)的選取原則。

對(duì)于多部件復(fù)雜結(jié)構(gòu)，以傳統(tǒng)方式應(yīng)用模態(tài)綜合方法建立的減縮模型自由度數(shù)量仍然很高，并且在模態(tài)綜合方法的應(yīng)用過(guò)程中，模型矩陣的稀疏性會(huì)被破壞，甚至出現(xiàn)“自由度數(shù)量減少，計(jì)算量反而增加”的情況［10］。

多重模態(tài)減縮方法和多級(jí)模態(tài)減縮方法基于傳統(tǒng)模態(tài)綜合方法，進(jìn)行多次減縮計(jì)算，進(jìn)一步減少自由度數(shù)量，提升減縮效果。高峰等［11］應(yīng)用雙重減縮建模方法建立了失諧葉盤的減縮低維模型，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證了其準(zhǔn)確性。黃行蓉等［12?13］、Yao等［14］結(jié)合對(duì)稱化方法提出適用于聲固耦合系統(tǒng)的多重模態(tài)減縮方法，并提出了一種選取模態(tài)保留數(shù)量的策略。Huang等［15］將多重模態(tài)減縮方法應(yīng)用于控制優(yōu)化，以提升數(shù)值計(jì)算的效率。Jin等［16］在第一重模態(tài)減縮后進(jìn)行模態(tài)拓展，提升雙重模態(tài)減縮方法的精度，并將其應(yīng)用于雙盤轉(zhuǎn)子的減縮計(jì)算。Wang等［17］通過(guò)對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)雙重模態(tài)減縮和三重模態(tài)減縮兩種減縮方式的精度差別受子結(jié)構(gòu)劃分方式的影響。和非線性模態(tài)理論結(jié)合，多重模態(tài)減縮方法越來(lái)越廣泛地被應(yīng)用于非線性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的分析［18?19］。

多重模態(tài)減縮方法是根據(jù)子結(jié)構(gòu)間耦合關(guān)系，依次對(duì)各子結(jié)構(gòu)進(jìn)行減縮降維，只能串行計(jì)算；而多級(jí)模態(tài)減縮方法在子結(jié)構(gòu)劃分階段即區(qū)分了子結(jié)構(gòu)間的從屬關(guān)系，同一級(jí)子結(jié)構(gòu)的減縮可以同時(shí)進(jìn)行，下級(jí)子結(jié)構(gòu)減縮模型作為上級(jí)子結(jié)構(gòu)的一部分參與上級(jí)子結(jié)構(gòu)的減縮計(jì)算。Elssel等［20］采用“二叉樹(shù)”的形式分級(jí)劃分子結(jié)構(gòu)，每一級(jí)子結(jié)構(gòu)分解為兩個(gè)下級(jí)子結(jié)構(gòu)自由度、交界處自由度和保留自由度，通過(guò)忽略下級(jí)子結(jié)構(gòu)的高階模態(tài)，逐級(jí)組合得到整體模型的減縮模型。在大型轉(zhuǎn)子系統(tǒng)特征值求解中的應(yīng)用證明了此多級(jí)模態(tài)減縮方法的有效性。但“二叉樹(shù)”形的子結(jié)構(gòu)劃分方式不一定完全適應(yīng)大型轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)各部件間的復(fù)雜耦合關(guān)系。

本文針對(duì)多部件高維復(fù)雜模型計(jì)算量大的問(wèn)題，基于部件模態(tài)綜合方法，提出了一種多級(jí)模態(tài)減縮策略。首先，基于固定界面模態(tài)減縮方法，介紹了多級(jí)模態(tài)減縮策略的原理和流程。接著，利用彈簧單元等效模擬軸承，將其定義為關(guān)鍵子結(jié)構(gòu)，通過(guò)某彈用發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的減縮建模實(shí)例，詳細(xì)說(shuō)明了多級(jí)模態(tài)減縮策略，以及與多重模態(tài)減縮方法結(jié)合的應(yīng)用過(guò)程。然后，借助該實(shí)例的減縮效果和修改關(guān)鍵子結(jié)構(gòu)剛度參數(shù)后的動(dòng)力學(xué)特性快速分析，證明了多級(jí)模態(tài)減縮策略的有效性和優(yōu)勢(shì)，為多部件高維復(fù)雜模型的快速分析、提升優(yōu)化設(shè)計(jì)效率提供了參考。

