基于CDM 理論與SVM 模型的2014-T6 鋁合金疲勞壽命預(yù)測(cè)

高同州，賀小帆，王曉雷，李紫光，朱振濤，詹志新，*

1.北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京 100191

2.北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076

金屬材料在航空航天、汽車、民用建筑及生物醫(yī)學(xué)等工程領(lǐng)域中具有廣泛應(yīng)用。這些金屬結(jié)構(gòu)在使用過程中常面臨循環(huán)載荷和惡劣環(huán)境的雙重考驗(yàn)，進(jìn)而導(dǎo)致疲勞損傷甚至失效［1-3］。然而，金屬疲勞作為一種復(fù)雜現(xiàn)象，涉及多個(gè)尺度和學(xué)科，如材料科學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)和工程學(xué)等。航空航天領(lǐng)域中，疲勞問題尤為關(guān)鍵，因?yàn)楹娇蘸教炱髟跇O端環(huán)境和載荷條件下運(yùn)行，且需確保其長(zhǎng)期可靠性和安全性。復(fù)雜的載荷條件和不斷變化的操作環(huán)境使得疲勞問題愈發(fā)復(fù)雜［4］。因此，有必要深入研究金屬結(jié)構(gòu)疲勞行為的影響因素與機(jī)理，建立合適的金屬材料的疲勞損傷分析及壽命預(yù)測(cè)方法。

研究表明，金屬結(jié)構(gòu)的疲勞性能對(duì)外部和內(nèi)部因素均非常敏感。外部因素包括零件的形狀、尺寸、表面粗糙度和使用工況［5-7］；內(nèi)部因素則涉及材料成分、微觀組織形貌、內(nèi)部孔隙夾雜等缺陷以及殘余應(yīng)力［8-10］。針對(duì)這些方面，已有大量學(xué)者進(jìn)行了深入研究。Zhao等［11］研究了表面粗糙度對(duì)鋁合金 7075-T6 疲勞強(qiáng)度的影響，且發(fā)現(xiàn)由于表面缺陷處的應(yīng)力集中和裂紋萌生，疲勞強(qiáng)度隨著表面粗糙度的增加而降低。該論文還提出了一種基于表面粗糙度和缺陷尺寸預(yù)測(cè)疲勞強(qiáng)度的改進(jìn)模型。Zhu等［12］研究了具有不同尺度結(jié)構(gòu)部件的疲勞行為，綜述了3 種尺寸效應(yīng)（統(tǒng)計(jì)、幾何、技術(shù)）及其在金屬疲勞方面的研究進(jìn)展，闡述了統(tǒng)計(jì)尺寸效應(yīng)建模中常用的臨界缺陷法和最弱環(huán)節(jié)法以及考慮幾何尺寸效應(yīng)的高應(yīng)力體積法。Jiang等［8］研究了不同Gd和Zr 含量的砂鑄Mg-Gd-Y-Zr 合金的微觀組織、拉伸性能和高周疲勞行為，發(fā)現(xiàn)Zr 含量的增加可以增加疲勞強(qiáng)度，而Gd 含量的增加延長(zhǎng)了相對(duì)高應(yīng)力下的疲勞壽命。Zhang等［13］從晶體微結(jié)構(gòu)出發(fā)結(jié)合晶體塑性有限元數(shù)值方法研究了增材制造AlSi10Mg 合金的高周和超高周疲勞行為，建立了考慮缺陷效應(yīng)的Voronoi 曲面細(xì)分晶體塑性有限元模型（Crystal Plasticity Finite Element Method，CPFEM）模擬循環(huán)塑性變形，采用Morrow 模型和Smith-Watson-Topper（SWT）模型預(yù)測(cè)疲勞壽命，SWT 模型與CPFEM 模擬表明，孔隙附近的累積循環(huán)塑性應(yīng)變顯著高于夾雜物。吳圣川等［14-16］從試驗(yàn)、斷裂力學(xué)模型以及數(shù)值模擬計(jì)算等方面深入研究了內(nèi)部缺陷的形貌、位置、取向等對(duì)增材制造AlSi10Mg 疲勞性能的影響。Chiocca等［17］通過數(shù)值建模和微觀結(jié)構(gòu)分析研究了殘余應(yīng)力對(duì)承受完全反向扭轉(zhuǎn)和彎曲載荷的 S355JR 結(jié)構(gòu)鋼管板焊接接頭疲勞評(píng)估的影響，發(fā)現(xiàn)在施加扭轉(zhuǎn)載荷時(shí)，殘余應(yīng)力對(duì)焊接接頭的疲勞壽命有影響，在彎曲載荷的情況下沒有檢測(cè)到殘余應(yīng)力的影響。

近年來，多種研究方法被應(yīng)用于金屬結(jié)構(gòu)疲勞性能的探討，例如經(jīng)驗(yàn)公式方法［18-20］、臨界面法［21］、能量法［22］、相場(chǎng)法［23］和斷裂力學(xué)方法［24］。除這些方法之外，連續(xù)損傷力學(xué)（Continuum Damage Mechanics，CDM）方法在金屬材料疲勞性能研究中的應(yīng)用也逐漸增多［25-28］。CDM 將材料失效建模為由微觀尺度上的微裂紋、微孔隙的增長(zhǎng)及擴(kuò)散引起的宏觀材料性能的逐漸劣化。CDM 可用于模擬金屬材料在各種載荷和環(huán)境條件下的疲勞性能，預(yù)測(cè)材料的損傷演化和最終失效。與其他方法相比，CDM 可以解釋不同損傷機(jī)制之間的相互作用及其對(duì)材料特性和行為的影響，捕獲損傷累積的非線性和不可逆性質(zhì)以及其對(duì)加載歷史的依賴性。然而，CDM 等方法在預(yù)測(cè)精度方面仍存在不足。

