套代數(shù)上的一類非線性中心化子

紀玉德 吳冰 楊翠

摘 要：為了推廣算子代數(shù)中的基本理論，對一類非線性映射成為套代數(shù)上的可加中心化子的條件進行了研究。首先，基于Hilbert空間上的非平凡套定義與該套有關(guān)的套代數(shù)，并定義套代數(shù)上的一個非線性映射；其次，采用矩陣分塊方法獲得關(guān)于此映射的幾個性質(zhì)；最后，證明套代數(shù)上滿足某種條件的非線性映射為可加中心化子，給出刻畫該映射的具體形式。結(jié)果表明，套代數(shù)上滿足某種條件的非線性映射為可加中心化子，且可完全刻畫。研究結(jié)果推廣了非線性映射成為套代數(shù)上可加中心化子的結(jié)論，豐富了算子代數(shù)拓撲結(jié)構(gòu)的分類問題，為套代數(shù)上其他類型非線性映射問題的刻畫提供了借鑒與參考。

關(guān)鍵詞：算子代數(shù)；中心化子；非線性映射；Hilbert空間；矩陣分塊

中圖分類號：O151.23? 文獻標識碼：A??文章編號：1008-1542（2024）02-0176-05

A class of nonlinear centralizers on nest algebras

JI Yude1， WU Bing2， YANG Cui2

（1.School of Sciences，Hebei University of Science and Technology，Shijiazhuang，Hebei 050018，China；2.School of Engineering Management，Hebei Polytechnic Institute，Shijiazhuang，Hebei 050091，China）

Abstract：In order to extend the basic theory of operator algebras， the conditions for a class of nonlinear mappings to become additive centralizers on nest algebras were studied. Firstly， the nest algebras related to a non-trivial nest based on a Hilbert space was defined， and a nonlinear mapping on the nest algebra was defined. Secondly， several properties about this mapping were obtained by using the matrix partitioning method. Finally， it was proved that a nonlinear mapping on the nest algebra that satisfies certain conditions was an additive centralizer， and a specific form for characterizing this mapping was provided. The results show that the nonlinear mapping satisfying some conditions on nested algebras is additive centralizer and can be characterized completely. The research results promote the conclusion that nonlinear mappings become additive centralizers on nested algebras， enrich the classification problem of topological structure for operator algebras， and provide reference and guidance for characterizing other types of nonlinear mappings on nested algebras.

Keywords：operator algebras；centralizer；nonlinear mapping；Hilbert space；matrix partitioning

設ψ是環(huán)或代數(shù)M上的一個自映射。若?A，B∈M，有ψ（AB）=ψ（A）B或ψ（AB）=Aψ（B），則稱ψ是M上的左中心化子或右中心化子。如果ψ既是左中心化子又是右中心化子，則稱ψ是中心化子。作為環(huán)或代數(shù)上一類重要的變換，關(guān)于具有滿足哪些條件的映射為中心化子的研究一直受到許多學者的關(guān)注[1-13]，但大多要求映射具有可加性或線性性。例如：文獻[1]證明了2-無擾自由半素環(huán)M上滿足2ψ（A2）=ψ（A）A+Aψ（A）（?A∈M）的可加映射ψ是中心化子；文獻[2]證明了J-子空間格代數(shù)中全體有限秩算子構(gòu)成的代數(shù)F（L）上滿足ψ（P）=ψ（P）P=Pψ（P）的線性映射ψ是中心化子；文獻[3]刻畫了完全分配可交換子空間格代數(shù)Alg L上滿足條件ψ（Am+n+1）-Amψ（A）An∈FI（?A∈Alg L）的可加映射ψ的具體形式，即存在Alg L中心里的元素λ，使得ψ（A）=λA；文獻[4]研究了完全分配可交換子空間格代數(shù)上的廣義Jordan中心化映射。事實上，自然界和工程技術(shù)中出現(xiàn)的大量問題都是非線性的，因此對各種非線性問題的研究成為熱點問題[14-21]。本文將考慮套代數(shù)上滿足某種條件的非線性映射，證明此映射為可加中心化子，并給出完全刻畫。

1 預備知識

定義1 設H為實或復數(shù)域F上的Hilbert空間，B（H）表示H上的全體有界線性算子構(gòu)成的代數(shù)。如果N是B（H）中的一個包含零算子I和單位算子I的全序投影族，且在強算子拓撲下是閉的，則稱N是一個套。與套N相對應的套代數(shù)記為Alg N，并定義為Alg N={T∈B（H）：TX?X，X∈N}。

