固定收益資產(chǎn)分散風(fēng)險(xiǎn)研究

鄧 瑛 李小龍

（廣西科技師范學(xué)院 廣西 來(lái)賓 546199）

大部分經(jīng)濟(jì)學(xué)文獻(xiàn)都致力于研究股票投資組合的分散風(fēng)險(xiǎn)，研究固定收益投資組合分散風(fēng)險(xiǎn)的研究較為少見(jiàn)，但實(shí)際上許多機(jī)構(gòu)投資者的資產(chǎn)中很大一部分是固定收益證券，尤其是在歐洲和其他發(fā)達(dá)經(jīng)濟(jì)體中，投資公司的分散風(fēng)險(xiǎn)和集中風(fēng)險(xiǎn)很大程度上與固定收益資產(chǎn)有關(guān)。固定收益資產(chǎn)（包括抵押擔(dān)保的債券和股票等）組合的分散風(fēng)險(xiǎn)至少與利率風(fēng)險(xiǎn)和信貸風(fēng)險(xiǎn)有關(guān)。本文重點(diǎn)放在研究利率風(fēng)險(xiǎn)和信貸風(fēng)險(xiǎn)的分散性，不考慮潛在的附加風(fēng)險(xiǎn)，如預(yù)付風(fēng)險(xiǎn)。

該研究的成果主要有兩點(diǎn)：一是構(gòu)建一個(gè)能幫投資者確定應(yīng)納入投資組合的最小固定收益資產(chǎn)數(shù)量的管理工具，該工具可以減少投資者在設(shè)計(jì)投資組合時(shí)需要做的金融分析數(shù)量；二是為投資者提供一種關(guān)于敏感性的分析方法，該方法能讓投資者根據(jù)影響信用和利率的主要因素的實(shí)時(shí)變化，調(diào)整債券投資組合中產(chǎn)品發(fā)行人的類(lèi)型和數(shù)目。

構(gòu)建信用風(fēng)險(xiǎn)的一般分散風(fēng)險(xiǎn)框架時(shí)，首先要在結(jié)構(gòu)性模型和降階模型中做選擇。結(jié)構(gòu)性模型是根據(jù)公司資產(chǎn)的動(dòng)態(tài)進(jìn)行建模，結(jié)構(gòu)性模型雖然可以考慮利率風(fēng)險(xiǎn)，但有以下一些不足：無(wú)法計(jì)算固定收益資產(chǎn)投資組合的最佳分散風(fēng)險(xiǎn)水平；很難以穩(wěn)健的方式校準(zhǔn)從股票和債券數(shù)據(jù)中得到參數(shù)；加大了利用高斯假設(shè)構(gòu)建投資組合信用風(fēng)險(xiǎn)模型的難度；難以形成與市場(chǎng)一致的框架，模型缺乏解釋能力；無(wú)法得到固定收益投資組合中固定資產(chǎn)的最優(yōu)搭配與利率風(fēng)險(xiǎn)及信用風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)之間的關(guān)聯(lián)公式。鑒于結(jié)構(gòu)性模型的缺點(diǎn)，認(rèn)為結(jié)構(gòu)性模型不適用于固定收益資產(chǎn)的分散風(fēng)險(xiǎn)研究，相反，引入債券的價(jià)格信息后做出的關(guān)于利率風(fēng)險(xiǎn)和信用風(fēng)險(xiǎn)主要成分的降階模型更適用于本研究。另外，本文所構(gòu)建的風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)是市場(chǎng)一致或風(fēng)險(xiǎn)中性的，目的是能夠?qū)⑵浼{入一個(gè)更一般的償付能力框架，并與套利估值程序保持一致。

模型將投資組合折現(xiàn)收益的變異系數(shù)作為衡量風(fēng)險(xiǎn)的指標(biāo)，該風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)有不受資產(chǎn)規(guī)模和價(jià)格影響的優(yōu)點(diǎn)。當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)是完全可分散時(shí)，對(duì)于數(shù)量足夠多的債券，風(fēng)險(xiǎn)收斂于零；當(dāng)利率風(fēng)險(xiǎn)或信用風(fēng)險(xiǎn)不能從投資組合中完全分散時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)收斂于一個(gè)非零常數(shù)。本文做出了一個(gè)該風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)的漸近值與利率和信用主要驅(qū)動(dòng)因素之間的相關(guān)函數(shù)式，還研究了固定收益資產(chǎn)的臨界數(shù)量與主要經(jīng)濟(jì)變量之間的相關(guān)性。