為了提高2014-T6 鋁合金材料疲勞壽命預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性，本文基于損傷力學(xué)理論與支持向量機(jī)模型，建立了一種疲勞壽命預(yù)測(cè)的新方法。首先，推導(dǎo)了耦合損傷的彈塑性本構(gòu)模型以及疲勞損傷模型，并給出了理論模型中材料參數(shù)的標(biāo)定方法；其次，提出了基于粒子群算法（Particle Swarm Optimization Algorithm，PSO）的理論模型材料參數(shù)的標(biāo)定方法，獲得了本構(gòu)模型及疲勞損傷模型中的材料參數(shù)；然后，基于ABAQUS 平臺(tái)，通過UMAT子程序的二次開發(fā)，實(shí)現(xiàn)了疲勞壽命預(yù)測(cè)的損傷力學(xué)有限元數(shù)值計(jì)算方法，并對(duì)2014-T6 鋁合金進(jìn)行了疲勞壽命預(yù)測(cè)；最后，采用支持向量機(jī)（Support Vector Machine，SVM）模型，以CDM 方法的預(yù)測(cè)誤差為訓(xùn)練對(duì)象，以此來修正CDM 的預(yù)測(cè)結(jié)果，從而得到更加準(zhǔn)確的疲勞壽命預(yù)測(cè)結(jié)果。

1 理論模型

1.1 耦合損傷的彈塑性本構(gòu)模型

從損傷力學(xué)的角度來看，材料內(nèi)部存在微觀不連續(xù)性，例如微裂紋和微孔洞等微觀缺陷，這些缺陷的萌發(fā)和擴(kuò)展會(huì)導(dǎo)致材料性能的劣化。連續(xù)損傷力學(xué)采用代表性體積單元（Representative Volume Element，RVE）為研究對(duì)象，RVE內(nèi)部材料均勻分布并且其平均物理和力學(xué)性能可以描述整個(gè)材料的宏觀行為。采用損傷變量D來度量材料性能的劣化，損傷變量［29］一般通過RVE 橫截面微缺陷面積的占比來進(jìn)行量化，如式（1）所示：

式中：dA 為RVE橫截面積，dAD為dA 中缺陷 的總面積，d為有效承載面積，有效應(yīng)力與損傷變量的關(guān)系如下：

式中：σij為名義應(yīng)力。

對(duì)于損傷耦合的彈塑性本構(gòu)模型，其中線彈性本構(gòu)方程為

塑性應(yīng)變分量的演化率為

1.2 疲勞損傷模型

在多軸加載條件下，基于CDM 的疲勞損傷演化方程為［30］

式中：損傷等效應(yīng)力σ*(σij)的表達(dá)式如下：

在單軸常幅值疲勞載荷條件下，式（7）退化為

式中：σa和σm為單軸循環(huán)載荷的應(yīng)力幅值及應(yīng)力均值，將公式從D=0 到D=1 積分可以得到單軸循環(huán)載荷作用下的疲勞壽命：

2 材料參數(shù)標(biāo)定及數(shù)值實(shí)現(xiàn)方法

2.1 材料參數(shù)標(biāo)定方法

本文基于粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）對(duì)本構(gòu)模型及疲勞損傷模型中的材料參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定。在粒子群算法中，將待求解問題的解空間看作一個(gè)“空間”，其中每個(gè)解被稱為一個(gè)“粒子”。每個(gè)粒子都有自己的位置和速度，并根據(jù)自己的歷史最優(yōu)解和群體最優(yōu)解來更新自己的位置和速度。其中，歷史最優(yōu)解表示粒子在搜索過程中自己所獲得的最優(yōu)解，而群體最優(yōu)解表示整個(gè)粒子群體在當(dāng)前迭代中所獲得的最優(yōu)解。通過粒子之間的相互作用和學(xué)習(xí)，整個(gè)群體逐步向最優(yōu)解靠近。粒子群算法的流程圖如圖1 所示，具體實(shí)現(xiàn)流程如下：

圖1 粒子群算法流程圖Fig.1 Algorithm flowchart for particle swarm optimization.

1）初始化粒子群：設(shè)置粒子群的規(guī)模，確定粒子位置和速度的范圍，并隨機(jī)生成粒子位置和速度。

2）評(píng)價(jià)適應(yīng)度函數(shù)：計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)度值（目標(biāo)函數(shù)值）。

3）更新最優(yōu)位置：將當(dāng)前粒子的適應(yīng)度值與其歷史最優(yōu)適應(yīng)度值進(jìn)行比較，若當(dāng)前適應(yīng)度值更優(yōu)，則更新粒子的個(gè)體最優(yōu)位置。同時(shí)，比較粒子的適應(yīng)度值與群體最優(yōu)適應(yīng)度值，若粒子的適應(yīng)度值更優(yōu)，則更新群體最優(yōu)位置。

4）更新粒子速度和位置：對(duì)于每個(gè)粒子，更新其個(gè)體最優(yōu)位置，即自身歷史最優(yōu)解。如果該粒子的當(dāng)前位置比之前的位置更優(yōu)，則將其個(gè)體最優(yōu)位置更新為當(dāng)前位置。速度更新公式和位置更新公式分別如式（13）和式（14）：

