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    多法齊聚顯神通 同題類比現(xiàn)真知
    ——談2023年福建省檢第21題的一題多解以及拓展延伸

    2024-05-07 07:43:48
    數(shù)理化解題研究 2024年10期
    關鍵詞:二次曲線中點斜率

    唐 洵

    (福建省福清第三中學,福建 福清 350000)

    近年來,高考中的解析幾何解答題,除了常規(guī)的聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程外,還蘊含著一些其他的方法,如平移齊次化、二次曲線系、坐標轉化、定比點差法等.本文以一道質檢試題為例,談談這些方法的使用,并通過挖掘背景,得到一個更為普遍的結論.

    1 題目呈現(xiàn)

    題1(福建省2023屆高中畢業(yè)班適應性練習21)已知圓A1:(x+1)2+y2=16,直線l1過點A2(1,0)且與圓A1交于點B,C,BC中點為D,過A2C中點E且平行于A1D的直線交A1C于點P,記點P的軌跡為Γ.

    (1)求Γ的方程;

    (2)坐標原點O關于A1,A2的對稱點分別為B1,B2,點A1,A2關于直線y=x的對稱點分別為C1,C2,過點A1的直線l2與Γ交于M,N兩點,直線B1M,B2N相交于點Q.請從下列結論中,選擇一個正確的結論并給予證明.

    ①△QB1C1的面積是定值;

    ②△QB1B2的面積是定值;

    ③△QC1C2的面積是定值.

    2 解法探究

    2.1 第(1)問解析

    解析(1)作出圖形如圖1所示,由題意,得A1(-1,0),A2(1,0).

    圖1 第(1)問圖形

    因為D為BC中點,

    所以A1D⊥BC,即A1D⊥A2C.

    又PE∥A1D,所以PE⊥A2C.

    又E為A2C的中點,所以|PA2|=|PC|.

    所以|PA1|+|PA2|=|PA1|+|PC|=|A1C|=4>|A1A2|.

    所以點P的軌跡Γ是以A1,A2為焦點的橢圓(左、右頂點除外).

    注由于第(1)問較為簡單,僅給出參考答案如上.在求解第(2)問之前,先作圖2如下.

    圖2 第(2)問圖形

    2.2 第(2)問解析

    結論③正確.下證:ΔQC1C2的面積是定值.

    依題意,B1(-2,0),B2(2,0),C1(0,-1),C2(0,1).

    則x0=-4.

    故點Q在直線x=-4上[2].

    所以點Q到C1C2的距離d=4.

    (3m2+4)y2-6my-9=0,

    Δ=36m2+36(3m2+4)=144(1+m2)>0.

    設M(x1,y1),N(x2,y2),其中x1≠±2,x2≠±2,

    其中-3(y1+y2)=2my1y2.

    故點Q在直線x=-4上.

    所以點Q到C1C2的距離d=4.

    想法2:

    解得xQ=-4.

    故點Q在直線x=-4上.

    所以點Q到C1C2的距離d=4.

    解法3(平移齊次化)設Q(x0,y0),

    直線MN:x+my+1=0(m≠0),

    將橢圓C的方程向右平移兩個單位后得到

    即3x2-12x+4y2=0.

    而直線MN的方程向右平移兩個單位后得到x+my=1,則3x2-12x(x+my)+4y2=0.

    故kB1M,kB1N可以看作是上述方程的兩根,則

    解得x0=-4.

    故點Q在直線x=-4上.

    所以點Q到C1C2的距離d=4[3].

    解法4(斜率雙用)設Q(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),直線B1Q的斜率

    直線B2Q的斜率

    x2y1-2y1=λx1y2+2λy2.

    由橢圓的第三定義可知,

    將①代入④,得

    將②代入⑤,得

    整理,得x1y2-2y2=λx2y1+2λy1.

    ③-⑧,得

    (λ+1)(x2y1-x1y2)=(2λ-2)(y2-y1).

    即x2y1-x1y2=y2-y1.

    所以點Q到C1C2的距離d=4.

    整理,得x1-λx2=4λ-4.

    而x1+λx2=-1-λ,

    兩式相除,得

    解得x0=-4,故點Q在直線x=-4上.

    所以點Q到C1C2的距離d=4.

    解法6(二次曲線系)設直線B1M:k1x-y+2k1=0,直線B2N:k2x-y-2k2=0,直線B1B2:y=0,直線MN:x-my+1=0,則過M,N,B1,B2四點的二次曲線系方程為(k1x-y+2k1)(k2x-y-2k2)+λy(x-my+1)=0.

    兩式相減,得x=-4.

    故點Q在直線x=-4上.

    所以點Q到C1C2的距離d=4.

    3 拓展延伸

    (1)求橢圓E的方程;

    (2)證明:直線CD過定點.

    通過對比不難發(fā)現(xiàn),題1與題2有著異曲同工之妙,綜合兩個問題,我們可以得到如下結論:

    證明設直線AM:k1x-y+ak1=0,直線BN:k2x-y-ak2=0,直線B1B2:y=0,直線MN:x-my-t=0,則過M,N,B1,B2四點的二次曲線系方程為(k1x-y+ak1)(k2x-y-ak2)+λy(x-my-t)=0.

    結論2,3,4的證明與結論1類似,這里不再贅述.對于焦點在y軸上的橢圓和雙曲線也有類似結論,有興趣的讀者可以自行歸納整理.

    進一步剖析結論的背景,可以看出兩個問題出自“極點極線定理”:

    4 結束語

    因此,在求解解析幾何的問題時,若是能夠洞悉試題的背景,在解題的過程中必能高瞻遠矚,在教學的過程中必能游刃有余.教師要善于挖掘試題背后的結論,進而深入淺出.

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