拾級而上重本質(zhì),開拓進取升素養(yǎng)

? 云南省安寧市昆鋼第一中學 熊洪智

? 云南省安寧中學太平學校 劉 勇 劉科蘭

2023年全國數(shù)學新高考Ⅱ卷順應(yīng)高考命題改革,以素養(yǎng)為導向,通過創(chuàng)設(shè)多樣命題情境,突出對數(shù)學關(guān)鍵能力的考查,充分發(fā)揮數(shù)學學科在人才選拔中的重要作用.

1 深化基礎(chǔ)考查,指向關(guān)鍵能力

《中國高考評價體系》指出,高考以能力為重、知識為基,關(guān)鍵能力是高考重要的考核目標,也是測試和評價的核心指標和因素.數(shù)學關(guān)鍵能力是指進入更高層次的學習者,在面對數(shù)學學科相關(guān)的生活實踐或?qū)W習探索問題情境時,能有效地提出問題、認識問題、分析問題和解決問題所必須具備的能力.《中國高考評價體系》闡述了適合高考評價規(guī)律的三個方面關(guān)鍵能力群：以認識世界為核心的知識能力群、以解決實際問題為核心的實踐操作能力群和涵蓋了各種關(guān)鍵思維能力的思維認知能力群.在2023年全國數(shù)學新高考Ⅱ卷中,主要考查邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、應(yīng)用實踐能力和創(chuàng)新能力5項數(shù)學關(guān)鍵能力.

1.1 邏輯思維能力

A.bc>0 B.ab>0

C.b2+8ac>0 D.ac<0

評析：本題將導數(shù)與方程相結(jié)合,重點考查邏輯推理能力和化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法,本題各選項之間有一定關(guān)聯(lián),可以由已知條件,經(jīng)過分析與轉(zhuǎn)化,通過一個思路來判斷4個結(jié)論是否正確.對于函數(shù)極值問題的研究,主要轉(zhuǎn)化為其導函數(shù)零點存在性問題,進而轉(zhuǎn)化為方程根的分布問題,特別地,教學中要引導學生理解“函數(shù)的極值點——導函數(shù)零點——相應(yīng)方程的根——導函數(shù)圖象與x軸交點”這四者的關(guān)系及其應(yīng)用.

1.2 運算求解能力

例2(第8題)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和,若S4=-5,S6=21S2,則S8=( ).

A.120 B.85 C.-85 D.-120

評析：本題源自人教A版選擇性必修第二冊第37頁例9,例9是對數(shù)列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n性質(zhì)的證明,考查等比數(shù)列的求和公式及其性質(zhì),著重考查運算求解和邏輯思維能力.滲透了整體思想、方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,同時考查邏輯推理、數(shù)學運算等素養(yǎng).

1.3 空間想象能力

例3(第9題)已知圓錐的頂點為P,底面圓心為O,AB為底面直徑,∠APB=120°,PA=2,點C在底面圓周上,且二面角P-AC-O為45°,則( ).

評析：本題以圓錐為載體,綜合考查二面角、圓錐的體積和側(cè)面積等知識.通過二面角P-AC-O為45°可以確定點C在底面圓周上的位置,根據(jù)圓錐的母線長為2可以求得圓錐的高和底面圓的半徑,為后續(xù)的判斷奠定基礎(chǔ).本題全面考查基礎(chǔ),四個選項設(shè)問逐次遞進,各選項分別考查圓錐的不同性質(zhì),互相聯(lián)系,突出對基礎(chǔ)知識和基本概念的深入理解和靈活掌握.考查學生轉(zhuǎn)化思想和空間想象能力.

