一道新高考解析幾何題的多解探究

? 哈爾濱師范大學教師教育學院 于 悅

1 題目呈現(xiàn)

這是2022年新高考Ⅰ卷數(shù)學第21題的第一問,本文中只就該問中直線的斜率進行一題多解,以此來探究數(shù)學運算核心素養(yǎng)在解析幾何相關(guān)運算中的具體落實.

2 題目解析

2.1 設線解點法

本題的核心目標是計算直線的斜率,這就是運算對象,那么在理解運算對象上,又通常表現(xiàn)為以下三種形式,它們帶來了不同的運算結(jié)果.

理解之一：根據(jù)斜率的坐標形式,只需解出兩點的坐標,即可求出斜率.這是解析幾何中最樸素也最直接的理解.所以接下來就開始進入到運算規(guī)則,解出相關(guān)坐標.而在求解坐標時,由題型的特點又可以產(chǎn)生不同的運算思路.

運算思路一：利用直線與曲線方程聯(lián)立求解點的坐標.題干通常都會出現(xiàn)“一定兩動”的斜率關(guān)系,分別通過一定點和兩個動點連線所構(gòu)成的兩條直線聯(lián)立曲線方程解出動點坐標.對于本題,如果能夠理解運算對象,發(fā)現(xiàn)直線地位的同等關(guān)系,就可在解出一個動點的坐標后同理得出另一個動點的坐標,這樣可相對減少運算量.如若不能,則需要解兩次方程組,進而解出各點的坐標.可以看到,對運算對象的理解不同,運算的代價自然也不同.根據(jù)以上分析可以給出解法1.

(1-2k2)x2+4k(2k-1)x-8k2+8k-4=0.

因為直線AP,AQ的斜率之和為0,所以直線AQ的方程為y=-k(x-2)+1,同理可得

所以,直線l的斜率為

2.2 設點法

運算思路二：在求解兩點的坐標時,既然最后是坐標的比值關(guān)系,那就意味著只需找到兩點坐標之間的關(guān)系即可.能想到這一步,就需要利用設點法了.當然,這一步技巧性較強,沒有系統(tǒng)的訓練和觀察力,很難在考場上有限的時間內(nèi)完成,這也是數(shù)學運算核心素養(yǎng)較高水平的體現(xiàn).

解法2：設P(x1,y1),Q(x2,y2),由點P,Q,A都在雙曲線C上,得

結(jié)合斜率公式,將上面的式子變形,可得

又直線AP,AQ的斜率之和為0,所以kPA=-kQA.

2(y1y2+y1-y2-1)=-(x1x2+2x1-2x2-4).①

2(y1y2+y2-y1-1)=-(x1x2+2x2-2x1-4).②

①-②,得y1-y2=x2-x1.

上面兩種方法是對運算對象的理解之一,理解之二就是把握住AP,AQ,PQ三條直線之間的關(guān)系.既然AP,AQ兩直線的斜率和為0,我們就用PQ的斜率來表示AP,AQ,最后用斜率和為0解出直線PQ的斜率.這種理解直接體現(xiàn)在直線的關(guān)系上,直接操作就是設而不求,類似于常用的“點差法”.當然,此處亦可探究出其他不同的運算思路.

2.3 經(jīng)典韋達定理法

運算思路三：設而不求.斜率型題目中的一大類就是斜率的和或積的構(gòu)造,其主要特征就是“一定點加兩動點”.聯(lián)立方程后,根據(jù)題意寫出斜率和或積的表達式,化簡后若發(fā)現(xiàn)已經(jīng)湊出韋達定理的形式,此時無需再解出點的具體坐標,可直接代入韋達定理求解[1].

由題意可知直線l的斜率存在,設l的方程為y=kx+m,聯(lián)立雙曲線方程可得(2k2-1)x2+4kmx+2m2+2=0,則Δ=16m2k2-4(2m2+2)(2k2-1)>0,即m2+1-2k2>0.

設P(x1,y1),Q(x2,y2),則

化簡,得

2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4(m-1)=0.

當m+2k-1=0時,直線l：為y=k(x-2)+1過點A,不合題意,舍去.

故k=-1.

2.4 割線同構(gòu)法

運算思路四：圓錐曲線中,同構(gòu)特征的出現(xiàn)一定是圖形中兩要素的地位等價,比如同一定點引出的兩條直線分別與圓錐曲線相交,那么這兩條割線的地位就是等價的,自然,它們與圓錐曲線的方程聯(lián)立后,就會呈現(xiàn)相同的結(jié)構(gòu),即“同構(gòu)”特征,這樣的同構(gòu)方程可能是關(guān)于直線的某個關(guān)鍵參數(shù)的同解方程.而這往往是我們簡化運算,同時也是解決一些問題的抓手.當然,需要注意的是,這兩個點的地位一致性,會導致同構(gòu)算法的出現(xiàn)以及我們常用的術(shù)語“同理可得”.