式中：vi(t)表示第i 個(gè)粒子在第t 次迭代時(shí)的速度，xi(t)表示第i 個(gè)粒子在第t 次迭代時(shí)的位置，w 為慣性權(quán)重，c1和c2分別為個(gè)體和群體學(xué)習(xí)因子，r1和r2是在（0，1）之間的隨機(jī)數(shù)，pi為第i 個(gè)粒子的個(gè)體最優(yōu)位置，g 為群體最優(yōu)位置。

5）終止條件：達(dá)到最大迭代次數(shù)或滿足收斂條件時(shí)，停止迭代，否則跳轉(zhuǎn)到第2）步。

6）輸出結(jié)果：返回全局最優(yōu)解及其對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值。

本文采用2014-T6 鋁合金的單軸拉伸應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù)［31］來標(biāo)定其靜力性能參數(shù)。在單軸加載條件下，材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線關(guān)系如式（15）所示，

式中：σy為屈服應(yīng)力。

在參數(shù)標(biāo)定過程中以試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)與本構(gòu)模型之間的殘差平方和為目標(biāo)函數(shù)，使其達(dá)到最小。標(biāo)定得到的本構(gòu)材料參數(shù)如表1 所示，應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù)與本構(gòu)模型的擬合對(duì)比如圖2 所示。

表1 2014-T6 的靜力性能參數(shù)Table 1 Static performance parameters of 2014-T6

圖2 2014-T6 應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.2 Stress-strain curve of 2014-T6

對(duì)于疲勞損傷演化模型，有α、β、m和n 這4 個(gè)材料參數(shù)需要標(biāo)定，采用粒子群算法，采用表2［31］中不同循環(huán)載荷下的疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)，進(jìn)行最優(yōu)參數(shù)篩選，最終標(biāo)定得到的4個(gè)材料參數(shù)如表3所示，標(biāo)定后的疲勞損傷模型和試驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比如圖3所示。

表2 用于標(biāo)定材料參數(shù)的疲勞數(shù)據(jù)［31］Table 2 Fatigue data for calibration of material parameters［31］

表3 2014-T6 疲勞損傷模型參數(shù)Table 3 Fatigue damage parameters of 2014-T6

圖3 損傷演化模型與疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比Fig.3 Comparison between test data and calibrated fatigue model

2.2 疲勞損傷模型的有限元數(shù)值實(shí)現(xiàn)

本文基于ABAQUS 平臺(tái)，編寫用戶自定義材料子程序UMAT，實(shí)現(xiàn)了損傷耦合的本構(gòu)模型以及疲勞損傷模型，通過計(jì)算循環(huán)載荷下的損傷演化來計(jì)算2014-T6 鋁合金的疲勞壽命，其數(shù)值計(jì)算過程如圖4 所示。

圖4 損傷演化數(shù)值計(jì)算流程Fig.4 Damage evolution numerical calculation flowchart

具體實(shí)現(xiàn)流程如下：

1）初始化材料本構(gòu)參數(shù)、損傷演化模型參數(shù)和損傷度。

2）根據(jù)損傷度更新彈性模量，如式（16）：

3）根據(jù)損傷耦合彈塑性本構(gòu)計(jì)算有限元模型各個(gè)單元積分點(diǎn)的應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)。

4）計(jì)算損傷演化速率和損傷增量，更新?lián)p傷度，為了減小計(jì)算量，采用了跳躍周期法，即認(rèn)為在ΔN 個(gè)周期內(nèi)損傷演化速率不變：

這里，ΔN 取為試驗(yàn)壽命Nexp的1%。本文分析計(jì)算了ΔN 的不同取值對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果造成的偏差。選取工況為Kt=1，R=0，σmax=344.75 MPa，試驗(yàn)壽命Nexp=151 729 的數(shù)據(jù)點(diǎn)，分別計(jì)算不同ΔN 下的預(yù)測(cè)誤差，如圖5 所示，圖中橫坐標(biāo)為ΔN與試驗(yàn)壽命Nexp的比值ΔN/Nexp，可見，當(dāng)ΔN/Nexp較大時(shí)，預(yù)測(cè)誤差較大；隨著ΔN/Nexp的減小，預(yù)測(cè)誤差先急劇下降然后逐漸趨于收斂，當(dāng)ΔN 為試驗(yàn)壽命Nexp的1%時(shí)，預(yù)測(cè)誤差約為2%，可以滿足疲勞壽命的預(yù)測(cè)要求。因此，兼顧計(jì)算效率和計(jì)算精度，本研究取ΔN 為1%的試驗(yàn)壽命Nexp。

圖5 預(yù)測(cè)誤差隨ΔN/Nexp的變化（Kt=1，R=0，σmax=344.75 MPa，Nexp=151 729）Fig.5 Variation of predicted error with ΔN/Nexp（Kt=1，R=0，σmax=344.75 MPa，Nexp=151 729）

5）判斷損傷度是否大于或等于1，是則結(jié)束計(jì)算認(rèn)為結(jié)構(gòu)疲勞失效，否則返回第2）步。

2.3 2014-T6 缺口試件疲勞壽命計(jì)算

2014-T6 的棒狀光滑試件及含缺口試樣［32］尺寸圖如圖6 所示，缺口試樣應(yīng)力集中系數(shù)為Kt=1.6。疲勞試驗(yàn)是在300 kg 的Schenck 疲勞試驗(yàn)機(jī)上完成，環(huán)境為室溫、空氣條件。加載方式為軸向加載，疲勞載荷為恒幅正弦波載荷，頻率范圍為18～60 Hz。試樣均經(jīng)過表面機(jī)械加工和拋光處理。分別對(duì)應(yīng)力集中系數(shù)Kt=1.0 的棒狀光滑試件與 Kt=1.6 的棒狀缺口試件進(jìn)行疲勞試驗(yàn)。Kt=1.0時(shí)，應(yīng)力比為R=-1，-0.4，0.06，最大應(yīng)力的范圍為165～455 MPa；Kt=1.6時(shí)，應(yīng)力比為R=-1，-0.4，0.06，0.46，最大應(yīng)力范圍為138～400 MPa。