1.4 應(yīng)用實踐能力

例4(第19題)某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學指標有明顯差異,經(jīng)過大量調(diào)查,得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖(如圖1)：

圖1

利用該指標制定一個檢測標準,需要確定臨界值c,將該指標大于c的人判定為陽性,小于或等于c的人判定為陰性.此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率,記為p(c);誤診率是將未患病者判定為陽性的概率,記為q(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布,以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

(1)當漏診率p(c)=0.5%時,求臨界值c和誤診率q(c);

(2)設(shè)函數(shù)f(c)=p(c)+q(c),當c∈[95,105]時,求f(c)的解析式,并求f(c)在區(qū)間[95,105]的最小值.

評析：試題以疾病的檢測為背景進行設(shè)計,既有現(xiàn)實意義,也能很好地體現(xiàn)數(shù)學學科的應(yīng)用價值.

第(1)問本質(zhì)上是考查百分位數(shù)的運用,屬于新教材新增內(nèi)容,百分位數(shù)的引入,需要我們更進一步理解頻率分別直方圖中面積的含義;第(2)問要確定一個使得誤診率和漏診率之和盡量低的臨界值c,需要計算相應(yīng)的矩形面積之和,最終結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性計算最值.本題立意新穎,突出對學生應(yīng)用實踐能力和邏輯思維能力的考查.

1.5 創(chuàng)新能力

例5(第12題)在信道內(nèi)傳輸0,1信號,信號的傳輸相互獨立.發(fā)送0時,收到1的概率為α(0<α<1),收到0的概率為1-α;發(fā)送1時,收到0的概率為β(0<β<1),收到1的概率為1-β.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次,三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼,譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時,收到的信號即為譯碼;三次傳輸時,收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如,若依次收到1,0,1,則譯碼為1).

A.采用單次傳輸方案,若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到l,0,1的概率為(1-α)(1-β)2

B.采用三次傳輸方案,若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為β(1-β)2

C.采用三次傳輸方案,若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為β(1-β)2+(1-β)3

D.當0<α<0.5時,若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率

評析：本題源自人教A版選擇性必修第三冊第51頁例6,以信號傳輸為情境考查二項分布及其應(yīng)用.試題設(shè)計了單次傳輸和三次傳輸兩種傳輸方式,考查學生利用概率加法公式及乘法公式求概率的能力及對新概念、新知識的理解和探究能力,考查分析問題和解決問題能力及創(chuàng)新應(yīng)用能力.

2 突出主干知識,構(gòu)建完整體系

2023年全國數(shù)學新高考Ⅱ卷試題突出對六大主干知識的考查.如考查數(shù)列的題目有第8題、第18題;考查三角函數(shù)和解三角形的題目有第7,16,17題;考查立體幾何的題目有第9,14,20題;考查概率統(tǒng)計的題目有第3,12,19題;考查解析幾何的題目有第5,10,15,21題;考查函數(shù)知識的題目有第4,6,11,22題.因此,在復(fù)習備考中要關(guān)注主干知識,引領(lǐng)學生積累六大主干知識基本的數(shù)學活動經(jīng)驗,形成完整的知識體系.

全面考查基礎(chǔ),并不是平均用力,而是突出考查支撐中學數(shù)學的核心知識.從表1可以看出,近四年全國數(shù)學新高考Ⅱ卷中都突出對六大主干知識的考查,力圖讓學生構(gòu)建完整的基礎(chǔ)知識體系,為將來發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ).

表1 近四年新高考Ⅱ卷主干知識考查情況統(tǒng)計 單位：分

3 倡導通性通法,實現(xiàn)精準選拔

2023年新高考Ⅱ卷試題的求解入口寬、思路多樣,體現(xiàn)通性通法,真實反映考生的基礎(chǔ)理解水平,“反刷題”“反套路”,抑制“秒殺”,不提倡一知半解所謂的“高觀點”.不同的理解水平在解題時間和準確性上的差異可以有效區(qū)分考生.

例6(第20題)如圖2,三棱錐A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E為BC的中點.