具體到該題目,直線方程與曲線方程聯(lián)立之后的結(jié)果是一個一元二次方程,既然如此,為何不能讓AP,AQ的斜率分別作為這兩個方程的根,然后再利用韋達定理求PQ的斜率呢?這樣的思考進一步體現(xiàn)了對運算對象深層次的了解,體現(xiàn)了較好的運算思維.

解法4：設過點A的直線方程為y=k(x-2)+1,直線l的方程為y=k0x+m,聯(lián)立解得

這是關(guān)于k的一元二次方程,方程的兩根k1,k2分別為直線AP,AQ的斜率.

因為直線AP,AQ的斜率之和為0,即k1+k2=0,所以由韋達定理得(m-1)+k0(2k0+m)+k0=0,整理可得(k0+1)(m+2k0-1)=0.因為直線l不過點A,所以m+2k0≠1,從而k0=-1,即l的斜率為-1.

點評：直線AP,AQ的等價地位就意味著點P,Q等價,則點P,Q的坐標一定是曲線方程的同構(gòu)解,此時用PQ的參數(shù)來表示點P,Q的坐標,再利用同構(gòu)解來求得PQ的斜率,這就是求解整個問題的基本思路.

2.5 齊次化法

理解之三：斜率問題最簡單的形式當然是直線過原點,所以可采用齊次化的方法,平移坐標系來構(gòu)造斜率,降低運算難度.

具體操作步驟如下：

第二步,設出過點(m,n)的直線方程p(x-m)+q(y-n)=1.

第三步,聯(lián)立方程組

湊出滿足題干的斜率形式即可.據(jù)此給出解法5.

③

且設直線l為m(x-2)+n(y-1)=1.

由③式,有

(x-2)2-2(y-1)2+4[(x-2)-(y-1)]=0.

將上式齊次化,可得

(x-2)2-2(y-1)2+4[(x-2)-(y-1)]·[m(x-2)+n(y-1)]=0.

上式展開并在等式兩邊同除以(x-2)2,整理可得

故直線l斜率為-1.

2.6 二次曲線系法

理解之四：高等觀點與二次曲線系.這當然是具有較高知識水平的體現(xiàn),站在更高的視角來解題會更加簡便,但這對理解能力的要求甚高.

二次曲線系法是優(yōu)化解析幾何運算的一種重要方法,它本質(zhì)上是對圓錐曲線的一種更深層的認識.在一些問題中,通過曲線系方法直擊本質(zhì),往往會使問題變得簡單明了.

基本原理：給定五個點,其中任何三個點都不共線,則過這五個點有且僅有一條圓錐曲線.由此進一步可得,由l1,l2組成的曲線為(a1x+b1y+c1)·(a2x+b2y+c2)=0.據(jù)此給出解法6.

解法6：雙曲線在點A處的切線方程為x-y-1=0,設直線AP的方程為y-1=k1(x-2),AQ的方程為y-1=k2(x-2),PQ的方程為y=kx+m,則過這四條直線交點的曲線方程為(kx-y-m)(x-y-1)+λ[k1(x-2)-y+1][k2(x-2)-y+1]=0.

又因為雙曲線過這些交點,比較xy的系數(shù),得-k-1+λ(-k1-k2)=0.

又k1+k2=0,所以k=-1.

3 解題反思

上文中展示了該題目的6種解法,并且都體現(xiàn)了對運算對象和運算規(guī)則較為精準的把握.但在考試時間如此緊張的情況下,又快又準的解題卻是關(guān)鍵.在教學中,要以學生發(fā)展為本,立德樹人,提升素質(zhì),實現(xiàn)人人都能獲得良好的數(shù)學教育,不同的學生在數(shù)學上得到不同的發(fā)展.不同學生可以選擇不同的解題方法,解法1和解法3為通法,是多數(shù)學生的選擇,這樣的解法套路感強,平時練習得最多也最熟悉,但是過多地沉迷于這些方法會讓我們對解析幾何的理解就定位在“簡單粗暴的運算”[2].筆者認為,如果時間允許,探尋思考解法2和解法4也是不錯的選擇.至于解法5和解法6就是所謂的“高端技巧”,但是筆者認為這兩種解法還是有風險的,因為它們的技巧性很強,可能對很多學生而言都很難想清楚其實質(zhì).

因此,在教學中,教師要做到理解學生,了解他們的需求,從而能夠根據(jù)不同基礎(chǔ)的學生提供不同的指導方案.當然,對于一道優(yōu)質(zhì)題目,教師可以把它作為一個資源進行再開發(fā),由易到難設計啟發(fā)性問題,引導學生主動探究,分析出合理的轉(zhuǎn)化方向,進而找出多種解決問題的途徑.這樣既可以鞏固知識,又可以促使學生思維向更深層次發(fā)展、向更多方向發(fā)散,同時還能切實提高學科核心素養(yǎng),而這些往往比題海戰(zhàn)術(shù)更有效.只有這樣,才能構(gòu)建真正意義上的以學生為主體的研究型與創(chuàng)新型教學[3].