圖6 2014-T6 試樣尺寸示意圖Fig.6 Fatigue test specimen dimensional diagram of 2014-T6

在ABAQUS 平臺(tái)上建立有限元模型并進(jìn)行數(shù)值計(jì)算?？紤]到試樣的對(duì)稱性，建立1/8 模型，在3 個(gè)對(duì)稱平面施加對(duì)稱邊界條件，在試樣端部施加軸向均勻載荷，如圖7 所示。采用了C3D8 八節(jié)點(diǎn)線性六面體單元對(duì)模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，為了確保計(jì)算結(jié)果的精度，對(duì)缺口周圍的局部區(qū)域進(jìn)行了細(xì)網(wǎng)格處理，并進(jìn)行了網(wǎng)格敏感性分析，如表4 所示，以獲得獨(dú)立于有限元網(wǎng)格大小的收斂解。最后，建立的有限元模型中包含了113 418 個(gè)單元，缺口處網(wǎng)格尺寸約為0.20 mm×0.07 mm×0.06 mm。

表4 有限元網(wǎng)格敏感性分析Table 4 Sensitivity analysis of finite element mesh

圖7 棒狀缺口試件1/8 有限元模型和載荷及邊界條件示意圖Fig.7 Finite element model of 1/8 scale notched round bar specimen and schematic diagram of load and boundary conditions

圖8 展示了σmax=200 MPa，R=-1.0時(shí)的應(yīng)力分布云圖及損傷度分布云圖，可見，缺口邊緣應(yīng)力及損傷度最大，危險(xiǎn)點(diǎn)處的損傷度隨循環(huán)次數(shù)的變化曲線如圖9 所示，圖中表明損傷演化隨著循環(huán)次數(shù)的增加以及損傷度的增大越來越快。危險(xiǎn)點(diǎn)處的軸向應(yīng)力隨循環(huán)次數(shù)的變化曲線如圖10，軸向應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖11，可以看出，隨著損傷度的增大，該點(diǎn)的彈性模量逐漸降低導(dǎo)致承載能力越來越弱。

圖8 有限元計(jì)算結(jié)果云圖Fig.8 Finite element analysis contour map

圖9 危險(xiǎn)截面的損傷度隨循環(huán)次數(shù)變化Fig.9 Variation of damage variable at critical point with the number of cycles

圖10 危險(xiǎn)點(diǎn)處軸向應(yīng)力隨循環(huán)次數(shù)的變化Fig.10 Variation of axial stress at critical point with the number of cycles

圖11 危險(xiǎn)點(diǎn)處的軸向應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.11 Axial stress-strain curve at critical point

基于損傷力學(xué)有限元數(shù)值計(jì)算方法，對(duì)應(yīng)力集中系數(shù)Kt=1.0 的棒狀光滑試樣和集中系數(shù)Kt=1.6 的棒狀缺口件疲勞壽命進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果如表5 所示，圖12 給出了預(yù)測(cè)結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比。計(jì)算表明，除少數(shù)計(jì)算結(jié)果在3 倍誤差帶以外，大部分的計(jì)算結(jié)果都在3 倍誤差帶以內(nèi)。此外，材料的微觀組織形態(tài)、材料制備和材料可能存在的缺陷對(duì)材料的疲勞壽命有顯著影響，會(huì)造成材料疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)的分散性。本研究在開展疲勞壽命計(jì)算時(shí)，所采用的疲勞損傷演化模型中有4 個(gè)材料參數(shù)α、β、m、n，需要基于材料的疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)定，因此，這4 個(gè)參數(shù)可間接地反映上述因素對(duì)材料疲勞性能的影響。

表5 基于損傷力學(xué)有限元數(shù)值方法的計(jì)算結(jié)果Table 5 Calculation results of fatigue life based on finite element numerical method of damage mechanics

圖12 試驗(yàn)壽命與損傷力學(xué)數(shù)值方法預(yù)測(cè)壽命對(duì)比Fig.12 Comparison of experimental life and life predicted by numerical method of damage mechanics

3 基于損傷力學(xué)-支持向量機(jī)的疲勞壽命預(yù)測(cè)方法

盡管疲勞壽命的預(yù)測(cè)結(jié)果在誤差帶之內(nèi)，但和試驗(yàn)結(jié)果之間仍普遍存在誤差，因此采用機(jī)器學(xué)習(xí)方法來修正數(shù)值計(jì)算結(jié)果，以減小誤差的影響，提高預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。本文采用支持向量機(jī)（Support Vector Machine，SVM）方法，對(duì)基于損傷力學(xué)的疲勞壽命預(yù)測(cè)結(jié)果的誤差進(jìn)行訓(xùn)練，從而修正數(shù)值預(yù)測(cè)結(jié)果。