如果套N至少含有一個非平凡投影，則稱套N是非平凡的；否則，稱套N是一個平凡套。顯然，平凡套N對應的套代數(shù)Alg N即為B（H）。

本文假設套N是非平凡的，并取P1∈N為一個固定非平凡投影，記P2=I-P1且Mij=（Pi）Alg（NPj）（1≤i≤j≤2），則Alg N=M11⊕M12⊕M22，其中⊕表示直和。

2 主要結(jié)果

定理1 設H為實或復數(shù)域F上的Hilbert空間，N為H上的非平凡套，Alg N是與套N有關(guān)的套代數(shù)，并且ψ：Alg N→Alg N是一個映射（無可加或線性假設）。如果存在滿足（m+n）（m-n）≠0的非零整數(shù)m，n，使得

2mψ（AB）+2nψ（BA）=mψ（A）B+mAψ（B）+nψ（B）A+nBψ（A）（1）

對所有的A，B∈Alg N成立，則存在λ∈F，使得對所有的A∈Alg N，有ψ（A）=λA。

引理1 設Aij∈Mij（1≤i≤j≤2），則

1）若A11M12=0，則A11=0；

2）若M12A22=0，則A22=0；

3）若M11A12=0，則A12=0；

4）若A12M22=0，則A12=0。

引理2 ψ（0）=0。

證明：由式（1）得，2mψ（0）+2nψ（0）=mψ（0）0+m0ψ（0）+nψ（0）0+n0ψ（0），故2（m+n）ψ（0）=0，從而ψ（0）=0。證畢。

引理3 ψ（Mij）?Mij（1≤i≤j≤2）。

證明：由式（1）得，2mψ（P1）+2nψ（P1）=mψ（P1）P1+mP1ψ（P1）+nψ（P1）P1+nP1ψ（P1），化簡得

2ψ（P1）=ψ（P1）P1+P1ψ（P1）。（2）

對式（2）等號兩邊同時乘P2，得P2ψ（P1）P2=0。對式（2）等號左邊乘P1右邊乘P2，得P1ψ（P1）P2=0。所以ψ（P1）∈M11。類似可以證明ψ（P2）∈M22。

對任意的A11∈M11，由于A11P2=P2A11=0，從而由式（1）及引理2，有

0=2mψ（A11P2）+2nψ（P2A11）=mψ（A11）P2+mA11ψ（P2）+nψ（P2）A11+nP2ψ（A11），化簡得

mψ（A11）P2+nP2ψ（A11）=0。（3）

對式（3）等號兩邊同時乘P2，得P2ψ（A11）P2=0。對式（3）等號左邊乘P1右邊乘P2，得P1ψ（A11）P2=0。從而ψ（A11）∈M11。類似可以證明ψ（A22）∈M22。

對任意的A12∈M12，由于A12P1=0，從而由式（1）及引理2，有

2nψ（A12）=2mψ（A12P1）+2nψ（P1A12）=mψ（A12）P1+mA12ψ（P1）+nψ（P1）A12+nP1ψ（A12）=mψ（A12）P1+nψ（P1）A12+nP1ψ（A12）。（4）

對式（4）等號兩邊同時乘P1，得2nP1ψ（A12）P1=（m+n）P1ψ（A12）P1，即（m-n）P1ψ（A12）P1=0，從而P1ψ（A12）P1=0。對式（4）等號兩邊同時乘P2，得P2ψ（A12）P2=0，從而ψ（A12）∈M12。

引理4 設Aij，Bij∈Mij（1≤i≤j≤2），則

1）ψ（A11A12）=ψ（A11）A12=A11ψ（A12）；

2）ψ（A12A22）=ψ（A12）A22=A12ψ（A22）；

3）ψ（A11B11）=ψ（A11）B11=A11ψ（B11）；

4）ψ（A22B22）=ψ（A22）B22=A22ψ（B22）。

證明：由式（1）、引理2和引理3可知，2mψ（A11A12）=2mψ（A11A12）+2nψ（A12A11）=mψ（A11）A12+mA11ψ（A12）+nψ（A12）A11+nA12ψ（A11）=mψ（A11）A12+mA11ψ（A12），從而