1 多級(jí)模態(tài)減縮方法

1.1 固定界面模態(tài)減縮方法

固定界面模態(tài)減縮方法是高維復(fù)雜結(jié)構(gòu)降維過(guò)程中較為常用的方法之一，也被稱為Craig?Bampton方法［21］。將轉(zhuǎn)子系統(tǒng)分解為內(nèi)部子結(jié)構(gòu)和界面子結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可寫為：

式中 K，G 和M 分別表示剛度矩陣、陀螺矩陣和質(zhì)量矩陣；X 表示位移；下標(biāo)b 和i 分別用來(lái)標(biāo)記界面子結(jié)構(gòu)和內(nèi)部子結(jié)構(gòu)；Ω 表示轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速；Fe 為外部激勵(lì)力。

式中 U 表示位移振幅；j 表示虛數(shù)單位；ω 表示自由振動(dòng)頻率；t 表示時(shí)間。

對(duì)內(nèi)部子結(jié)構(gòu)進(jìn)行減縮，其位移變量Ui 可以看作由兩部分組成：（1）當(dāng)界面子結(jié)構(gòu)被約束，作用在內(nèi)部子結(jié)構(gòu)上的外載荷產(chǎn)生的位移；（2）由界面子結(jié)構(gòu)引起的靜態(tài)位移。表示為：

Ui = Φi qi + ΨiUb （3）

式中 Φi 表示通過(guò)求解內(nèi)部子結(jié)構(gòu)的自由度振動(dòng)方程保留前Nir 階的模態(tài)得到的模態(tài)矩陣；qi 為對(duì)應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo)；約束模態(tài)Ψi =-K -1ii Kib。

減縮變量關(guān)系可表示為：

式中 Ib 表示與Ub 維數(shù)對(duì)應(yīng)的單位陣；Ti 為減縮矩陣。通過(guò)對(duì)內(nèi)部子結(jié)構(gòu)的減縮，整體系統(tǒng)的維數(shù)降低，減縮后的自由振動(dòng)方程為：

式中? 減縮內(nèi)部子結(jié)構(gòu)后的各矩陣分別為：

1.2 多級(jí)模態(tài)減縮策略

為了解決多部件高維復(fù)雜結(jié)構(gòu)計(jì)算的困難，本文基于固定界面模態(tài)減縮方法提出多級(jí)模態(tài)減縮策略。依據(jù)自然邊界，將多部件復(fù)雜結(jié)構(gòu)劃分為n個(gè)一級(jí)子結(jié)構(gòu)，且在各一級(jí)子結(jié)構(gòu)內(nèi)部區(qū)分界面自由度和內(nèi)部自由度。將界面（boundary）自由度定義為和其他子結(jié)構(gòu)有直接耦合的部分；內(nèi)部（interior）自由度和其他子結(jié)構(gòu)沒(méi)有直接耦合關(guān)系，通過(guò)界面自由度和其他子結(jié)構(gòu)間接耦合。

包括n個(gè)一級(jí)子結(jié)構(gòu)的整體系統(tǒng)的自由振動(dòng)方程可寫為：

式中 S = K + jωΩG - ω2 M；上標(biāo)b 和i 表示界面自由度和內(nèi)部自由度；下標(biāo)1，2 和n 表示子結(jié)構(gòu)編號(hào)。

為減縮第k 個(gè)子結(jié)構(gòu)內(nèi)部自由度，通過(guò)固定界面模態(tài)減縮方法構(gòu)建減縮矩陣Tk，分為兩部分：（1）求解第k 個(gè)子結(jié)構(gòu)內(nèi)部自由度的局部模態(tài)Φik，保留前N irk 階；（2）求解約束模態(tài)Ψ ibk 。最終組合得到減縮矩陣為：

式中 I 表示單位矩陣，其維數(shù)為N irk 。

應(yīng)用Tk 減縮k 號(hào)子結(jié)構(gòu)的內(nèi)部自由度，完成第一級(jí)模態(tài)減縮：

在結(jié)構(gòu)減縮過(guò)程中，基于子結(jié)構(gòu)內(nèi)部自由度和界面自由度的定義，對(duì)于k 號(hào)和k'號(hào)的兩個(gè)子結(jié)構(gòu)，其耦合關(guān)系體現(xiàn)在子結(jié)構(gòu)的界面自由度之間的耦合矩陣Sbbkk'，k ≠ k'中，該項(xiàng)在多級(jí)模態(tài)減縮的單獨(dú)一級(jí)模態(tài)減縮過(guò)程中不受影響，被完整保留在減縮子結(jié)構(gòu)中，此特點(diǎn)可以保證子結(jié)構(gòu)連接界面的動(dòng)力學(xué)特性。

