三維C 形臂X 光機(jī)的有限元計(jì)算及結(jié)構(gòu)優(yōu)化

趙志浩

（同濟(jì)大學(xué) 機(jī)械與能源工程學(xué)院，上海 200124）

C 形臂X 光機(jī)作為眾多X 射線設(shè)備中的一種，憑借其可移動(dòng)、術(shù)中圖像實(shí)時(shí)曝光等特點(diǎn)，在各種手術(shù)中發(fā)揮了重要作用[1-3]。圖像引導(dǎo)是實(shí)現(xiàn)術(shù)前手術(shù)規(guī)劃和術(shù)中手術(shù)介入引導(dǎo)的關(guān)鍵。將三維C 形臂X 光機(jī)的三維重建系統(tǒng)與手術(shù)過(guò)程中提供導(dǎo)航信息的激光跟蹤系統(tǒng)相結(jié)合，可根據(jù)術(shù)中三維重建數(shù)據(jù)提供先進(jìn)的導(dǎo)航[4]。三維C 形臂X 光機(jī)的掃描精度決定了基于三維重建系統(tǒng)與導(dǎo)航配準(zhǔn)的手術(shù)精度。但是，由于設(shè)備使用過(guò)程中存在一定的振動(dòng)，會(huì)造成一定的影像誤差。因此，針對(duì)整機(jī)進(jìn)行模態(tài)分析與加速度實(shí)驗(yàn)十分必要，并可基于分析結(jié)果優(yōu)化調(diào)整結(jié)構(gòu)。

1 三維C 形臂X 光機(jī)結(jié)構(gòu)分析

圖1 為三維C 形臂X 光機(jī)的結(jié)構(gòu)圖，分為C 環(huán)、C 環(huán)Holder、水平向傳動(dòng)以及垂向傳動(dòng)模塊。C 環(huán)與C 環(huán)Holder 側(cè)通過(guò)周向軸承定位，同步帶與同步帶輪傳動(dòng)實(shí)現(xiàn)C 環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)。同步帶兩端與C 環(huán)兩端連接，其中一端設(shè)置有張緊輪，使同步帶時(shí)刻保持緊繃狀態(tài)。同步帶在C 環(huán)Holder 內(nèi)側(cè)通過(guò)兩個(gè)軸承和一個(gè)同步帶輪以M 形方式纏繞。C 環(huán)運(yùn)行過(guò)程中，C 環(huán)Holder 側(cè)的伺服電機(jī)和行星齒輪減速箱帶動(dòng)同步帶輪，使與其嚙合的同步帶傳動(dòng)。同步帶兩側(cè)與C 環(huán)固定，可實(shí)現(xiàn)C 環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)。

圖1 三維C 形臂X 光機(jī)結(jié)構(gòu)

2 模態(tài)分析的理論基礎(chǔ)和ANSYS 軟件的介紹

2.1 模態(tài)分析理論

模態(tài)分析是一種用來(lái)確定零部件結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的技術(shù)，避免結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)階段發(fā)生共振或者在特定頻率段發(fā)生振動(dòng)。采用這項(xiàng)技術(shù)可以確定結(jié)構(gòu)的固有頻率、振型以及振型參與系數(shù)，即在某個(gè)方向上某一階振型在整體振動(dòng)的參與比。模態(tài)分析是設(shè)備結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析的基礎(chǔ)，是指結(jié)構(gòu)在無(wú)阻尼和無(wú)外力激勵(lì)作用下求解結(jié)構(gòu)本身的固有頻率和振型的過(guò)程。用數(shù)學(xué)方程的形式解釋模態(tài)分析，本質(zhì)為通過(guò)坐標(biāo)相互變換的方法使一組相互耦合的微分方程轉(zhuǎn)化成各個(gè)獨(dú)立的方程[5]?？紤]全部自由度的完整動(dòng)力學(xué)方程為[6]

動(dòng)力學(xué)方程中忽略阻尼矩陣和載荷向量，可以得到無(wú)阻尼自由振動(dòng)體系的運(yùn)動(dòng)方程為

式中：0為零向量。

假設(shè)多自由度下的自由振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，則

對(duì)結(jié)構(gòu)變形位移向量v(t)取二階導(dǎo)，則得到自由振動(dòng)的加速度向量為

簡(jiǎn)化后，方程為

即

2.2 ANSYS 軟件介紹

ANSYS 軟件是融合結(jié)構(gòu)、流體、電場(chǎng)、磁場(chǎng)以及聲場(chǎng)分析于一體的大型通用有限元分析軟件，由美國(guó)ANSYS 公司研制[7]。它能與眾多計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)（Computer Aided Design，CAD）軟件實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)共享交換，如Pro/Engineer、SolidWorks 以 及AutoCAD 等。ANSYS 軟件廣泛應(yīng)用于機(jī)械制造、航空航天、能源動(dòng)力、車輛交通、土木工程及生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域。