一、利率風(fēng)險(xiǎn)的分散性

首先研究一下政府債券投資組合利率風(fēng)險(xiǎn)的分散性，因?yàn)闆](méi)有研究純利率組合的情況就無(wú)法進(jìn)一步研究一般債券投資組合的風(fēng)險(xiǎn)分散性。一般債券投資組合的風(fēng)險(xiǎn)分散性將在下一個(gè)專(zhuān)門(mén)研究信貸風(fēng)險(xiǎn)分散的部分中詳細(xì)討論。

（一）定義變量

設(shè)ZT表示在時(shí)間T 時(shí)任意到期零息債券的貼現(xiàn)收益。那么，

其中隨機(jī)變量IT等于：

在風(fēng)險(xiǎn)中性的情況下，該債券的價(jià)格為未來(lái)收益貼現(xiàn)的風(fēng)險(xiǎn)中性期望為：

同樣定義：

那么貼現(xiàn)收益的風(fēng)險(xiǎn)中性方差為：

標(biāo)準(zhǔn)差為：

（二）相互獨(dú)立的政府債券投資組合

首先考慮一個(gè)由N 個(gè)不同國(guó)家發(fā)行的政府債券組成的投資組合，假設(shè)組合中所有的政府債券都有獨(dú)立且相同的未來(lái)貼現(xiàn)收益，那么整個(gè)投資組合的貼現(xiàn)收益為：

其中wi代表這個(gè)投資組合中債券i的權(quán)重。

那么有

不妨定義

投資組合貼現(xiàn)收益的風(fēng)險(xiǎn)中性期望為：

因?yàn)榍懊婕僭O(shè)了投資組合中所有債券的未來(lái)貼現(xiàn)收益是相等的。

那么有：

接下來(lái)計(jì)算投資組合貼現(xiàn)收益的風(fēng)險(xiǎn)中性方差：

因此

利用貼現(xiàn)收益的均值和方差的表達(dá)式，就可以計(jì)算出貼現(xiàn)收益的變異系數(shù)。因?yàn)橘N現(xiàn)收益的變異系數(shù)與投資組合的規(guī)模無(wú)關(guān)，所以很適合作為風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)。另外，因?yàn)樽儺愊禂?shù)的分母是債券投資組合的價(jià)格，所以用變異系數(shù)來(lái)衡量債券投資組合風(fēng)險(xiǎn)的大小是從價(jià)格的角度進(jìn)行分析的。

此外，要強(qiáng)調(diào)，風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)使用的是風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)中的變異系數(shù)。所以作為風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)中性變異系數(shù)在計(jì)算時(shí)使用的應(yīng)該是機(jī)構(gòu)投資者的市場(chǎng)估值（也稱(chēng)為風(fēng)險(xiǎn)中性估值），同時(shí)擬合的對(duì)象應(yīng)該是風(fēng)險(xiǎn)中性情況下發(fā)行人數(shù)量達(dá)到一定程度的公司資產(chǎn)投資組合。一般來(lái)說(shuō)，公司投資組合的產(chǎn)品中經(jīng)常會(huì)帶有嵌入期權(quán)或利率期權(quán)，這種情況下，分析的背景其實(shí)就是風(fēng)險(xiǎn)中性的。

顯然，下面所展示的基于風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)下的所有結(jié)論都可以結(jié)合實(shí)際情況靈活運(yùn)用。此外，它的推廣性還體現(xiàn)在可以運(yùn)用于研究多種影響因子與最優(yōu)產(chǎn)品發(fā)行人數(shù)量之間的相關(guān)關(guān)系。例如，可以推廣到通過(guò)信用評(píng)級(jí)決定投資組合中應(yīng)包含的產(chǎn)品發(fā)行人數(shù)目。

通過(guò)前面的論證，可以推導(dǎo)出變異系數(shù)應(yīng)為：

當(dāng)所有的權(quán)重都相同時(shí)，此表達(dá)式變?yōu)椋?/p>

可以看出，變異系數(shù)與債券數(shù)量N的平方根成反比。

在極限的情況下有：

這個(gè)結(jié)果很重要，它說(shuō)明了一個(gè)獨(dú)立的政府債券投資組合風(fēng)險(xiǎn)是完全可分散的。事實(shí)上，當(dāng)投資組合中的政府債券數(shù)量足夠多時(shí)，以變異系數(shù)衡量的風(fēng)險(xiǎn)能夠幾近于消失。

接下來(lái)可以通過(guò)將風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)控制在臨界閾值以下來(lái)計(jì)算發(fā)行人的臨界數(shù)量。

假設(shè)μ是投資者所選擇的風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)cvQ(ZPT)的臨界閾值，那么以μ 為臨界閾值時(shí)債券臨界數(shù)量Nμ的最小整數(shù)的計(jì)算應(yīng)如下所示。

因?yàn)棣虨榕R界閾值，風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)cvQ(ZPT)要控制在臨界閾值之下，所以有：