完成一次內(nèi)部自由度的減縮后，有可能出現(xiàn)“自由度減少，計(jì)算量反而增加”的現(xiàn)象。其原因?yàn)闇p縮前的大型多部件動(dòng)力學(xué)模型中的各項(xiàng)矩陣均為稀疏矩陣，而在減縮計(jì)算中，模態(tài)矩陣Φik 和約束模態(tài)Ψ ibk均為稠密矩陣。經(jīng)過(guò)減縮計(jì)算，包括剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和陀螺矩陣在內(nèi)的各項(xiàng)矩陣均變稠密，導(dǎo)致計(jì)算量增加，數(shù)據(jù)存儲(chǔ)和矩陣計(jì)算更加困難。如果矩陣維數(shù)并未下降到一定量級(jí)，如103 量級(jí)，計(jì)算量仍然顯著，甚至?xí)^(guò)減縮前的計(jì)算模型。

為了解決該問(wèn)題，本文提出多級(jí)模態(tài)減縮策略，提升模型降維的程度，進(jìn)一步降低減縮模型的計(jì)算量。在完成第一級(jí)模態(tài)減縮后，將鄰近的若干一級(jí)子結(jié)構(gòu)組合得到m 個(gè)二級(jí)子結(jié)構(gòu)。將k 號(hào)二級(jí)子結(jié)構(gòu)包含的自由度Vk 重新區(qū)分界面自由度V bk 和內(nèi)部自由度V ik，轉(zhuǎn)子整體系統(tǒng)的自由振動(dòng)方程可寫為：

式中 組合若干一級(jí)子結(jié)構(gòu)得到二級(jí)子結(jié)構(gòu)的局部動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)SS = K + jωΩG - ω2 M；V 表示二級(jí)子結(jié)構(gòu)的幅值。

對(duì)二級(jí)子結(jié)構(gòu)的內(nèi)部自由度進(jìn)行固定界面模態(tài)減縮，即可進(jìn)一步降低整體系統(tǒng)的自由度數(shù)量。

在完成上一級(jí)子結(jié)構(gòu)減縮計(jì)算后，評(píng)估子結(jié)構(gòu)數(shù)量和自由度數(shù)量，如二者均比較多，則根據(jù)子結(jié)構(gòu)耦合關(guān)系組合下一級(jí)的子結(jié)構(gòu)，再次減縮其內(nèi)部自由度；如果子結(jié)構(gòu)數(shù)量較少，而自由度數(shù)量較多，則可以應(yīng)用多重模態(tài)減縮策略進(jìn)一步減縮子結(jié)構(gòu)自由度；如果自由度數(shù)量較少，則完成減縮計(jì)算，得到多部件高維復(fù)雜結(jié)構(gòu)的減縮模型。

在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，通常有部分結(jié)構(gòu)參數(shù)需要多次調(diào)整，每次參數(shù)調(diào)整都需要進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，計(jì)算其動(dòng)力學(xué)特性，如航空發(fā)動(dòng)機(jī)中的軸承剛度等。對(duì)于存在需要進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)部件的多部件大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)，可以將其定義為關(guān)鍵子結(jié)構(gòu)，不參與模態(tài)減縮，從而被完整保留到減縮模型中，以便在減縮模型中直接替換關(guān)鍵子結(jié)構(gòu)參數(shù)，避免重復(fù)進(jìn)行減縮計(jì)算。

綜上，考慮關(guān)鍵子結(jié)構(gòu)的多級(jí)模態(tài)減縮流程如下：

步驟1：確定需要進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的部件，作為關(guān)鍵子結(jié)構(gòu)。

步驟2：劃分子結(jié)構(gòu)，將關(guān)鍵部件劃分為單獨(dú)子結(jié)構(gòu)。

步驟3：根據(jù)子結(jié)構(gòu)耦合關(guān)系，區(qū)別界面自由度和內(nèi)部自由度。

步驟4：對(duì)各子結(jié)構(gòu)的內(nèi)部自由度進(jìn)行減縮。

步驟5：將子結(jié)構(gòu)間耦合項(xiàng)中的零矩陣縮減至減縮模型對(duì)應(yīng)維數(shù)，得到一級(jí)減縮模型。

步驟6：評(píng)估子結(jié)構(gòu)數(shù)量和自由度數(shù)量：如二者均比較多，則根據(jù)子結(jié)構(gòu)耦合關(guān)系組合下一級(jí)的子結(jié)構(gòu)，返回步驟3；如果子結(jié)構(gòu)數(shù)量較少，而自由度數(shù)量較多，則應(yīng)用多重模態(tài)減縮策略進(jìn)一步減縮子結(jié)構(gòu)自由度；如果自由度數(shù)量較少，則完成減縮計(jì)算，得到多部件高維復(fù)雜結(jié)構(gòu)的減縮模型。