3 模態(tài)分析

3.1 模型前處理

在對(duì)整機(jī)模型進(jìn)行模態(tài)分析前需要簡(jiǎn)化模型，即在保證整機(jī)總質(zhì)量不變的前提下，對(duì)材料復(fù)雜、結(jié)構(gòu)不規(guī)則的部件（如球管、平板、電機(jī)及電動(dòng)推桿等）進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，同時(shí)刪除各零部件上的螺孔、圓角及倒角等微小細(xì)節(jié)，防止后續(xù)計(jì)算機(jī)進(jìn)行一些不必要的計(jì)算。圖2 為各模塊模型簡(jiǎn)化前后的對(duì)比。

圖2 整機(jī)模型簡(jiǎn)化

簡(jiǎn)化模型中，絕大部分零件設(shè)置為綁定接觸。以下4 個(gè)位置在連接約束中設(shè)置為彈簧彈性接觸，分別為：一是C 環(huán)與C 環(huán)Holder 接觸；二是水平向傳動(dòng)結(jié)構(gòu)底部滑塊與導(dǎo)軌接觸；三是水平向傳動(dòng)結(jié)構(gòu)與垂向傳動(dòng)結(jié)構(gòu)處傳動(dòng)軸接觸；四是設(shè)備6 個(gè)腳輪與大地接觸。

各部件對(duì)應(yīng)的材料、質(zhì)量及材料屬性，如表1 與表2 所示。由于球管、互補(bǔ)金屬氧化物半導(dǎo)體（Complementary Metal Oxide Semiconductor，CMOS）平板、伺服電機(jī)、行星齒輪減速箱及電動(dòng)推桿等元器件內(nèi)部零件較為復(fù)雜，其材料在此次仿真中與各相應(yīng)模塊統(tǒng)一。為了提高模態(tài)仿真的精確度，各部件的質(zhì)量與實(shí)際質(zhì)量相差范圍控制在5%左右。此外，各元器件的質(zhì)量通過(guò)查詢各使用說(shuō)明書(shū)得到。

表1 各部件材料質(zhì)量參數(shù)

表2 材料屬性

3.2 仿真結(jié)果分析

使用ANSYS 軟件對(duì)整機(jī)進(jìn)行模態(tài)仿真，得到前3階固有頻率及各方向質(zhì)量參與因子。表3 為前3 階模態(tài)計(jì)算結(jié)果。圖3、圖4 和圖5 分別為前3 階模態(tài)振型。其中：1 階模態(tài)振型為垂向傳動(dòng)結(jié)構(gòu)與底盤(pán)互聯(lián)部件上的垂向傳動(dòng)機(jī)構(gòu)以X軸為中心軸，沿Z軸正方向有傾覆趨勢(shì)；2 階模態(tài)振型為垂向傳動(dòng)結(jié)構(gòu)與底盤(pán)互聯(lián)部件上的垂向傳動(dòng)立柱、水平向傳動(dòng)結(jié)構(gòu)、C 環(huán)Holder 及C 環(huán)以X軸為中心軸，沿Z軸正方向有傾覆趨勢(shì)；3 階模型振型為以C 環(huán)Holder 處為偏轉(zhuǎn)節(jié)點(diǎn)，C 環(huán)部件整體以Z軸為旋轉(zhuǎn)中心沿X軸負(fù)方向有扭轉(zhuǎn)趨勢(shì)，垂向傳動(dòng)結(jié)構(gòu)與底盤(pán)互聯(lián)部件及水平向傳動(dòng)結(jié)構(gòu)以Z軸為旋轉(zhuǎn)中心沿X軸正方向有扭轉(zhuǎn)趨勢(shì)。

表3 前3 階模態(tài)計(jì)算結(jié)果

圖3 1 階模態(tài)振型

圖4 2 階模態(tài)振型

圖5 3 階模態(tài)振型

4 整機(jī)加速度實(shí)驗(yàn)

