高觀點下的高中數(shù)學(xué)解題策略的研究

張澤 代紅軍

摘 要：對2023年北京高考數(shù)學(xué)第19題解法采用文獻(xiàn)法，針對8篇文獻(xiàn)的解法進(jìn)行歸納比較，從兩個視角給出了該題的8種解法；對比兩個視角的不同解法，發(fā)現(xiàn)高觀點下的數(shù)學(xué)解題策略不僅能優(yōu)化解法，降低運(yùn)算能力要求，還能更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：高觀點；數(shù)學(xué)解題策略；文獻(xiàn)法

中圖分類號：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2024）07-0065-04

收稿日期：2023-12-05

本文參考的幾篇文章對2023年北京高考數(shù)學(xué)第19題的解法進(jìn)行了分析，主要解法有設(shè)點并用橢圓普通方程來表示（以下簡稱“普通設(shè)點法”）、設(shè)點并用橢圓參數(shù)方程來表示（以下簡稱“參數(shù)設(shè)點法”）、設(shè)線法、反設(shè)線法.除了參考的第5篇文章沒有提到命題背景，其余7篇文章都揭示了命題背景為高等數(shù)學(xué)下的帕斯卡定理，從而可知命題人站在高等數(shù)學(xué)層面來命制該高考題［1-8］.

1? 考題再現(xiàn)

（1）求E的方程；

（2） 設(shè)P為第一象限內(nèi)E上的動點，直線PD與直線BC交于點M，直線PA與直線y=-2交于點N.求證：MN∥CD.

2 解法探究

2.1 第（1）問解法探究

2.2 第（2）問的初等數(shù)學(xué)解法探究

解法1 因為P為第一象限E上的動點，設(shè)

聯(lián)立直線PA方程與y=-2，得

4+9k2x2-54k2x+81k2-36=0.

直線MN的斜率為

即kMN=kCD，MN與CD不重合，所以MN∥CD.

即kMN=kCD，所以MN∥CD.

2.3 第（2）問的高等數(shù)學(xué)解法探究

利用仿射變換，將橢圓轉(zhuǎn)化為圓進(jìn)行求解（如圖1，圖2）.

即E′：x′2+y′2=4，A′（0，2），C′（0，-2），B′（-2，0），D′（2，0）.

又因為m2+n2=4，所以kM′N′=1.

又kC′D′=1，即kC′D′=kM′N′.

所以C′D′∥M′N′，所以MN∥CD.

又kC′D′=1，即kC′D′=kM′N′.

所以C′D′∥M′N，因此MN∥CD.

解法7 設(shè)直線P′D′的方程為y′=kx′-2，直線B′C′的方程為y′=-x′-2，

（1+k2）x′2-4k2x′+4k2-4=0，

進(jìn)而kM′N′=1.

又kC′D′=1，即kC′D′=kM′N′.

所以C′D′∥M′N′，所以MN∥CD.

所以kM′N′=1.

又kC′D′=1，即kC′D′=kM′N′.

所以C′D′∥M′N′，所以MN∥CD.

3 結(jié)束語

這道解析幾何解答題考查學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，尤其對學(xué)生的運(yùn)算能力提出很高的要求.該題需要學(xué)生能靈活運(yùn)用整體代換的思想進(jìn)行算式化簡，如兩種視角下的解法1、5中對斜率分式表達(dá)式的化簡.初等數(shù)學(xué)視角下的解法1，需要學(xué)生能把橢圓E的方程表達(dá)式進(jìn)行變形后代換，然后代入分式之中進(jìn)行約分化簡；高等數(shù)學(xué)視角下的解法5，則需要學(xué)生把圓E′的方程表達(dá)式進(jìn)行整體代換.經(jīng)過初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)兩種不同視角的解題過程的對比，顯然可知利用高等數(shù)學(xué)的仿射變換把橢圓變?yōu)閳A以后再進(jìn)行解題，運(yùn)算簡便許多，也相應(yīng)提高了學(xué)生對高考數(shù)學(xué)的解析幾何解答題的計算信心.在教學(xué)中，教師應(yīng)把高等數(shù)學(xué)的思想和方法滲透于初等數(shù)學(xué)的教與學(xué)中.學(xué)生也應(yīng)站在更高的觀點下解題，不僅增加了解題的信心，也極大激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

參考文獻(xiàn)：

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