2 減縮實(shí)例

本節(jié)將多級(jí)模態(tài)減縮策略應(yīng)用于某彈用發(fā)動(dòng)機(jī)的簡(jiǎn)化轉(zhuǎn)子模型動(dòng)力學(xué)特性分析，以該實(shí)例具體介紹多級(jí)模態(tài)減縮策略的過(guò)程：建立發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的有限元模型；轉(zhuǎn)子模型被劃分為18個(gè)一級(jí)子結(jié)構(gòu)，定義關(guān)鍵子結(jié)構(gòu)；首先減縮一級(jí)子結(jié)構(gòu)的維數(shù)；在組合一級(jí)子結(jié)構(gòu)得到二級(jí)子結(jié)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步降維的同時(shí)，縮減子結(jié)構(gòu)數(shù)量；最后應(yīng)用三重模態(tài)綜合建立轉(zhuǎn)子的減縮模型；基于減縮模型實(shí)現(xiàn)高效的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)特性分析和關(guān)鍵子結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。流程圖如圖1所示。

2.1 一級(jí)子結(jié)構(gòu)模態(tài)減縮

轉(zhuǎn)子前后兩個(gè)軸承處分別建有遠(yuǎn)程節(jié)點(diǎn)，通過(guò)建立彈簧單元等效軸承剛度［22］，將兩個(gè)遠(yuǎn)程節(jié)點(diǎn)定義為1號(hào)子結(jié)構(gòu)，其余一級(jí)子結(jié)構(gòu)根據(jù)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)部件定義。轉(zhuǎn)子整體結(jié)構(gòu)共有18個(gè)一級(jí)子結(jié)構(gòu)，各子結(jié)構(gòu)的編號(hào)如圖2所示。1號(hào)子結(jié)構(gòu)定義為“關(guān)鍵子結(jié)構(gòu)”，將關(guān)鍵子結(jié)構(gòu)完全保留，不對(duì)其進(jìn)行減縮。

轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)軸劃分為2，3，4，12，13，16和17號(hào)子結(jié)構(gòu)，軸流葉盤由5和6號(hào)子結(jié)構(gòu)組成，7和8號(hào)子結(jié)構(gòu)分別表示防振彈性環(huán)和軸?離轉(zhuǎn)接座，離心葉盤由9，10，11和18號(hào)子結(jié)構(gòu)組成，渦輪葉盤由14和15號(hào)子結(jié)構(gòu)組成。轉(zhuǎn)子各部件的自由度數(shù)量如表1所示，共有790569個(gè)自由度。

子結(jié)構(gòu)內(nèi)區(qū)分界面自由度和內(nèi)部自由度，k號(hào)一級(jí)子結(jié)構(gòu)的局部自由振動(dòng)方程可寫為：

以2 號(hào)一級(jí)子結(jié)構(gòu)為例，2 號(hào)子結(jié)構(gòu)僅與3 號(hào)子結(jié)構(gòu)直接耦合，2 號(hào)子結(jié)構(gòu)和3 號(hào)子結(jié)構(gòu)的局部剛度矩陣的非零元素分布圖如圖3 所示。子結(jié)構(gòu)之間的耦合關(guān)系體現(xiàn)為計(jì)算矩陣的非零元素，矩陣的計(jì)算量和非零元素的數(shù)量呈正相關(guān)，矩陣中非零元素的數(shù)量標(biāo)注為圖3 中的nz。紅色框內(nèi)為2 號(hào)子結(jié)構(gòu)剛度矩陣，以黑色線分割為四部分，分別為K bb22，K ib22，K bi22和K ii22。其界面自由度和3 號(hào)子結(jié)構(gòu)的界面自由度直接耦合，體現(xiàn)為非零矩陣K bb

23 和K bb

32；其余自由度之間

無(wú)直接耦合，耦合矩陣對(duì)應(yīng)部分均為0 矩陣。

應(yīng)用固定界面模態(tài)綜合減縮k號(hào)一級(jí)子結(jié)構(gòu)的內(nèi)部自由度分4個(gè)步驟進(jìn)行。

首先，求解內(nèi)部自由度的局部自由振動(dòng)方程：

K iikkU ik - ω2 M iikkU ik = 0 （11）

通過(guò)式（11）計(jì)算k 號(hào)一級(jí)子結(jié)構(gòu)模態(tài)Φki，Φki滿足：

式中 Λki 表示k 號(hào)一級(jí)子結(jié)構(gòu)內(nèi)部自由度被保留的前100 階子結(jié)構(gòu)模態(tài)對(duì)應(yīng)的頻率組成的對(duì)角矩陣；Iki 表示單位陣。

