例談不等式恒成立求參數(shù)范圍問題的解題策略

? 湖南省永州市第一中學(xué) 周建權(quán)

不等式恒成立求參數(shù)范圍的問題能夠充分聯(lián)系不等式、函數(shù)與方程、導(dǎo)數(shù)等知識(shí),有利于考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等學(xué)科核心素養(yǎng),是高考和各地?？嫉臒狳c(diǎn)問題.此類問題形式多變、綜合性強(qiáng),學(xué)生往往捉摸不透,本文中結(jié)合具體例子談?wù)劥祟悊栴}的解題策略.

1 分離參數(shù)法

分離參數(shù)法就是對(duì)不等式變形,將參數(shù)與變量分離,構(gòu)造無參數(shù)函數(shù),進(jìn)而研究該函數(shù)的最值.

下面重點(diǎn)研究第(2)問的解題策略.

當(dāng)x=0時(shí),不等式為1≥1,顯然成立,符合題意.

對(duì)g(x)求導(dǎo),得

2 不分離參數(shù),構(gòu)造函數(shù)

參變不易分離,或分離后函數(shù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜不易研究,則可不分離參數(shù),將參數(shù)和變量放到不等式同一側(cè),直接構(gòu)造含參函數(shù).

2.1 直接分析最值

下面給出例1的解法2.

2.2 必要性探路法

必要性探路法指的是利用不等式在一些特殊情況下成立,得到參數(shù)的一個(gè)取值范圍,該范圍是不等式恒成立的一個(gè)必要條件,如果能證明該范圍也是不等成立的充分條件,則該范圍即為所求,如果不是充分條件,也縮小了參數(shù)的范圍.

(1)端點(diǎn)效應(yīng)探路

例2(2022年新高考Ⅱ卷第22題)已知函數(shù)f(x)=xeax-ex.(1)略.(2)當(dāng)x>0時(shí),f(x)<-1,求a的取值范圍.

解：設(shè)h(x)=xeax-ex+1,則當(dāng)x>0時(shí),恒有h(x)<0.

注意到h′(x)=(1+ax)eax-ex,所以h′(0)=0.

設(shè)g(x)=(1+ax)eax-ex(x>0),則g(0)=0,且

g′(x)=(2a+a2x)eax-ex.

h′(x)=(1+ax)eax-ex=eax+ln (1+ax)-ex.

下證：對(duì)任意x>0,總有l(wèi)n(1+x)

故x>0時(shí)S(x)

eax+ln (1+ax)-ex

所以h′(x)≤0總成立,則h(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),故h(x)

當(dāng)a≤0時(shí),有h′(x)=eax-ex+axeax<1-1+0=0,所以h(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),故h(x)

評(píng)析：含參函數(shù)求最值時(shí)往往需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論,分類標(biāo)準(zhǔn)的確定是難點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn).如本題僅從h′(x)=(1+ax)eax-ex的形式較難發(fā)現(xiàn)對(duì)a進(jìn)行討論的分類點(diǎn),如果用端點(diǎn)效應(yīng)來看,思路就比較清晰了.實(shí)際上,利用端點(diǎn)效應(yīng)有助于確定參數(shù)分類討論的標(biāo)準(zhǔn).

(2)其他特殊點(diǎn)探路

例3(2020年新高考Ⅰ卷第21題)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.(1)略.(2)若不等式f(x)≥1恒成立,求a的取值范圍.

解法1：因?yàn)閒(x)≥1恒成立,所以f(1)=a+lna≥1.令g(a)=a+lna,則g(a)在(0,+∞)單調(diào)遞增,且g(1)=1,故由g(a)≥1,得a≥1.

下面證明a≥1時(shí),f(x)≥1恒成立.

當(dāng)a≥1時(shí),f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx.

綜上所述,a的取值范圍是[1,+∞).

評(píng)析：利用端點(diǎn)、定點(diǎn)、極點(diǎn)等特殊點(diǎn)探路,需要對(duì)不等式結(jié)構(gòu)有較強(qiáng)的觀察分析能力,需要有函數(shù)意識(shí)、數(shù)形結(jié)合意識(shí).通過必要性探路,能夠化繁為簡(jiǎn),理清討論的思路,同時(shí)也要注意,有時(shí)我們找到的必要條件不一定剛好也是充分條件.

3 分離函數(shù)法

分離函數(shù)法,就是對(duì)不等式恒等變形,將一個(gè)復(fù)雜的含參不等式分解成不等號(hào)左右兩邊各一個(gè)函數(shù)的形式,進(jìn)而研究這兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系.

3.1 構(gòu)造同構(gòu)式

下面給出例3的解法2.

解法2：由f(x)≥1,得aex-1-lnx+lna≥1,即eln a+x-1+lna+x-1≥lnx+x,而lnx+x=eln x+ lnx,所以eln a+x-1+lna+x-1≥eln x+lnx.

令h(m)=em+m,則有h(lna+x-1)≥h(lnx).

因?yàn)閔′(m)=em+1>0,所以h(m)在R上單調(diào)遞增,于是可得lna+x-1≥lnx,因此只需lna≥(lnx-x+1)max.

因此a的取值范圍為[1,+∞).

評(píng)析：同構(gòu)指的是結(jié)構(gòu)或形式相同,一些不等式可以通過變形使不等式兩側(cè)呈現(xiàn)相同結(jié)構(gòu),將該結(jié)構(gòu)抽象出來構(gòu)造函數(shù),利用所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性將結(jié)構(gòu)復(fù)雜的恒成立問題轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的恒成立問題.同構(gòu)法在“指對(duì)混合不等式”出現(xiàn)時(shí)用得較多,對(duì)代數(shù)變形能力要求較高,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧對(duì)稱美,對(duì)培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)具有重要意義.

3.2 數(shù)形結(jié)合

圖1

評(píng)析：數(shù)形結(jié)合法就是通過分離函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象位置關(guān)系的問題.分離出來的兩個(gè)函數(shù)一般是“一直一曲”,便于研究位置關(guān)系.分離函數(shù)后正確畫出函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵,需分析函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、對(duì)稱性、凹凸性、特殊點(diǎn)等.

4 解題感悟

對(duì)于不等式恒成立求參數(shù)范圍的問題,從參變分離的程度來看,若參變完全分離,則構(gòu)造的是無參數(shù)函數(shù),能夠避免對(duì)參數(shù)的討論,但存在無參函數(shù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜,不易研究的情況;若參變不分離,則構(gòu)造的是含參函數(shù),對(duì)參數(shù)討論標(biāo)準(zhǔn)的確定是難點(diǎn)所在,需對(duì)常見超越函數(shù)的性質(zhì)有所積累,有時(shí)必要性探路法能提供思路;若參變部分分離,即分離函數(shù)法,有時(shí)能夠巧妙避免函數(shù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜的情況和對(duì)參數(shù)的討論,要明確分離的目標(biāo)往往是構(gòu)造同構(gòu)式或便于數(shù)形結(jié)合的函數(shù).