3.1 基于誤差訓(xùn)練的SVM 模型

SVM 是一種監(jiān)督學(xué)習(xí)算法，主要用于分類和回歸問題。在回歸問題中，SVM 的基本原理是在訓(xùn)練數(shù)據(jù)之間構(gòu)建一個(gè)最優(yōu)邊界，使得預(yù)測(cè)誤差小于某個(gè)指定的閾值，并且使得邊界間隔最大化。首先將輸入空間映射到一個(gè)高維特征空間，然后在該特征空間中找到一個(gè)線性函數(shù)來逼近目標(biāo)函數(shù)。對(duì)一個(gè)輸入特征向量為xi∈Rd，輸出值為yi∈R 的訓(xùn)練 數(shù)據(jù)集(xi，yi)i=1N，SVM的目標(biāo)是找到一個(gè)線性函數(shù)f (x)使得對(duì)所有的訓(xùn)練數(shù)據(jù)f (xi)與yi之間的誤差小于ε。在特征空間中，線性函數(shù)可以表示為

式中：w ∈Rk是權(quán)重向量，?(x)是將x 映射到特征空間的函數(shù)，b ∈R 是偏置項(xiàng)；<·，·>表示向量之間的內(nèi)積。SVM 使得以下目標(biāo)函數(shù)最小化：

其中：‖w‖2是表示正則化項(xiàng)，用于控制模型復(fù)雜度；C 是懲罰參數(shù)，用于平衡模型復(fù)雜度與訓(xùn)練誤差和分別為正面松弛變量和負(fù)面松弛變量。求解過程中的約束條件為

式中：ε 為容忍度參數(shù)。

本文基于誤差訓(xùn)練并結(jié)合損傷力學(xué)方法與SVM 模型對(duì)2014-T6 鋁合金進(jìn)行疲勞壽命預(yù)測(cè)的流程如下：

1）數(shù)據(jù)收集：獲取損傷力學(xué)數(shù)值方法計(jì)算的誤差數(shù)據(jù)建立模型數(shù)據(jù)庫(kù)。

2）數(shù)據(jù)集劃分：將數(shù)據(jù)集劃分為訓(xùn)練集、驗(yàn)證集和測(cè)試集。

3）參數(shù)選擇：選擇合適的模型及核函數(shù)并調(diào)整關(guān)鍵參數(shù)，本文需要解決的金屬疲勞壽命預(yù)測(cè)問題屬于回歸分析問題，選擇了徑向基函數(shù)（Radial Basis Function，RBF）核函數(shù)。在進(jìn)行非線性回歸問題時(shí)，RBF 核函數(shù)通過將數(shù)據(jù)從原始低維空間映射到高維特征空間，能夠在高維空間中尋找到數(shù)據(jù)的非線性關(guān)系，使其能夠處理復(fù)雜的非線性問題。此外，使用RBF 核函數(shù)的SVM 具有很強(qiáng)的泛化性能，即使在訓(xùn)練樣本較少的情況下，也能得到較好的預(yù)測(cè)結(jié)果。RBF 核函數(shù)的表達(dá)式為

式中：xi和xj是樣本點(diǎn)的特征向量；‖xi-xj‖表示2 個(gè)特征向量之間的歐幾里得距離；γ 是RBF 核函數(shù)的一個(gè)參數(shù)，通常需要通過交叉驗(yàn)證等方式來確定。

4）模型訓(xùn)練：使用訓(xùn)練集數(shù)據(jù)訓(xùn)練SVM 模型，通過最小化目標(biāo)函數(shù)來學(xué)習(xí)最佳的回歸超平面。

5）模型評(píng)估：使用驗(yàn)證集數(shù)據(jù)對(duì)模型的表現(xiàn)進(jìn)行評(píng)估。

6）預(yù)測(cè)：利用訓(xùn)練好的模型對(duì)測(cè)試集數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

在本文中，將應(yīng)力集中系數(shù)Kt、應(yīng)力比R、最大應(yīng)力σmax作為模型的輸入?yún)?shù)，將有限元數(shù)值方法的預(yù)測(cè)誤差作為模型的輸出參數(shù)，進(jìn)行回歸分析。最終，訓(xùn)練得到能夠預(yù)測(cè)損傷力學(xué)數(shù)值計(jì)算方法誤差的SVM 機(jī)器學(xué)習(xí)模型。

3.2 模型數(shù)據(jù)庫(kù)與預(yù)測(cè)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)

機(jī)器學(xué)習(xí)訓(xùn)練過程依賴于大量數(shù)據(jù)以構(gòu)建模型數(shù)據(jù)庫(kù)。然而，試驗(yàn)數(shù)據(jù)有限，因此需要通過其他途徑擴(kuò)充數(shù)據(jù)源。為此，綜合利用了疲勞壽命數(shù)據(jù)的分布特性以及S-N 曲線，隨機(jī)生成了不同應(yīng)力集中系數(shù)、不同應(yīng)力比和不同應(yīng)力水平下的疲勞壽命數(shù)據(jù)點(diǎn)作為試驗(yàn)數(shù)據(jù)。

本文在進(jìn)行數(shù)據(jù)擴(kuò)充時(shí)，認(rèn)為在相同的應(yīng)力比和應(yīng)力水平下疲勞試驗(yàn)壽命呈正態(tài)分布，考慮到S-N 曲線代表了疲勞數(shù)據(jù)的中值壽命，即對(duì)數(shù)平均值壽命，因此，本文以給定應(yīng)力比下所有真實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)與S-N 曲線的偏差平方的平均值作為方差，以給定應(yīng)力比和應(yīng)力水平下S-N 曲線的計(jì)算疲勞壽命作為當(dāng)前應(yīng)力水平下正態(tài)分布的均值，進(jìn)而在每個(gè)應(yīng)力水平下隨機(jī)生成符合正態(tài)分布的疲勞壽命作為擴(kuò)充數(shù)據(jù)。擴(kuò)充數(shù)據(jù)、真實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)集及S-N 曲線對(duì)比如圖13 所示?？梢姡瑪U(kuò)充數(shù)據(jù)隨機(jī)均勻地分布于S-N 曲線兩側(cè)。由于S-N 曲線代表了隨機(jī)數(shù)據(jù)的均值，擴(kuò)充生成的數(shù)據(jù)受S-N 曲線的影響較大。如果S-N 曲線與真實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的偏差較大，那么擴(kuò)充數(shù)據(jù)與真實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)之間會(huì)有較大偏差；如果S-N 曲線與真實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)越接近，那么擴(kuò)充數(shù)據(jù)與真實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的偏差越小。