圖2

(1)證明：BC⊥DA;

評析：本題以三棱錐這一常見的空間幾何體為載體,第(1)問考查異面直線垂直的證明,可以利用“線面垂直?線線垂直”,關(guān)鍵是直線與平面垂直的判定及直線與平面垂直的定義的應(yīng)用,還可以用向量運算(數(shù)量積等于零)來證明(見解析);第(2)問考查二面角的計算,可以采用坐標法、綜合法和基底法求解,不同的解題方法能夠反映學生對立體幾何問題中通性通法的掌握情況.

4 落實“四翼”考查,助力“雙減”落實

2023年新高考Ⅱ卷緊扣中國高考評價體系對“四翼”考查的要求,試題注重考查學生對數(shù)學基礎(chǔ)知識的理解和掌握,重視教考銜接.

(1)注重基礎(chǔ)性要求

試卷在選擇題、填空題中全面考查復(fù)數(shù)、集合、平面向量、三角函數(shù)、排列組合、幾何體體積等基礎(chǔ)知識.在解答題中也深入考查基礎(chǔ),強調(diào)學生對數(shù)學基礎(chǔ)知識和基本思想方法的靈活運用.

(2)彰顯綜合性要求

試題在體現(xiàn)基礎(chǔ)性的同時也重視對綜合性的考查,要求考生能運用所學知識將復(fù)雜的問題情境進行分解,合理選擇解題方法加以解決,充分體現(xiàn)高考命題從知識立意、能力立意到素養(yǎng)立意的轉(zhuǎn)變.高考數(shù)學試題的綜合性一方面是數(shù)學學科內(nèi)部各個主題的綜合,另一方面是數(shù)學學科和其他學科的交匯融合.

例7(第22題)(Ⅰ)證明：當0

(Ⅱ)已知函數(shù)f(x)=cosax-ln(1-x2),若x=0是f(x)的極大值點,求a的取值范圍.

評析：本題第(1)問起點低,只需通過作差構(gòu)造函數(shù),并借助導數(shù)的工具作用判斷新函數(shù)的單調(diào)性,即可求解;試題第(2)問涉及的概念和性質(zhì)很基本,但是考查很深入,為考生解答問題提供了廣闊的發(fā)揮空間.本題命題角度新穎,淡化考試技巧,仍考查通性通法,但是對考生的邏輯推理素養(yǎng)和分析解決問題能力要求較高,較好地體現(xiàn)了試題的選拔功能.

(3)凸顯應(yīng)用性要求

數(shù)學源自生活、生產(chǎn)實踐,歸宿于解決實際問題.在應(yīng)用數(shù)學知識、思想和方法解決實際問題的過程中發(fā)展學生的數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算等素養(yǎng),引導學生重視數(shù)學應(yīng)用,增強學以致用的意識.

例8(第3題)某學校為了解學生參加體育運動的情況,用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調(diào)查,擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生,已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生,則不同的抽樣結(jié)果共有( ).

評析：本題以單選題的形式考查分層隨機抽樣及排列組合的內(nèi)容,以學校了解學生參加體育運動的情況為命題背景,取材于學生生活中的實際問題,考查學生的數(shù)學運算與數(shù)學建模素養(yǎng),通過問題的解決引導學生對數(shù)學產(chǎn)生濃厚的學習興趣,并積極應(yīng)用數(shù)學研究實際問題.

(4)體現(xiàn)創(chuàng)新性要求

試題的靈活性和答案的開放性,體現(xiàn)了新高考從重點考查知識技能到重點考查思維能力的轉(zhuǎn)變,表明數(shù)學教學應(yīng)從灌輸知識、重復(fù)練習到培養(yǎng)數(shù)學思維能力、數(shù)學核心素養(yǎng)的轉(zhuǎn)變,開放性試題不僅考查學生運用數(shù)學思維理解和解決問題的能力,還考查學生的核心素養(yǎng)及創(chuàng)新能力.

