砂土狀態(tài)相關(guān)本構(gòu)模型在ABAQUS中的數(shù)值實現(xiàn)方法

郭浩天 孫增春 梁放 崔昊 汪成貴 肖楊

DOI：?10.11835/j.issn.2096-6717.2023.081

收稿日期：2023?04?22

基金項目：國家自然科學基金（52078085）；中央高校科研基本業(yè)務費（2452022121）

作者簡介：郭浩天（1998-?），男，主要從事土體基本力學特性研究，E-mail：guohaotian20@163.com。

通信作者：孫增春（通信作者），男，博士，E-mail：cqsunzcu@163.com。

Numerical implementation method of state-dependent constitutive model of sand in ABAQUS

GUO Haotian¹，?SUN Zengchun²，?LIANG Fang¹，?CUI Hao¹，?WANG Chenggui¹，?XIAO Yang¹

（1. School of Civil Engineering， Chongqing University， Chongqing 400045， P. R. China；?2. College of Water Resources and Architectural Engineering， Northwest A&F University， Yangling 712100， Shaanxi， P. R. China）

土體的剪脹、應變硬化和應變軟化等應力-應變特性與土體當前所處的狀態(tài)相關(guān)，狀態(tài)參數(shù)（當前孔隙比與臨界孔隙比的差值）被廣泛用于表征不同狀態(tài)下砂土的力學行為^[1]。隨后，不同學者相繼提出了狀態(tài)孔隙比參數(shù)和、狀態(tài)壓力參數(shù)，以及狀態(tài)孔隙比-壓力參數(shù)^[2]?？紤]到這一特性，可將狀態(tài)參數(shù)引入廣義塑性力學或邊界面塑性力學中，建立一系列適用于砂土的狀態(tài)相關(guān)塑性本構(gòu)模型。

巖土工程問題的數(shù)值分析中，土體的力學響應受本構(gòu)模型的應力-應變關(guān)系控制。在有限元框架內(nèi)進行數(shù)值建模時，首先要在應力點水平上研究精確、高效的本構(gòu)積分算法。當將復雜、高級的彈塑性本構(gòu)模型應用到有限元程序中時，應力狀態(tài)需要在每個高斯點上使用積分算法進行多次更新，積分算法的性能直接影響數(shù)值計算的精確性、收斂性和穩(wěn)定性。數(shù)值積分算法主要分為完全隱式、半隱式和顯式積分算法3類。隱式算法通常需要進行局部迭代，更新后的應力自動滿足屈服條件，應力點由彈性轉(zhuǎn)變?yōu)樗苄誀顟B(tài)時，不需要對應力路徑與屈服面的交點進行局部定位，具有計算精度高、全局收斂速度快的優(yōu)點。但一致性切線模量以及塑性勢面二階導數(shù)的推導較為復雜。與隱式算法不同，半隱式算法在塑性修正階段用已知應力點塑性勢函數(shù)的梯度確定映射回歸的方向，避免了二階求導的同時具有二階收斂速度，降低了數(shù)值計算的難度。但是其精確性和收斂性遠低于隱式算法，且缺乏一致的線性化。顯式算法通過計算塑性勢函數(shù)或屈服面的梯度，結(jié)合彈塑性剛度矩陣來預測當前增量步結(jié)束時的應力增量。由于不需要進行局部迭代，與隱式和半隱式算法相比，顯式算法具有更高的計算效率。此外，通過控制應力和狀態(tài)變量的局部誤差，自動劃分子增量步的大小能夠顯著提高顯式算法的精確性和收斂性^[3]。

采用泰勒級數(shù)展開構(gòu)造的Runge-Kutta方案是一種高精度的標準數(shù)值方法，在高斯點水平的積分本構(gòu)關(guān)系上得到了廣泛的應用。對于任意高階（n階）Runge-Kutta方案，計算階段k處的應力增量可視為執(zhí)行計算的加權(quán)和，用式（1）表示。

式中：和分別為第k階段的試算應力和相對應的彈塑性剛度矩陣；為第k階段的應變增量；為與Runge-Kutta方案相關(guān)的系數(shù)。

數(shù)值積分的相對誤差可通過高階項與低階項的差值確定，表示為

式中：和為與Runge-Kutta方案相關(guān)的系數(shù)。

狀態(tài)相關(guān)本構(gòu)模型的彈塑性剛度矩陣表示為

式中：和分別為塑性流動方向和加載方向向量；為彈性剛度矩陣；為塑性模量。

將五階Runge-Kutta -Dormand-Prince（RKDP5）方案與自動誤差控制的顯式積分算法相結(jié)合，在ABAQUS中采用用戶自定義材料子程序（UMAT）對砂土狀態(tài)相關(guān)本構(gòu)模型進行數(shù)值實現(xiàn)，模型的具體表達式和參數(shù)可參考相關(guān)文獻^[4-5]。圖1為顯式Runge-Kutta應力積分算法的流程圖。

圖2為數(shù)值模擬與試驗數(shù)據(jù)的對比，可以看出，通過UMAT子程序數(shù)值計算得到的應力-應變曲線與試驗數(shù)據(jù)基本吻合，驗證了帶自動誤差控制的Runge-Kutta算法在ABAQUS中開發(fā)砂土狀態(tài)相關(guān)本構(gòu)模型具有可行性。在顯式積分算法中，應變增量步大小和誤差容許值STOL會影響積分算法的精度、效率和穩(wěn)定性。圖3為RKDP5算法計算獲得的局部誤差隨應變增量步和誤差容許值STOL的變化規(guī)律。從圖3可以看出，應變增量步長對局部誤差的影響隨STOL值的減小逐漸降低。類似地，STOL對局部誤差的影響隨著應變增量步的增加也在逐漸減弱。對于STOL的典型值（10^-3～10^-4），不同應變增量步下的局部誤差在10^-3～10^-5范圍內(nèi)。

地基的承載特性是驗證本構(gòu)模型有效性和應力積分算法可靠性的典型問題^[6]。加載過程中，基礎(chǔ)下土體的應變增量值變化范圍非常大，這要求在所有高斯點上采用精確和穩(wěn)定的應力積分方案。由于問題的對稱性，選取四分之一的地基進行模擬。在ABAQUS中有限元模型采用C3D8R單元（21 025個單元，23 400個節(jié)點），基礎(chǔ)頂部采用位移控制方式進行加載。圖4為三維方形基礎(chǔ)承載力分析結(jié)果。從圖4（a）可以觀察到，在豎向加載過程中，基礎(chǔ)下方的土體向下移動形成楔形體，基礎(chǔ)附近的土體逐漸向上隆起。塑性區(qū)出現(xiàn)在基礎(chǔ)的底部，并逐漸向地面延伸形成兩條明顯的剪切帶。模型計算得到的荷載隨著位移的增加逐漸增加，直到達到一個穩(wěn)定值，如圖4（c）所示。通過上述綜合分析表明，自動誤差控制的顯式Runge-Kutta算法不僅可用于單元尺度試驗的分析，而且在多單元的邊值問題的數(shù)值分析中也是可行的，進一步驗證了砂土狀態(tài)相關(guān)本構(gòu)模型在ABAQUS應用中的可行性和有效性。

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（編輯??胡英奎）