其次，根據(jù)k 號(hào)一級(jí)子結(jié)構(gòu)內(nèi)部自由度和邊界自由度的耦合關(guān)系，求解約束模態(tài)Ψ ibkk：

Ψ ibkk =-K ii-1kk K ibkk （13）

再次，組合約束模態(tài)和k 號(hào)一級(jí)子結(jié)構(gòu)內(nèi)部自由度子結(jié)構(gòu)模態(tài)得到k 號(hào)一級(jí)子結(jié)構(gòu)的減縮矩陣Tk：

最后，對(duì)k號(hào)一級(jí)子結(jié)構(gòu)剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和陀螺矩陣的減縮如下：

在一級(jí)子結(jié)構(gòu)內(nèi)部自由度減縮完成后，將各一級(jí)子結(jié)構(gòu)之間的0耦合項(xiàng)縮減到對(duì)應(yīng)維數(shù)。以2號(hào)一級(jí)子結(jié)構(gòu)為例，一級(jí)子結(jié)構(gòu)減縮后的2號(hào)子結(jié)構(gòu)和3號(hào)子結(jié)構(gòu)的局部剛度矩陣不再稀疏，如圖4所示，稠密矩陣中的非零元素?cái)?shù)量為43965194，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于圖3所示稀疏矩陣中的3443638，維數(shù)降低，計(jì)算量反而增加。

經(jīng)過(guò)一級(jí)子結(jié)構(gòu)模態(tài)減縮，各子結(jié)構(gòu)的自由度數(shù)量如表2所示，轉(zhuǎn)子整體模型的維數(shù)從790569降低至148229。

2.2 二級(jí)子結(jié)構(gòu)模態(tài)減縮

一級(jí)子結(jié)構(gòu)模態(tài)減縮完成后，轉(zhuǎn)子整體模型維數(shù)仍然較高，需要進(jìn)行第二級(jí)子結(jié)構(gòu)模態(tài)減縮。轉(zhuǎn)子整體結(jié)構(gòu)共有18個(gè)一級(jí)子結(jié)構(gòu)，組合一級(jí)子結(jié)構(gòu)得到的二級(jí)子結(jié)構(gòu)如圖5所示，圖中斜體數(shù)字表示二級(jí)子結(jié)構(gòu)的編號(hào)。1號(hào)子結(jié)構(gòu)保持不變，1號(hào)子結(jié)構(gòu)和其他子結(jié)構(gòu)的耦合表征軸承剛度信息作為關(guān)鍵子結(jié)構(gòu)保留；轉(zhuǎn)軸段子結(jié)構(gòu)合并為2號(hào)二級(jí)子結(jié)構(gòu)，包括2，3，4，12，13，14，16和17號(hào)一級(jí)子結(jié)構(gòu)；5，6，7和8號(hào)一級(jí)子結(jié)構(gòu)組成3號(hào)二級(jí)子結(jié)構(gòu)；9，10，11，15和18號(hào)一級(jí)子結(jié)構(gòu)組成4號(hào)二級(jí)子結(jié)構(gòu)。

將各二級(jí)子結(jié)構(gòu)分別劃分內(nèi)部自由度和界面自由度，再次應(yīng)用固定界面模態(tài)綜合減縮各二級(jí)子結(jié)構(gòu)的內(nèi)部自由度。經(jīng)過(guò)二級(jí)子結(jié)構(gòu)模態(tài)減縮，轉(zhuǎn)子各子結(jié)構(gòu)自由度數(shù)量對(duì)比如表3所示，整體模型的維數(shù)從148229降低至56757。

2.3 三重模態(tài)減縮

經(jīng)過(guò)兩級(jí)子結(jié)構(gòu)模態(tài)減縮，轉(zhuǎn)子整體模型自由度數(shù)量從790569降低至56757，軸承剛度作為關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)得以保留。模型的子結(jié)構(gòu)數(shù)量較少，自由度數(shù)量仍然較多。在多級(jí)模態(tài)減縮的基礎(chǔ)上，結(jié)合三重模態(tài)減縮方法，進(jìn)一步降維。