圖13 擴(kuò)充數(shù)據(jù)、試驗(yàn)數(shù)據(jù)及S-N 曲線的對(duì)比Fig.13 Comparison of extended data，experimental data，and S-N curve

接著，采用損傷力學(xué)數(shù)值方法計(jì)算相應(yīng)工況下的壽命及預(yù)測(cè)誤差。最后，將不同應(yīng)力集中系數(shù)、不同應(yīng)力比和不同應(yīng)力水平下的數(shù)值方法預(yù)測(cè)誤差整合成機(jī)器學(xué)習(xí)過程所需的模型數(shù)據(jù)庫(kù)。按照70%、15%、15%的比例將模型數(shù)據(jù)庫(kù)劃分為訓(xùn)練集、驗(yàn)證集和測(cè)試集。這里，選擇訓(xùn)練集數(shù)據(jù)的原則是使訓(xùn)練集數(shù)據(jù)能夠具有代表性、多樣性以及各個(gè)類型數(shù)據(jù)的平衡性。針對(duì)機(jī)器學(xué)習(xí)預(yù)測(cè)模型，一般而言，當(dāng)總數(shù)據(jù)集的數(shù)據(jù)量小于1 萬時(shí)，當(dāng)訓(xùn)練集所占的比例為70%時(shí)，預(yù)測(cè)結(jié)果可以滿足精度要求。本文在數(shù)據(jù)選取過程中，首先將所有不同應(yīng)力集中系數(shù)、不同應(yīng)力比、不同應(yīng)力水平的200 組數(shù)據(jù)進(jìn)行多次隨機(jī)混合，然后從混合均勻的數(shù)據(jù)集中選取前70%作為訓(xùn)練集數(shù)據(jù)。

對(duì)于SVM 模型的疲勞壽命預(yù)測(cè)結(jié)果，常用的評(píng)價(jià)指標(biāo)為均方誤差（Mean Squared Error，MSE）和決定系數(shù)（R-Squared，R2）。MSE 反映了預(yù)測(cè)值與真實(shí)值之間差距的平方的平均值。MSE 的值越小，說明模型對(duì)數(shù)據(jù)的擬合程度越好。然而，MSE 對(duì)異常值的敏感度較高，因?yàn)樗鼤?huì)對(duì)誤差進(jìn)行平方處理，從而放大異常值的影響。R2度量回歸模型解釋數(shù)據(jù)變異性的程度。R2的取值范圍為0～1 之間，最佳值為1，表明模型完全解釋了數(shù)據(jù)的變異性。當(dāng)R2值較小時(shí)，模型未能很好地解釋數(shù)據(jù)的變異性。R2的優(yōu)勢(shì)在于它具有可解釋性，可用于比較不同模型的R2值以選擇最佳模型。R2和MSE 的計(jì)算公式為

式中：yi表示第i個(gè)觀測(cè)值的真實(shí)值表示模型對(duì)第i 個(gè)觀測(cè)值的預(yù)測(cè)值表示所有預(yù)測(cè)值的平均值，n 表示樣本數(shù)量。

3.3 結(jié)果與討論

3.3.1 疲勞壽命預(yù)測(cè)結(jié)果

針對(duì)不同的應(yīng)力集中系數(shù)、應(yīng)力比和應(yīng)力水平，采用損傷力學(xué)有限元數(shù)值計(jì)算方法，得到了200 組2014-T6 鋁合金的疲勞壽命與試驗(yàn)疲勞壽命的誤差。將數(shù)據(jù)劃分為3 部分：140 組作為訓(xùn)練集，27 組作為驗(yàn)證集，33 組作為測(cè)試集。對(duì)支持向量機(jī)（SVM）模型起主要影響的參數(shù)包括懲罰參數(shù)C、徑向基核函數(shù)（RBF）的相似度參數(shù)γ和容忍度參數(shù)ε。在訓(xùn)練過程中，采用粒子群優(yōu)化方法結(jié)合驗(yàn)證集進(jìn)行迭代交叉驗(yàn)證，以獲得最優(yōu)模型參數(shù)。模型參數(shù)和整體預(yù)測(cè)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)如表6 所示。訓(xùn)練集、驗(yàn)證集、測(cè)試集以及整體數(shù)據(jù)的線性回歸圖如圖14 所示。觀察可知，所有數(shù)據(jù)集的回歸相關(guān)系數(shù)Rc均在0.8 左右，表明SVM模型具有較好的預(yù)測(cè)性能。

表6 SVM 模型參數(shù)及性能評(píng)價(jià)指標(biāo)Table 6 SVM model parameters and performance evaluation indicators

圖14 SVM 模型預(yù)測(cè)結(jié)果線性回歸圖Fig.14 Linear regression graphs of SVM model prediction results