4.1 實(shí)驗(yàn)方法

SNOEREN 等將加速度傳感器放置在平板與球管側(cè)，通過(guò)自由振動(dòng)激勵(lì)器采用正弦波的形式給出不同頻率激勵(lì)得到兩端振動(dòng)幅值，同時(shí)對(duì)顱骨模型進(jìn)行二維屏片掃描，通過(guò)圖像比對(duì)發(fā)現(xiàn)振動(dòng)對(duì)于圖像質(zhì)量的影響[8]。LIANG 等通過(guò)對(duì)C 環(huán)加速度及速度的測(cè)試，發(fā)現(xiàn)較低的加減速度及較高的等速能夠有效抑制設(shè)備的振動(dòng)[9]?；赟NOEREN 及LIANG 等的研究，結(jié)合現(xiàn)有的測(cè)試工具，在整機(jī)水平向傳動(dòng)結(jié)構(gòu)及C 環(huán)導(dǎo)軌一端處各布置1 個(gè)加速度傳感器，同時(shí)應(yīng)用16 通道同步數(shù)據(jù)采集卡與筆記本電腦組成加速度信號(hào)采集系統(tǒng)。

4.2 傳感器點(diǎn)位布置

C 環(huán)動(dòng)態(tài)測(cè)試中，加速度傳感器在整機(jī)中分別在兩個(gè)點(diǎn)位進(jìn)行布置。其中：一號(hào)傳感器布置在水平向傳動(dòng)結(jié)構(gòu)側(cè)板上，此位置靠近C 環(huán)旋轉(zhuǎn)伺服電機(jī)；二號(hào)傳感器布置在C 環(huán)導(dǎo)軌上。

4.3 加速度測(cè)試結(jié)果

通過(guò)加速度實(shí)驗(yàn)得到功率譜密度圖，如圖6 所示。功率譜密度圖表示在某個(gè)頻率段設(shè)備收到外部激勵(lì)后會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)。曲線對(duì)應(yīng)的縱軸大小不代表確定的振幅大小名義值，只表示其振動(dòng)幅值。外部激勵(lì)越大，振幅越大。

圖6 順逆時(shí)針功率譜圖

綜合設(shè)備實(shí)際運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài)，結(jié)合表3 仿真前3 階固有頻率，可以得到如下結(jié)論：設(shè)備掃描頻率與整機(jī)1階固有頻率接近，可能引起共振；在10～20 Hz 頻率段，振幅非常密集，且振幅幅值變化不大，可能在C 環(huán)與C 環(huán)Holder 配合處發(fā)生一定的振動(dòng)。因?yàn)樵O(shè)備在運(yùn)行過(guò)程中只有C 環(huán)發(fā)生位移，C 環(huán)尤其是球管側(cè)靜力學(xué)變形最明顯，使得C 環(huán)導(dǎo)軌不規(guī)則，且各部件之間的裝配有一定誤差，導(dǎo)致軸承與C 環(huán)在嚙合接觸過(guò)程中受C 環(huán)重力影響有一定的瞬間沖擊，而沖擊頻率可能剛好與2 階、3 階固有頻率匹配，從而引起共振。

5 整機(jī)結(jié)構(gòu)優(yōu)化

LIU 等通過(guò)改變C 環(huán)大小、C 環(huán)與C 環(huán)Holder 連接處、垂向傳動(dòng)結(jié)構(gòu)外徑以及輔助腳輪的位置，分析改變各自變量后的設(shè)備1 階固有頻率，以此作為依據(jù)來(lái)優(yōu)化結(jié)構(gòu)[10]。文中的三維C 形臂X 光機(jī)C 環(huán)大小無(wú)法改變。結(jié)合圖3 仿真1 階模態(tài)振型得知，整機(jī)向下平動(dòng)且垂向傳動(dòng)機(jī)構(gòu)有傾覆的趨勢(shì)，因此針對(duì)水平向傳動(dòng)結(jié)構(gòu)底部滑塊與直線導(dǎo)軌處、垂向傳動(dòng)結(jié)構(gòu)以及設(shè)備配重進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

根據(jù)振動(dòng)理論，結(jié)構(gòu)的固有頻率由質(zhì)量矩陣和剛度矩陣確定[11]。本文分別改變滑塊與直線導(dǎo)軌寬度D1、垂向傳動(dòng)結(jié)構(gòu)寬度D2以及底盤(pán)配重質(zhì)量G后進(jìn)行整機(jī)模態(tài)分析得到1 階固有頻率，進(jìn)而分析固有頻率變化趨勢(shì)，判斷如何優(yōu)化整機(jī)結(jié)構(gòu)。