2ψ（A11A12）=ψ（A11）A12+A11ψ（A12）。（5）

在式（5）中取A11=P1，并注意到P1ψ（A12）=ψ（A12），故ψ（A12）=ψ（P1）A12。

同理得2ψ（A12A22）=ψ（A12）A22+A12ψ（A22），進而ψ（A12）=A12ψ（P2），則ψ（A11A12）=A11A12ψ（P2）=A11ψ（A12），再由式（5），有ψ（A11A12）=ψ（A11）A12。

類似可以證明ψ（A12A22）=ψ（P1）A12A22=ψ（A12）A22，ψ（A12A22）=A12ψ（A22）。

由引理4的（1），對任意的A12∈M12，有ψ（A11B11）A12=ψ（A11B11A12）=ψ（A11）B11A12，

且ψ（A11B11）A12=ψ（A11B11A12）=A11ψ（B11A12）=A11ψ（B11）A12，

從而（ψ（A11B11）-ψ（A11）B11）A12=0， （ψ（A11B11）-A11ψ（B11））A12=0。

由引理1的（1）和引理3，可得ψ（A11B11）=ψ（A11）B11=A11ψ（B11）。

類似可以證明ψ（A22B22）=ψ（A22）B22=A22ψ（B22）。證畢。

引理5 設Aij∈Mij（1≤i≤j≤2），則

1）ψ（A11+A12）=ψ（A11）+ψ（A12）；

2）ψ（A12+A22）=ψ（A12）+ψ（A22）。

證明：由式（1）、引理2和引理4，可得

2mψ[WB]（A11+A12）+2nψ（A11）=2mψ（P1（A11+A12））+2nψ（（A11+A12）P1）=mψ（P1）（A11+A12）+mP1ψ（A11+A12）+nψ（A11+A12）P1+n（A11+A12）ψ（P1）=（m+n）ψ（A11）+mψ（A12）+mP1ψ（A11+A12）+nψ（A11+A12）P1，即

2mψ（A11+A12）=（m-n）ψ（A11）+mψ（A12）+mP1ψ（A11+A12）+nψ（A11+A12）P1。 （6）

對式（6）等號兩邊同時乘P2，得P2ψ（A11+A12）P2=0。對式（6）等號左邊乘P1右邊乘P2，得

2mP1ψ（A11+A12）P2=mψ（A12）+mP1ψ（A11+A12）P2，從而P1ψ（A11+A12）P2=ψ（A12）。

對式（6）等號兩邊同時乘P1，得2mP1ψ（A11+A12）P1=（m-n）ψ（A11）+（m+n）P1ψ（A11+A12）P1。移項，有（m-n）P1ψ（A11+A12）P1=（m-n）ψ（A11），從而P1ψ（A11+A12）P1=ψ（A11）。所以ψ（A11+A12）=ψ（A11）+ψ（A12）。

類似可以證明ψ（A12+A22）=ψ（A12）+ψ（A22）。證畢。

引理6 設Aij，Bij∈Mij（1≤i≤j≤2），則

1）ψ（A12+B12）=ψ（A12）+ψ（B12）；

2）ψ（A11+B11）=ψ（A11）+ψ（B11）；

3）ψ（A22+B22）=ψ（A22）+ψ（B22）。

證明：對任意的A12，B12∈M12，因為A12+B12=（P1+A12）（P2+B12）且（P2+B12）（P1+A12）=0，由式（1）、引理2—引理5，有

2mψ（A12+B12）=2mψ（（P1+A12）（P2+B12））+2nψ（（P2+B12）（P1+A12））=mψ（P1+A12）（P2+B12）+m（P1+A12）ψ（P2+B12）+nψ（P2+B12）（P1+A12）+n（P2+B12）ψ（P1+A12）=2mψ（B12）+2mψ（A12）。

故ψ（A12+B12）=ψ（A12）+ψ（B12）。

對任意的A11，B11∈M11，一方面，由引理4，有ψ（（A11+B11）A12）=ψ（A11+B11）A12；另一方面，由引理4和引理6的1），有ψ（（A11+B11）A12）=ψ（A11A12）+ψ（B11A12）=ψ（A11）A12+ψ（B11）A12。