利用訓(xùn)練完成的SVM 模型對(duì)損傷力學(xué)數(shù)值方法計(jì)算的疲勞壽命誤差進(jìn)行預(yù)測(cè)，從而修正有限元數(shù)值計(jì)算結(jié)果。圖15 展示了訓(xùn)練集修正后的結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比，誤差柱狀圖如圖16 所示，其中，F(xiàn)EM model 指基于損傷力學(xué)的有限元數(shù)值方法，F(xiàn)EM-SVM model 表示結(jié)合SVM 模型進(jìn)行修正的有限元數(shù)值方法。結(jié)果表明，對(duì)于Kt=1.0和Kt=1.6 時(shí)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果，在經(jīng)過SVM 模型修正后，3 倍誤差帶以外的數(shù)據(jù)點(diǎn)均進(jìn)入了3 倍誤差帶內(nèi)，整體數(shù)據(jù)明顯向2 倍誤差帶內(nèi)部及直線y=x 靠攏，壽命預(yù)測(cè)精度得到了顯著提高。如圖16 所示的誤差柱狀圖表明，除個(gè)別數(shù)據(jù)點(diǎn)外，預(yù)測(cè)誤差大幅降低，表明壽命SVM 修正方法顯著提高了預(yù)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性。

圖15 修正前后試驗(yàn)壽命與預(yù)測(cè)壽命對(duì)比Fig.15 Comparison of experimental life before and after correction with predicted life

圖16 修正前后壽命預(yù)測(cè)誤差對(duì)比Fig.16 Comparison of prediction error before and after correction

3.3.2 應(yīng)力水平及應(yīng)力集中系數(shù)對(duì)損傷演化的影響

1）最大應(yīng)力及應(yīng)力比影響分析

應(yīng)力集中系數(shù)Kt=1.0 應(yīng)力比R=0.06時(shí)，σmax分別為400 MPa、350 MPa和300 MPa下?lián)p傷度隨循環(huán)次數(shù)的變化曲線如圖17（a）所示。最大應(yīng)力σmax=290 MPa時(shí)，應(yīng)力比分別為R=-0.4、R=0、R=0.1 下?lián)p傷度隨循環(huán)次數(shù)的變化曲線，如圖17（b）所示。結(jié)果表明，在應(yīng)力比相同時(shí)，隨著應(yīng)力水平的升高，損傷演化速率明顯加快，導(dǎo)致2014-T6 的疲勞壽命大幅降低。此外，在應(yīng)力水平保持一致的情況下，應(yīng)力比的減小同樣會(huì)導(dǎo)致?lián)p傷演化速率迅速增長(zhǎng)，從而使疲勞壽命顯著下降。上述結(jié)果從損傷力學(xué)的角度揭示了應(yīng)力水平和應(yīng)力比對(duì)損傷演化和疲勞壽命的影響規(guī)律。

圖17 不同應(yīng)力水平下?lián)p傷度隨循環(huán)次數(shù)變化曲線和不同應(yīng)力比下?lián)p傷度隨循環(huán)次數(shù)變化曲線Fig.17 Damage variable vs number of cycles curve under different stress levels and damage variable vs number of cycles curve under different stress ratios

2）應(yīng)力集中系數(shù)影響分析

在應(yīng)力比R=-1，最大應(yīng)力σmax=160 MPa時(shí)，計(jì)算了應(yīng)力集中系數(shù)Kt為1.6、2.0、2.4、3.4的含缺口2014-T6 試樣危險(xiǎn)點(diǎn)的損傷度及損傷速率隨循環(huán)次數(shù)的變化規(guī)律，如圖18、圖19 所示，可以看到，在相同的載荷水平下，損傷演化速率隨應(yīng)力集中系數(shù)的增大而迅速加快，不同應(yīng)力集中系數(shù)下的損傷演化速率具有很大差異，表明試件的形狀尺寸對(duì)其疲勞性能有著至關(guān)重要的影響。

圖18 不同應(yīng)力集中系數(shù)下?lián)p傷度隨循環(huán)次數(shù)變化曲線Fig.18 Damage variable curves with respect to cycle numbers under different stress concentration factors

圖19 不同應(yīng)力集中系數(shù)下?lián)p傷速率隨循環(huán)次數(shù)變化曲線Fig.19 Damage rate curves with respect to cycle numbers under different stress concentration factors

3.3.3 訓(xùn)練數(shù)據(jù)量及參數(shù)對(duì)SVM 模型預(yù)測(cè)性能的影響

1）訓(xùn)練數(shù)據(jù)量的影響分析

將3.3.1 節(jié)中的總體數(shù)據(jù)劃分為訓(xùn)練集和測(cè)試集2 部分，保持模型參數(shù)不變。選取40 組數(shù)據(jù)作為固定測(cè)試集，然后從剩余數(shù)據(jù)中分別抽取40組、80 組、120 組、160 組作為 訓(xùn)練集數(shù)據(jù)，對(duì)SVM 模型進(jìn)行訓(xùn)練并對(duì)測(cè)試集數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。圖20 展示了不同訓(xùn)練數(shù)據(jù)量下測(cè)試集的線性回歸圖，觀察可知，隨著訓(xùn)練數(shù)據(jù)量的增加，預(yù)測(cè)值與真實(shí)值的線性相關(guān)度逐步提升。圖21 展示了整體性能評(píng)價(jià)指標(biāo)MSE和R2隨訓(xùn)練數(shù)據(jù)量的變化以及SVM 模型在單個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的預(yù)測(cè)精度的變化。結(jié)果表明，MSE 隨著訓(xùn)練數(shù)據(jù)量的增加而減小，R2隨著訓(xùn)練數(shù)據(jù)量的增加而增大。同時(shí)，兩者的變化速率逐漸降低。此外，隨著訓(xùn)練數(shù)據(jù)量的增加，測(cè)試集中單個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)預(yù)測(cè)值與真實(shí)值之間的差距逐漸減小。圖22 對(duì)比了不同訓(xùn)練數(shù)據(jù)量下的預(yù)測(cè)壽命與試驗(yàn)壽命，可見，隨著訓(xùn)練數(shù)據(jù)量的增加，數(shù)據(jù)點(diǎn)逐漸向y=x 直線靠攏。結(jié)果表明，訓(xùn)練數(shù)據(jù)量的增加對(duì)SVM 模型的預(yù)測(cè)性能有顯著提升作用。然而，當(dāng)數(shù)據(jù)量增大到一定程度時(shí)，預(yù)測(cè)性能的提升速度減緩并趨于收斂。這意味著，在實(shí)際應(yīng)用中，需要權(quán)衡數(shù)據(jù)量與預(yù)測(cè)性能之間的關(guān)系，以尋找合適的訓(xùn)練數(shù)據(jù)量。