評析：本題是一道開放題,在體現(xiàn)開放性的同時考查學生思維的有序性.在內(nèi)容方面,綜合考查直線和圓的位置關(guān)系、點到直線的距離公式、圓的內(nèi)接三角形性質(zhì)等,屬于在知識點的交匯處命題,體現(xiàn)了新高考命題的創(chuàng)新性要求.

5 教學建議

針對2023年新高考Ⅱ卷數(shù)學試題“綜合性強,能力要求高,解題方法活”這些新特點,在高三復(fù)習教學中,教師要堅持把能力培養(yǎng)作為首要任務(wù),通過教學方式和方法的創(chuàng)新,改變機械刷題與套路訓練模式,提升學生的核心素養(yǎng).

(1)夯實基礎(chǔ)知識,回歸教材本質(zhì)

本套試卷注重對基礎(chǔ)知識和基本能力的考查,試卷第1,2,3,4,7,13,14題皆為基礎(chǔ)題;本套試卷充分體現(xiàn)了考教結(jié)合,如第7,8,10,12,17,18,22(1)題均源自教材而高于教材.因此,在高三復(fù)習備考中我們應(yīng)注重基礎(chǔ),回歸教材,注重“依標靠本”,切忌盲目、隨意擴展知識內(nèi)容.當然,立足教材并不是對教材內(nèi)容的簡單重復(fù),而是對教材內(nèi)容進行二次重構(gòu),特別是對教材中的一些典型問題,圍繞主干知識,深入挖掘教材例題、習題的價值,通過一題多解、一題多變、多題一解等高階思維活動,剖析問題的數(shù)學本質(zhì),幫助學生夯實基礎(chǔ),提升解決問題的能力.

(2)關(guān)注知識生成,強調(diào)融會貫通

在復(fù)習備考中要引導學生明確知識的發(fā)生、發(fā)展過程,揭示知識的內(nèi)在聯(lián)系,幫助學生構(gòu)建完整的知識體系,關(guān)注不同知識之間的聯(lián)系,引導學生整合各個知識點,形成完整的學科知識框架和思想方法體系,促進知識間的融會貫通.

(3)注重思想滲透,促進素養(yǎng)達成

數(shù)學思想方法是數(shù)學學科的精髓,是數(shù)學素養(yǎng)的重要內(nèi)容之一.本套試卷注重對數(shù)學思想方法的考查.比如,第5,9,16,19,20題都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想方法在解決問題中的優(yōu)越性;第11,21,22題體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法;第8,18,22題體現(xiàn)了分類討論的思想方法.因此,在復(fù)習備考中,要注意數(shù)學思想方法的滲透,充分挖掘由數(shù)學基礎(chǔ)知識所體現(xiàn)出來的數(shù)學思想方法,平?？梢詫ｉT設(shè)置習題訓練,引導學生根據(jù)實際題目內(nèi)容選擇不同的數(shù)學思想方法,使其靈活使用數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、特殊與一般、轉(zhuǎn)化、正難則反等多種數(shù)學思想方法,幫助他們積累更多的解題經(jīng)驗,提升數(shù)學解題能力和數(shù)學核心素養(yǎng).

(4)重視思維培養(yǎng),提升關(guān)鍵能力

學生在面對綜合性較強的問題與新穎、較為復(fù)雜的情境時,需要具有一定的探究能力與創(chuàng)新精神,以及較好的數(shù)學素養(yǎng)和優(yōu)秀的思維品質(zhì).在復(fù)習課中,要擯棄傳統(tǒng)的“教師滿堂灌—學生記筆記—課后題海戰(zhàn)術(shù)”的復(fù)習模式,在課堂上采用回歸教材例習題、引導學生自主編題、學生說題、繪制思維導圖等方式提升課堂效率,促進學生將知識和方法內(nèi)化為自身的知識結(jié)構(gòu),鞏固所學知識,強化數(shù)學思維,為綜合能力的提升奠定基礎(chǔ).