２０２４年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬試卷數(shù)學(xué)(全國乙卷)

胡云兵

（本試卷滿分１５０分，考試用時１２０分鐘）

１８．已知某科技公司的某型號芯片的各項指標(biāo)經(jīng)過全面檢測后分為Ⅰ級和Ⅱ級，兩種品級芯片的某項指標(biāo)的頻率分布直方圖如圖所示．

若只利用該指標(biāo)制定一個標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值K ，按規(guī)定將該指標(biāo)大于K 的產(chǎn)品應(yīng)用于A 型手機(jī)，小于或等于K 的產(chǎn)品應(yīng)用于B 型手機(jī)．若將Ⅰ級品中該指標(biāo)小于或等于臨界值K 的芯片錯誤應(yīng)用于A 型手機(jī)會導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機(jī)損失８００元;若將Ⅱ級品中該指標(biāo)大于臨界值K 的芯片錯誤應(yīng)用于B 型手機(jī)會導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機(jī)損失４００元．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．

（１）當(dāng)臨界值K ＝７０時，將２個沒有進(jìn)行該指標(biāo)檢測的Ⅰ級品芯片直接應(yīng)用于A 型手機(jī)，求芯片生產(chǎn)商的損失ξ（單位：元）的分布列及期望．

（２）設(shè)K ＝x 且x∈[５０，５５]，現(xiàn)有足夠多的Ⅰ級品芯片和Ⅱ級品芯片，分別應(yīng)用于A 型手機(jī)、B 型手機(jī)各１萬部的生產(chǎn)．

方案１：將芯片不進(jìn)行該指標(biāo)檢測，Ⅰ級品芯片直接應(yīng)用于A 型手機(jī)，Ⅱ級品芯片直接應(yīng)用于B 型手機(jī);

方案２：重新檢測Ⅰ級品芯片和Ⅱ級品芯片的該項指標(biāo)，并按規(guī)定正確應(yīng)用于手機(jī)型號，會避免方案１的損失費用，但檢測費用共需要１３０萬元．

請從芯片生產(chǎn)商的成本考慮，選擇合理的方案，并說明理由．

１９．如圖所示，已知正方體ABCDＧA１B１C１D１ 的棱長為２．

（１）求證：A１C⊥平面AB１D１;

（２）若平面α∥平面AB１D１，且平面α 與正方體的棱相交，當(dāng)截面面積最大時，在所給圖形上畫出截面圖形（不必說出畫法和理由），并求出截面面積的最大值;

（３）在（２）的條件下，設(shè)平面α 與正方體的棱AB，BB１，B１C１ 分別交于點E，F(xiàn)，G，當(dāng)截面的面積最大時，求二面角D１ＧEFＧG 的余弦值．