所以Nμ的最小值應(yīng)為：

然后再取最接近的大于這個(gè)最小值的整數(shù)作為最終債券臨界數(shù)量。

這個(gè)公式的解釋如下：任意債券數(shù)量大于或等于Nμ的投資組合，貼現(xiàn)收益的變異系數(shù)小于μ。這說(shuō)明當(dāng)利率風(fēng)險(xiǎn)較高時(shí)，投資組合需要更多數(shù)量的債券以維持組合風(fēng)險(xiǎn)不變。

以變異系數(shù)為風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)能測(cè)量出固定收益投資組合單位價(jià)格的風(fēng)險(xiǎn)，繼而可以比較成本相同的投資組合包含的風(fēng)險(xiǎn)大小。但也可以簡(jiǎn)單一點(diǎn)，將投資組合平均貼現(xiàn)收益的方差作為風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)測(cè)量固定收益投資組合單位數(shù)量的風(fēng)險(xiǎn)（不再是投資組合單位價(jià)格的風(fēng)險(xiǎn)）。

具體來(lái)說(shuō)，假設(shè)投資者將λ 作為新風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)VarQ(ZPT)的臨界值，在以方差為風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)的方法中，債券數(shù)量的最小整數(shù)Nλ的取值過(guò)程應(yīng)如下：

所以N?λ的最小值應(yīng)為：

這個(gè)公式的解釋如下：任意債券數(shù)量大于或等于N?λ的投資組合，平均貼現(xiàn)收益的方差小于λ。

（三）相互關(guān)聯(lián)的政府債券投資組合

下面進(jìn)一步討論投資組合中的政府債券相互關(guān)聯(lián)的情況，這種情況更符合實(shí)際。

假設(shè)一個(gè)投資組合中有N 個(gè)相互有關(guān)聯(lián)的政府債券，它們的貼現(xiàn)收益仍假定是同分布的，但彼此是相關(guān)聯(lián)的而且任意兩個(gè)發(fā)行人之間的關(guān)聯(lián)債券數(shù)目相同。同樣，債權(quán)投資組合的貼現(xiàn)收益為：

與相互獨(dú)立的債券組合類(lèi)似，可設(shè)貼現(xiàn)收益的風(fēng)險(xiǎn)中性期望為：

那么投資組合平均貼現(xiàn)收益的風(fēng)險(xiǎn)中性方差滿(mǎn)足:

所以有

基于假設(shè)，可以改寫(xiě)為：

令投資組合中任意兩個(gè)債券貼現(xiàn)收益的風(fēng)險(xiǎn)中性協(xié)方差為：

令

那么根據(jù)以上假設(shè)有：

當(dāng)所有債券的權(quán)重相等時(shí)有

所以

那么

從而有

由上式可知，在產(chǎn)品之間有關(guān)聯(lián)性的投資組合中，投資組合的利率風(fēng)險(xiǎn)是不能通過(guò)增加投資產(chǎn)品的多樣性完全分散掉的，因?yàn)椋?1）式中的極限只能為正數(shù)。（31）式說(shuō)明產(chǎn)品之間關(guān)聯(lián)性越強(qiáng)，關(guān)聯(lián)指數(shù)ζ越高時(shí)，投資組合的殘差風(fēng)險(xiǎn)越大。

最后，目標(biāo)是要計(jì)算出滿(mǎn)足條件時(shí)Nμ的最小整數(shù)取值，根據(jù)條件有：

所以Nμ的取值為：

接下來(lái)，推廣（18）式和（33）式，同時(shí)考慮利率風(fēng)險(xiǎn)和信用風(fēng)險(xiǎn)。

二、利率風(fēng)險(xiǎn)和信貸風(fēng)險(xiǎn)的交互分散性

公司債券既有利率風(fēng)險(xiǎn)也有信用風(fēng)險(xiǎn)。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假設(shè)所有的公司債券都是以同一種貨幣發(fā)行的。與之前的假設(shè)一樣，假定所有債券都是期限相同的零息債券，因?yàn)橄⑵眰梢钥醋魇嵌鄠€(gè)零息債券的組合。通過(guò)推導(dǎo)可以得到一個(gè)用于理解關(guān)聯(lián)投資組合信用風(fēng)險(xiǎn)分散性與主要利率風(fēng)險(xiǎn)和信用風(fēng)險(xiǎn)相關(guān)性的含參解析式。

假設(shè)一個(gè)有信用風(fēng)險(xiǎn)的零息債券的貼現(xiàn)收益為Zi,cT（“i”表示第i 個(gè)債券，“c”表示“信用風(fēng)險(xiǎn)”，“T”表示債券到期時(shí)間），那么貼現(xiàn)收益Zi,cT可表示為：