圖20 不同訓(xùn)練數(shù)據(jù)量下測(cè)試集線性回歸圖Fig.20 Linear regression graphs of test set with varying training data sizes

圖21 模型預(yù)測(cè)性能隨訓(xùn)練數(shù)據(jù)量變化規(guī)律Fig.21 Variation of model prediction performance with sizes of training data

圖22 不同訓(xùn)練數(shù)據(jù)量下預(yù)測(cè)壽命與試驗(yàn)壽命對(duì)比Fig.22 Comparison of predicted life and experimental life with varying training data sizes

2）參數(shù)C和γ 的影響分析

將3.3.1 節(jié)中的總體數(shù)據(jù)劃分為訓(xùn)練集和測(cè)試集2 部分，其中訓(xùn)練集包含160 組數(shù)據(jù)，測(cè)試集包含40 組數(shù)據(jù)。首先，選取不同的參數(shù)C 進(jìn)行訓(xùn)練，然后，對(duì)測(cè)試集進(jìn)行預(yù)測(cè)。圖23 展示了SVM模型整體性能評(píng)價(jià)指標(biāo)及其在單個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的預(yù)測(cè)精度隨參數(shù)C 的變化曲線。觀察可知，當(dāng)參數(shù)C 較小時(shí)，MSE 隨著C 的增加迅速減小，而R2則快速增大。當(dāng)C 增大到約7 921.95 附近時(shí)，預(yù)測(cè)性能的提升趨于穩(wěn)定。同時(shí)，在選取的單個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)上，模型預(yù)測(cè)精度呈現(xiàn)出先增大、后減小、再增大的變化趨勢(shì)。接下來，選取不同的參數(shù)γ 進(jìn)行訓(xùn)練，并對(duì)測(cè)試集進(jìn)行預(yù)測(cè)。圖24 展示了SVM模型整體性能評(píng)價(jià)指標(biāo)及其在單個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的預(yù)測(cè)精度隨參數(shù)γ 的變化曲線。結(jié)果表明，當(dāng)γ 增大到最優(yōu)參數(shù)0.000 25 之前，MSE 隨著γ 的增加迅速減小，而R2則快速增大，表明模型預(yù)測(cè)性能得到了快速提升。然而，當(dāng)γ 超過最優(yōu)參數(shù)后，MSE 隨著γ 的增加反而迅速增大，R2則快速減小，表明模型預(yù)測(cè)性能出現(xiàn)了快速下降。在選取的單個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)上，模型的預(yù)測(cè)精度隨著γ 的增加先呈現(xiàn)出增大、后減小的變化趨勢(shì)。上述結(jié)果表明，在SVM 模型中，參數(shù)C和γ 對(duì)模型預(yù)測(cè)性能具有顯著影響。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，需要通過合適的參數(shù)調(diào)整方法尋找最優(yōu)參數(shù)組合，以實(shí)現(xiàn)最佳的預(yù)測(cè)性能。

圖23 模型預(yù)測(cè)性能隨參數(shù)C 變化規(guī)律Fig.23 Model prediction performance with variation in parameter C

圖24 模型預(yù)測(cè)性能隨參數(shù)γ 變化規(guī)律Fig.24 Model prediction performance with variation in parameter γ

4 結(jié)論

本文基于損傷力學(xué)理論與SVM 模型，針對(duì)2014-T6 鋁合金材料，建立了一種疲勞壽命預(yù)測(cè)的新方法。主要結(jié)論如下：

1）基于連續(xù)損傷力學(xué)模型及UMAT 子程序的二次開發(fā)，建立了一種用于預(yù)測(cè)2014-T6 鋁合金疲勞壽命的損傷力學(xué)有限元數(shù)值實(shí)現(xiàn)方法，并提出了基于粒子群算法的材料參數(shù)的標(biāo)定方法。

2）利用支持向量機(jī)（SVM）模型對(duì)基于損傷力學(xué)的疲勞壽命預(yù)測(cè)結(jié)果的誤差進(jìn)行訓(xùn)練，從而修正數(shù)值預(yù)測(cè)結(jié)果，使得疲勞壽命預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性得到顯著提高。

3）訓(xùn)練數(shù)據(jù)量、參數(shù)C和γ 對(duì)SVM 模型的預(yù)測(cè)性能有顯著影響。在訓(xùn)練數(shù)據(jù)量逐步增加的過程中，SVM 模型預(yù)測(cè)性能得到明顯提升，但當(dāng)數(shù)據(jù)量增大到一定程度時(shí)，預(yù)測(cè)性能提升速度減慢并趨于收斂。在實(shí)際應(yīng)用中，需要選取合適的模型數(shù)據(jù)庫(kù)以及模型參數(shù)，以實(shí)現(xiàn)最佳預(yù)測(cè)效果。