如表4 所示，滑塊與直線導(dǎo)軌寬度D1初始值為20 mm，變化范圍設(shè)定為20～50 mm。垂向傳動(dòng)結(jié)構(gòu)寬度D2初始值為129 mm，變化范圍設(shè)定為129～159 mm。底盤(pán)配重質(zhì)量M初始值為40 kg，變化范圍設(shè)定為40～70 kg。

表4 變量的初始值與變化范圍

通過(guò)改變變量的方式，分別得到在單獨(dú)改變滑塊與直線導(dǎo)軌寬度D1、垂向傳動(dòng)結(jié)構(gòu)寬度D2以及底盤(pán)配重質(zhì)量M情況下，設(shè)備的1 階固有頻率變化曲線，如圖7、圖8 和圖9 所示。

圖7 自變量為D1 情況下1 階模態(tài)曲線

圖8 自變量為D2 情況下1 階模態(tài)曲線

圖9 自變量為M 情況下1 階模態(tài)曲線

滑塊與直線導(dǎo)軌寬度D1在20～80 mm 與設(shè)備的一階固有頻率成反比，且曲線斜率較小。1 階固有頻率的變化值大約在0.05 Hz，底盤(pán)配重質(zhì)量M在40～70 kg 與設(shè)備的一階固有頻率成反比。根據(jù)頻率公式k為結(jié)構(gòu)剛度，m為結(jié)構(gòu)質(zhì)量，k與m成正比，說(shuō)明在滑塊與直線導(dǎo)軌和底盤(pán)配重處，剛度與質(zhì)量之間差別不大。垂向傳動(dòng)結(jié)構(gòu)寬度D2在129～189 mm，對(duì)應(yīng)的設(shè)備1 階固有頻率先是指數(shù)上升，達(dá)到169 mm左右時(shí)頻率值相對(duì)穩(wěn)定。

綜上所述，整機(jī)的1 階固有頻率對(duì)于垂向傳動(dòng)結(jié)構(gòu)寬度較為敏感，因此結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)主要改變垂向傳動(dòng)結(jié)構(gòu)寬度來(lái)實(shí)現(xiàn)1 階固有頻率的變化。

表5 是綜合分析后3 個(gè)自變量的優(yōu)化組合，其中滑塊與直線導(dǎo)軌處維持初始值20 mm，垂向傳動(dòng)結(jié)構(gòu)寬度選用臨界值169 mm。底盤(pán)配重處考慮產(chǎn)品此處需要安裝隔離變壓器、工控機(jī)及濾波器等電氣件，因此配重質(zhì)量需超出電氣件質(zhì)量總和，此處參數(shù)為50 kg。

表5 優(yōu)化值組合

通過(guò)調(diào)整整機(jī)模型和進(jìn)行模態(tài)仿真，得到優(yōu)化后的設(shè)備前3 階固有頻率，如表6 所示。其中，1 階固有頻率提升到6.42 Hz，比優(yōu)化前計(jì)算機(jī)輔助工程（Computer Aided Engineering，CAE）仿真和實(shí)物實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)提高了33%～40%，達(dá)到了設(shè)備1 階固有頻率避開(kāi)掃描頻率的需求。優(yōu)化后的整機(jī)結(jié)構(gòu)不會(huì)在掃描頻率下引起共振。

表6 優(yōu)化前后1 階固有頻率對(duì)比 單位：Hz

6 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種結(jié)合ANSYS 模態(tài)分析、實(shí)物動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)以及模型優(yōu)化驗(yàn)證的解決振動(dòng)方法。首先，簡(jiǎn)化整機(jī)模型，設(shè)置各模塊的質(zhì)量參數(shù)。其次，通過(guò)ANSYS 軟件進(jìn)行模態(tài)分析得到前3 階固有頻率和對(duì)應(yīng)的振型。再次，完成實(shí)物加速度測(cè)試，得到設(shè)備實(shí)體運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài)下最真實(shí)的振動(dòng)能量分布，進(jìn)而獲得整機(jī)需要優(yōu)化的位置。最后，通過(guò)調(diào)節(jié)3 個(gè)變量得到組合最優(yōu)解，并通過(guò)再次模態(tài)分析來(lái)驗(yàn)證優(yōu)化結(jié)果是否滿足要求。