2.3.1 4號(hào)子結(jié)構(gòu)模態(tài)減縮

經(jīng)過(guò)兩級(jí)子結(jié)構(gòu)模態(tài)減縮，轉(zhuǎn)子整體模型共有4個(gè)二級(jí)子結(jié)構(gòu)、56757個(gè)自由度。轉(zhuǎn)子整體模型的自由振動(dòng)方程可寫為：

其中，關(guān)鍵子結(jié)構(gòu)——軸承等效彈簧的剛度參數(shù)被保留在子結(jié)構(gòu)剛度矩陣K11 中。

4號(hào)子結(jié)構(gòu)和2號(hào)，3號(hào)子結(jié)構(gòu)之間存在直接耦合關(guān)系，其子結(jié)構(gòu)位移可看作由三部分構(gòu)成：一是由2號(hào)子結(jié)構(gòu)引起4號(hào)子結(jié)構(gòu)的位移；二是由3號(hào)子結(jié)構(gòu)引起4號(hào)子結(jié)構(gòu)的位移；三是其他子結(jié)構(gòu)被約束時(shí)，作用在4號(hào)子結(jié)構(gòu)上的外力引起的位移。表示為：

U4 = Ψ42U2 + Ψ43U3 + Φ4 q4 （17）

式中 約束模態(tài)Ψ42 =-K -144 K42，Ψ43 =-K -144 K43；q4 為4 號(hào)子結(jié)構(gòu)前100 階模態(tài)幅值變量；4 號(hào)子結(jié)構(gòu)前100 階子結(jié)構(gòu)模態(tài)Φ4 通過(guò)求解如下局部自由振動(dòng)方程計(jì)算：

K44U4 - ω2 M44U4 = 0 （18）

且滿足：

4號(hào)子結(jié)構(gòu)的減縮矩陣構(gòu)建為：

對(duì)4號(hào)子結(jié)構(gòu)變量、剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和陀螺矩陣的減縮表示為：

轉(zhuǎn)子整體模型的自由度數(shù)量從56757降低至40125。

對(duì)4號(hào)子結(jié)構(gòu)的減縮中，作用在4號(hào)子結(jié)構(gòu)上的外力引起的位移部分的高階模態(tài)組分被忽略；由2號(hào)和3號(hào)子結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)引起4號(hào)子結(jié)構(gòu)的位移分別被凝縮在2號(hào)和3號(hào)子結(jié)構(gòu)上。

2.3.2 3號(hào)子結(jié)構(gòu)模態(tài)減縮

考慮靜力學(xué)耦合效果，經(jīng)過(guò)對(duì)4號(hào)子結(jié)構(gòu)的減縮后，3號(hào)子結(jié)構(gòu)和2號(hào)子結(jié)構(gòu)之間存在直接耦合關(guān)系，其子結(jié)構(gòu)位移可看作由兩部分構(gòu)成：一是由2號(hào)子結(jié)構(gòu)引起3號(hào)子結(jié)構(gòu)的位移；二是其他子結(jié)構(gòu)被約束時(shí)，作用在3號(hào)子結(jié)構(gòu)上的外力引起的位移。

由于在第一重模態(tài)減縮時(shí)，由3號(hào)子結(jié)構(gòu)引起4號(hào)子結(jié)構(gòu)的振動(dòng)被凝縮在3號(hào)子結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中，此時(shí)求解的3號(hào)子結(jié)構(gòu)的子結(jié)構(gòu)模態(tài)為界面分支模態(tài)，包含了4號(hào)子結(jié)構(gòu)對(duì)3號(hào)子結(jié)構(gòu)的影響：

U3 = Ψ32U2 + Φ3 q3 （22）

式中 約束模態(tài)Ψ32 =-K r4-133 K r432；q3 為3 號(hào)子結(jié)構(gòu)前100 階模態(tài)幅值變量；3 號(hào)子結(jié)構(gòu)前100 階子結(jié)構(gòu)模態(tài)Φ3 通過(guò)求解如下局部自由振動(dòng)方程計(jì)算：

K r433U3 - ω2 M r433 U3 = 0 （23）

且滿足：

3號(hào)子結(jié)構(gòu)的減縮矩陣構(gòu)建為：

對(duì)3號(hào)子結(jié)構(gòu)變量、剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和陀螺矩陣的減縮表示為：

