利用角度變換方法解決空間角問題

王道金

摘 要：空間角是立體幾何中的重要問題.在空間坐標(biāo)系下解決空間角問題思路直接，但有時候運(yùn)算量比較大，而且弱化了對圖形本質(zhì)的認(rèn)識，如果能夠抓住空間角之間的邏輯關(guān)系，運(yùn)用等價轉(zhuǎn)化思想，實(shí)現(xiàn)有效降維，就可以簡化求解過程.文章通過四個基本事實(shí)，得到空間角的變換依據(jù)，展示了角度變換在解決空間角問題中的有效應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：空間角；邏輯關(guān)系；等價轉(zhuǎn)化；降維；角度變換

中圖分類號：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2024）07-0045-04

空間角包括二面角、線面角、線線角，平面角是空間角的基礎(chǔ)，文[1]和文[2]指出了常用的解決空間角問題的幾何法（添加輔助線結(jié)合空間角的定義）和空間向量法（建立空間坐標(biāo)系）.文[3]則提出了解決空間角問題的幾何法與空間向量法（提出了方程思想），也提出了構(gòu)造法.筆者發(fā)現(xiàn)，在特定環(huán)境下，空間角之間可以相互轉(zhuǎn)化，利用空間角度的變換可以簡化空間角的作圖和計算.有幾個關(guān)于空間角關(guān)系的基本事實(shí)，可以用來簡化空間角的求解過程.下面以四個基本事實(shí)作為依據(jù)，以角度變換的視角求解高考中的空間角問題.

1 對有公共棱的二面角實(shí)施和差變換

變換依據(jù) 如圖1，平面ABEF在二面角D-AB-M的兩個半平面ABCD和ABNM之間，二面角D-AB-M大小為θ，二面角D-AB-E大小為α，二面角E-AB-M大小為β，則有θ=α+β.

問題1 （2023年全國Ⅱ卷20）如圖2，三棱錐A-BCD中，DA＝DB＝DC，BDCD，ADB＝ADC＝60°，E為BC中點(diǎn)，

（1）證明：BC⊥AD;

又DE⊥BC，所以BC⊥平面ADE.所以BC⊥AD.

（2）如圖3，二面角D-AB-F的大小設(shè)為θ，可以看成二面角D-AB-C和二面角F-AB-C組成的.

二面角F-AB-C為直二面角，作EM⊥AB于點(diǎn)M，連接DM，則由DE⊥平面ABC得到∠DME為二面角D-AB-C的平面角.

（1）證明：DE⊥平面ACD；

（2）求二面角B-AD-E的大小.

分析 三個二面角D1-AC-D，D1-AC-B1，B1-AC-B之和為π，可以先求二面角D1-AC-D與二面角B1-AC-B.

設(shè)二面角D1-AC-D的大小為α，設(shè)二面角

B1-AC-B的大小為β，

可以證明AC⊥AB，AC⊥平面ABB1，∠B1AB=β，tanβ=2.如圖7，設(shè)H為AC中點(diǎn)，連接DH，D1H，則有DH⊥AC.

2 對二面角實(shí)施降維變換

變換依據(jù) 如圖8，OP⊥平面ABNM，OQ⊥平面ABCD，則∠POQ與二面角M-AB-D的平面角相等或者互補(bǔ).

問題4 （2015年湖北理19）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱

問題5 （2016年全國Ⅰ卷理18）如圖11，在以A， B， C， D， E， F為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，∠AFD= 90°，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60°.求二面角E-BC-A的余弦值.

分析 如圖12，考慮尋找平面ABCD與平面BCE的垂線，作CM⊥EF，垂足為點(diǎn)M，作MN⊥AB，垂足為點(diǎn)N，連接CN，則AB⊥平面CMN.作MP⊥CN于點(diǎn)P，則MP⊥平面ABC.作MH⊥CE于點(diǎn)H，則由平面BCE⊥平面EFDC得到MH⊥平面BCE［3］.

3 對二面角的半平面實(shí)施位置變換

變換依據(jù) 如圖13，平面ABFE∥平面MNCD，則二面角D-AB-E與二面角A-CD-M的大小互補(bǔ).

問題6 （2014年全國Ⅰ卷19）如圖14，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，AB⊥B1C.若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A-A1B1-C1的余弦值.

4 對線面角實(shí)施降維變換

變換依據(jù) 如圖16，直線AB與平面α相交，

分析 設(shè)法找到平面PAM的垂線，先求此垂線與PC所成的角，如圖18，取PA的中點(diǎn)K，OK∥PC，設(shè)I為AK的中點(diǎn)，則OI⊥AK.設(shè)AM與BO交于點(diǎn)N，由BO⊥AC，BO⊥平面PAC得到BO⊥AK.

所以AK⊥平面INO.

問題8 （2021年全國甲卷19）如圖19，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB=BC=2， E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點(diǎn)，D為棱A1B1上的點(diǎn)，BF⊥A1B1.當(dāng)B1D為何值時，面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最?。?/p>

分析 因?yàn)锳B⊥平面BCC1B1，要使面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最小，需要AB與平面DEF所成角最大.

EF為定直線，AB與平面DEF所成角最大值為AB與EF所成角，EF∥AC1，所以需要平面AC1B與平面DEF垂直.

又平面AC1B與直線B1C垂直，所以需要B1C∥平面DEF，如圖20.

5 結(jié)束語

從上面的求解過程可以看出，角度變換方法可以直接抓住幾何本質(zhì)，以較小的運(yùn)算量解決空間角度問題，在教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生自覺加以應(yīng)用，這對培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力，提升學(xué)生的基本學(xué)科素養(yǎng)方面大有益處，值得研究.

參考文獻(xiàn)：

［1］王冬冬.高考立體幾何空間角解題技巧[J].數(shù)理化解題研究，2019（22）：10-11.

［2］ 張宇.例談“空間角”的求解策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2023（01）：78-79.

［3］ 張宏儷.聚焦立體幾何中空間角的求解[J].高中數(shù)理化，2021（23）：13-15.