比較以上2個式子，可得（ψ（A11+B11）-ψ（A11）-ψ（B11））A12=0。

由引理1中的1），得ψ（A11+B11）=ψ（A11）+ψ（B11）。

類似可以證明ψ（A22+B22）=ψ（A22）+ψ（B22）。證畢。

引理7 設Aij∈Mij（1≤i≤j≤2），則

ψ（A11+A12+A22）=ψ（A11）+ψ（A12）+ψ（A22）。

證明：由式（1）及引理4可知，

2（m+n）[WB]ψ（A22）+2nψ（A12）=2mψ（P2（A11+A12+A22））+2nψ（（A11+A12+A22）P2）=mψ（P2）（A11+A12+A22）+mP2ψ（A11+A12+A22）+nψ（A11+A12+A22）P2+n（A11+A12+A22）ψ（P2）=（m+n）ψ（A22）+nψ（A12）+mP2ψ（A11+A12+A22）+nψ（A11+A12+A22）P2，從而

（m+n）ψ（A22）+nψ（A12）=mP2ψ（A11+A12+A22）+nψ（A11+A12+A22）P2。（7）

對式（7）等號左邊乘P1右邊乘P2，得ψ（A12）=P1ψ（A11+A12+A22）P2。對式（7）等號兩邊同時乘P2，得ψ（A22）=P2ψ（A11+A12+A22）P2。類似可以證明ψ（A11）=P1ψ（A11+A12+A22）P1，從而ψ（A11+A12+A22）=ψ（A11）+ψ（A12）+ψ（A22）。證畢。

注1 引理1—引理7給出了定義在套代數(shù)上的映射（無可加或線性假設）在滿足式（1）下的相關(guān)性質(zhì)，為定理1證明其成為可加中心化子提供了理論基礎。

定理1的證明： 設A，B∈Alg N，則A=A11A12A22，B=B11B12B22，其中Aij，Bij∈Mij（1≤i≤j≤2）。由引理6和引理7，有

ψ（A+B）=ψ（A11+B11）+ψ（A12+B12）+ψ（A22+B22）=ψ（A11）+ψ（B11）+ψ（A12）+ψ（B12）+ψ（A22）+ψ（B22）=ψ（A11+A12+A22）+ψ（B11+B12+B22）=ψ（A）+ψ（B），

故ψ具有可加性。又由引理3和引理4可知，

ψ（AB）=[WB]ψ（A11B11+A11B12+A12B22+A22B22）=ψ（A11B11）+ψ（A11B12）+ψ（A12B22）+ψ（A22B22）=ψ（A11）B11+ψ（A11）B12+ψ（A12）B22+ψ（A22）B22=A11ψ（B11）+A11ψ（B12）+A12ψ（B22）+A22ψ（B22）=ψ（A11+A12+A22）（B11+B12+B22）=（A11+A12+A22）ψ（B11+B12+B22）=ψ（A）B=Aψ（B）。

這說明ψ是套代數(shù)Alg N上的一個中心化子。進而對任意的A∈Alg N，有ψ（A）=ψ（I）A=Aψ（I）。而套代數(shù)的一次換位是恒等算子的常數(shù)倍，則存在λ∈F，使得ψ（I）=λI，從而對任意的A∈Alg N，有ψ（A）=λA。證畢。

3 結(jié) 語

本文運用矩陣分塊方法研究了套代數(shù)上的一類非線性映射，通過幾個引理給出了此映射的性質(zhì)，獲得了其成為可加中心化子的條件，并得到具體形式。該結(jié)果可為將來中心化子的研究提供依據(jù)與參考。

但是本文是在非線性映射滿足特定條件下考慮的可加中心化子問題，限制條件較強。在今后的研究中，將會探索削弱非線性映射所滿足的條件，進一步研究此類問題的更一般化結(jié)果。

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責任編輯：張士瑩

基金項目：國家自然科學基金（61972093）；河北省自然科學基金（F2022208007）；河北省高等學?？茖W技術(shù)研究項目（ZD2022136）

第一作者簡介：紀玉德（1979—），男，內(nèi)蒙古赤峰人，副教授，博士研究生，主要從事微分方程邊值問題方面的研究。

通信作者：吳冰，副教授。E-mail：wubing2018@126.com紀玉德，吳冰，楊翠.套代數(shù)上的一類非線性中心化子［J］.河北科技大學學報，2024，45（2）：176-180.JI Yude，WU Bing，YANG Cui.A class of nonlinear centralizers on nest algebras［J］.Journal of Hebei University of Science and Techno-logy，2024，45（2）：176-180.