轉(zhuǎn)子整體模型的自由度數(shù)量從40125降低至26085。

2.3.3 2號(hào)子結(jié)構(gòu)模態(tài)減縮

只考慮靜力學(xué)耦合，經(jīng)過(guò)對(duì)4號(hào)和3號(hào)子結(jié)構(gòu)的減縮后，2號(hào)子結(jié)構(gòu)和1號(hào)子結(jié)構(gòu)之間存在直接耦合關(guān)系，其子結(jié)構(gòu)位移可看作由兩部分構(gòu)成：一是由1號(hào)子結(jié)構(gòu)引起2號(hào)子結(jié)構(gòu)的位移；二是其他子結(jié)構(gòu)被約束時(shí)，作用在2號(hào)子結(jié)構(gòu)上的外力引起的位移，表示為：

U2 = Ψ21U1 + Φ2 q2 （27）

式中 約束模態(tài)Ψ21 =-K r3-122 K r321；q2 為2 號(hào)子結(jié)構(gòu)前100 階模態(tài)幅值變量；2 號(hào)子結(jié)構(gòu)前100 階子結(jié)構(gòu)界面分支模態(tài)Φ2 通過(guò)求解如下局部自由振動(dòng)方程計(jì)算：

K r322U2 - ω2 M r322 U2 = 0 （28）

且滿足：

2號(hào)子結(jié)構(gòu)的減縮矩陣構(gòu)建為：

對(duì)2號(hào)子結(jié)構(gòu)變量、剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和陀螺矩陣的減縮表示為：

轉(zhuǎn)子整體模型的自由度數(shù)量從26085降低至309。

三重模態(tài)減縮依次對(duì)4，3和2號(hào)二級(jí)減縮子結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)減縮，轉(zhuǎn)子整體模型的自由度數(shù)量從56757降低至309，得到最終的低維減縮模型。

關(guān)鍵子結(jié)構(gòu)的剛度矩陣K11 被保留，通過(guò)修改1號(hào)子結(jié)構(gòu)的剛度矩陣來(lái)調(diào)整前后軸承的剛度，利用減縮模型核算轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)特性，快速反饋優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果。但需要注意的是，在修改替換矩陣元素時(shí)，需要考慮減縮附加項(xiàng)-K12 K r3-1

22 K21。

3 多級(jí)和多重模態(tài)減縮效果及其在關(guān)鍵部件優(yōu)化設(shè)計(jì)上的應(yīng)用

3.1 減縮策略效果

前后軸承的剛度分別設(shè)置為1×107和1×108 N/m，Y，Z兩個(gè)方向剛度相同，忽略剛體模態(tài)，計(jì)算第2～5階模態(tài)，得到坎貝爾圖如圖6所示。第一階正進(jìn)動(dòng)臨界轉(zhuǎn)速為17443 r/min，第二階正進(jìn)動(dòng)臨界轉(zhuǎn)速為44580 r/min。

采用ANSYS計(jì)算結(jié)果作為參考標(biāo)準(zhǔn)，各階模態(tài)頻率計(jì)算中，轉(zhuǎn)速50000 r/min時(shí)第二階反進(jìn)動(dòng)模態(tài)頻率誤差最大，ANSYS計(jì)算結(jié)果為595.38 Hz，減縮模型計(jì)算結(jié)果為595.76 Hz，最大相對(duì)誤差為0.064%。

零轉(zhuǎn)速下，根據(jù)ANSYS計(jì)算所得振型和減縮模型所得振型，計(jì)算修正模態(tài)置信因子［23］（ModMAC， Modified Modal Assurance Criterion），結(jié)果如圖7所示。

ANSYS振型和ANSYS振型計(jì)算得到的MAC圖如圖7（a）所示，同階模態(tài)振型計(jì)算得到的MAC值均為1，相鄰對(duì)稱模態(tài)振型計(jì)算得到的MAC值分布于0～1之間，其他模態(tài)計(jì)算得到的MAC值為0。第二階和第三階模態(tài)振型如圖8所示。減縮模型振型和ANSYS振型計(jì)算得到的MAC圖如圖7（b）所示，其中由于振型減縮誤差，減縮模型第二階模態(tài)的MAC值稍小，其他振型的計(jì)算誤差均在誤差許可范圍內(nèi)。

ANSYS計(jì)算所用時(shí)間是3091 s，減縮模型計(jì)算用時(shí)12 s，計(jì)算效率提升了99.6%。

3.2 關(guān)鍵子結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

該轉(zhuǎn)子工作轉(zhuǎn)速范圍為23750～47500?r/min，轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)分析得到第二階正進(jìn)動(dòng)臨界轉(zhuǎn)速為44580 r/min。通過(guò)優(yōu)化軸承設(shè)計(jì)調(diào)整軸承剛度，避免轉(zhuǎn)子的正進(jìn)動(dòng)臨界轉(zhuǎn)速位于工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)。