其中，τi表示債券i的終止時(shí)間，0 ≤Ri≤1表示可贖回收益率，P(τi＞T)表示債券到期贖回的概率，P(τi≤T)表示債券提前終止（或發(fā)生違約）的概率。假設(shè)無(wú)論是否發(fā)生違約事件，贖回金都在原定到期時(shí)間T時(shí)支付。

對(duì)于可違約債券的投資組合：

那么，

或者

根據(jù)Cox回歸模型，債券i違約風(fēng)險(xiǎn)λi的大小可能是一個(gè)與市場(chǎng)利率r 及其他債券違約風(fēng)險(xiǎn)有關(guān)的隨機(jī)過(guò)程。假定?表示含有市場(chǎng)利率r、信用風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)λi和可贖回收益率Ri信息的濾流。根據(jù)濾流? 的條件，信用風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)λi可以看作是一個(gè)關(guān)于時(shí)間的確定性函數(shù)，而且債券i 的終止時(shí)間τi可以看作是這個(gè)非齊次泊松過(guò)程（隨機(jī)過(guò)程）第一次跳躍的時(shí)間。

以下兩個(gè)式子是得到普遍認(rèn)同的：

和

其中定義：

利用條件期望的塔性，可將等式（37）重新寫(xiě)為：

或

當(dāng)利率風(fēng)險(xiǎn)和信用風(fēng)險(xiǎn)是相互獨(dú)立的時(shí)候，（42）式可以簡(jiǎn)化如下：

如果進(jìn)一步假設(shè)可贖回收益率是不變的，那么

進(jìn)一步定義

那么有

接下來(lái)研究固定收益投資組合的方差。

首先，根據(jù)（35）式有：

或

利用條件期望的塔性，可將等式（48）重新寫(xiě)為：

因?yàn)镮T是信息?T的已知條件，所以又可改寫(xiě)為：

（50）式可展開(kāi)寫(xiě)為：

因?yàn)榭哨H回收益率Ri是信息?T的已知條件，所以（51）式又可以寫(xiě)成：

三、結(jié)論與擴(kuò)展

研究主要的成果是找到了一個(gè)新的確定機(jī)構(gòu)投資者固定收益投資組合臨界數(shù)量的模型及分析了投資組合中發(fā)行人臨界數(shù)對(duì)主要利率風(fēng)險(xiǎn)和信用風(fēng)險(xiǎn)影響因素的敏感性。研究得出的一個(gè)重要結(jié)論是：分析可違約資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)分散性必須考慮利率風(fēng)險(xiǎn)，均值回歸力（或者說(shuō)央行干預(yù)市場(chǎng)的力度）對(duì)投資組合利率風(fēng)險(xiǎn)的分散性影響很大，而在贖回收益率、違約相關(guān)系數(shù)或守信概率較低的情況下，信用風(fēng)險(xiǎn)更具分散性。

本研究對(duì)投資者的幫助主要在：投資者可以通過(guò)模型確定基于投資者選定的風(fēng)險(xiǎn)下，應(yīng)納入其投資組合的固定收益發(fā)行者的最小數(shù)量。通常投資組合中會(huì)包含10 到50 個(gè)不同的債券，不同債券的投資金額會(huì)不一樣，因此確定滿(mǎn)足投資者風(fēng)險(xiǎn)期望的發(fā)行人數(shù)量的過(guò)程比較復(fù)雜，但是計(jì)算時(shí)間越快，參數(shù)越符合市場(chǎng)的實(shí)際情況，本研究能科學(xué)縮短投資者的計(jì)算時(shí)間，簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，幫助投資者做出兼顧當(dāng)下市場(chǎng)上利率情況和信用情況的最優(yōu)投資策略，以及幫助投資者根據(jù)市場(chǎng)上主要信用和利率影響因素的變化，及時(shí)調(diào)整債券投資組合的結(jié)構(gòu)。

研究的局限性在于沒(méi)有給出測(cè)量利率風(fēng)險(xiǎn)和信貸風(fēng)險(xiǎn)的方法。Vasicek模型中對(duì)信用風(fēng)險(xiǎn)的表達(dá)可能過(guò)于簡(jiǎn)單，若要提升該研究的精準(zhǔn)性建議使用能更準(zhǔn)確測(cè)算信用風(fēng)險(xiǎn)的利率模型。此外，信用風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估因子的選取范圍可以更廣。還有關(guān)于信用評(píng)級(jí)較低的債券，是否應(yīng)該花更大的代價(jià)以保證更高的風(fēng)險(xiǎn)分散性，是一個(gè)值得繼續(xù)深入研究的問(wèn)題。