當(dāng)修改軸承參數(shù)時(shí)，減縮前自由振動(dòng)方程式（6）中只有關(guān)鍵子結(jié)構(gòu)1 號(hào)子結(jié)構(gòu)的剛度矩陣K11 被修改，即減縮模型式（31） 中，僅K11 - K12 K r3-122 K21 中的K11 被修改，只要替換此剛度矩陣中的局部少量元素即可，該部分元素在減縮模型剛度矩陣的對(duì)應(yīng)位置如圖9 所示。無(wú)需計(jì)算減縮前的高維模型或重新建立減縮模型，可以節(jié)省大量的計(jì)算時(shí)間。

將前軸承Y方向、Z方向和后軸承Y方向、Z方向的剛度分別修改為1.07×107 ，3.63×106 ，9.82×106和3.94×106 N/m，計(jì)算得到坎貝爾圖如圖10所示。轉(zhuǎn)子的一階正進(jìn)動(dòng)臨界轉(zhuǎn)速為23295 r/min，小于23750 r/min，不在轉(zhuǎn)子工作范圍之內(nèi)，可以確認(rèn)轉(zhuǎn)子工作安全。

采用ANSYS計(jì)算結(jié)果作為參考標(biāo)準(zhǔn)，前四階模態(tài)頻率計(jì)算中，轉(zhuǎn)速50000 r/min時(shí)第三階反進(jìn)動(dòng)模態(tài)頻率誤差最大，ANSYS計(jì)算結(jié)果為241.52 Hz，減縮模型計(jì)算結(jié)果為241.63 Hz，相對(duì)誤差為0.046%。

4 結(jié)? 論

本文針對(duì)多部件大型轉(zhuǎn)子系統(tǒng)數(shù)值計(jì)算困難的問(wèn)題，基于固定界面模態(tài)減縮方法，提出多級(jí)模態(tài)減縮策略，并應(yīng)用于某彈用發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的減縮計(jì)算和軸承剛度的優(yōu)化設(shè)計(jì)，得到主要結(jié)論如下：

（1）解釋了減縮過(guò)程中“自由度減少，計(jì)算量增加”數(shù)值現(xiàn)象的原因，所提出的多級(jí)模態(tài)減縮策略可以有效解決這一問(wèn)題。

（2）多級(jí)模態(tài)減縮策略可以有效提升計(jì)算效率，并保證計(jì)算精度。在某彈用發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的應(yīng)用中，與多重模態(tài)減縮方法結(jié)合，模型維數(shù)從790569降低至309，2～5階模態(tài)的最大誤差不超過(guò)0.1%，計(jì)算效率提升了99.5%以上。

（3）當(dāng)修改關(guān)鍵部件的參數(shù)時(shí)，多級(jí)模態(tài)減縮策略可以保留關(guān)鍵子結(jié)構(gòu)，利用建立的低維減縮模型，可以快速進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證，大大提升了關(guān)鍵部件優(yōu)化設(shè)計(jì)的效率。

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A multi?stage hybrid modal reduction strategy and its application to rotor dynamics analysis

Abstract： The large number of aero-engine rotor components and the large computational volume of high-dimensional complex models lead to difficult dynamic analysis and long computation times， which are disadvantageous to the efficiency of rotor structure design and dynamics verification. Based on the component modal synthesis method， a novel multi-stage modal reduction strategy is proposed for the modal reduction of a large complex system with many components. The internal freedom degrees of each sub-structure are reduced in parallel using fixed interface modal reduction， while the couplings between the substructures are retained completely. By defining a new level of substructure through substructure combination， the multi-stage modal reduction is applied to an additional reduction， and the hybrid mode synthesis is subsequently combined to construct the branch mode and significantly reduce the dimensionality of the rotor FEM model. Meanwhile， the dynamic characteristics of key substructures and the key dynamic characteristics of the vibration system are preserved. This computational strategy is used to establish a low-dimensional reduced model of a missile engine rotor system， and the reduced model is used to improve the efficiency of rotor dynamics analysis and accelerate the design optimization of bearing stiffness parameters. The results show that the time required for rotor dynamics analysis is reduced by 99.5%， and the accuracy error does not exceed 0.1% compared with ANSYS calculations. The computational strategy can be used for rapid analysis of multi-component high-dimensional complex systems.

Key words： rotor dynamics；component mode synthesis；multi?stage modal reduction；modal reduction；structural optimization of components