一種加加速度連續(xù)平滑的新型柔性加減速控制算法

王樹峰，孟新宇，杜毅龍

(沈陽工業(yè)大學機械工程學院，遼寧沈陽 110870)

0 前言

加減速控制算法是實現(xiàn)數(shù)控機床運動控制功能的關(guān)鍵技術(shù)之一，它不僅能夠影響數(shù)控機床的加工精度，還會對加工效率產(chǎn)生重要影響，因此在數(shù)控加工領域，加減速控制技術(shù)顯得尤為重要。

作為數(shù)控機床的重要組成部分，未進行路徑規(guī)劃之前，通過CAD/CAM等制圖軟件生成原始的路徑數(shù)據(jù)，此時的路徑為連續(xù)微小線段[1]，而目前應用較多的指數(shù)、梯形加減速算法在加工微小線段時加速度會產(chǎn)生突變，從而影響加工的穩(wěn)定性。傳統(tǒng)7段S形曲線算法的加加速度存在突變，因此會引起較大的振動[2-4]，影響加工的精度與平穩(wěn)性。盡管多項式加減速算法可以確保加速度持續(xù)變化，但其計算過程相當繁瑣[5-7]。游達章等[8]提出一種改進的四次S曲線加減速算法，該算法雖然能降低加工過程中的柔性沖擊，延長電機的壽命，但程序復雜，不易實現(xiàn)。潘海鴻等[9]基于S形曲線規(guī)劃出17種速度曲線類型，但設計過程過于復雜。王旭浩、張華[10]提出一種非對稱S形加減速算法，該算法計算簡單，但加加速度曲線依然無法實現(xiàn)連續(xù)平滑。高偉強等[11]簡化了傳統(tǒng)7段S曲線算法，提出了以五次多項式為基礎的3段S形曲線控制算法，提高了運行效率，但加加速度不平滑，形成軟沖擊。葉蔭民[12]以三角函數(shù)為基礎提出的7段S曲線算法確保加加速度的連續(xù)變化，但參數(shù)較多，算法程序復雜[13-15]，無法保證系統(tǒng)的實時性。

綜上，本文作者提出一種新型具有連續(xù)平滑加加速度的柔性加減速算法。該算法需要滿足數(shù)控加工過程中的穩(wěn)定性要求，其優(yōu)勢通過仿真和實驗測試進行證實。

1 新型柔性加減速算法的構(gòu)建

傳統(tǒng)7段S形加減速算法分段多、計算復雜、加加速度突變。為解決這些問題，文中考慮用一段正弦函數(shù)擬合加速/減速區(qū)間的加加速度函數(shù)，而加速度、速度、位移等函數(shù)方程通過簡單的積分即可以實現(xiàn)。

圖1所示為構(gòu)建的運動控制曲線，由加加速區(qū)間(0,t1)、減加速區(qū)間(t1,t2)、勻速區(qū)間(t2,t3)、加減速區(qū)間(t3,t4)和減減速區(qū)間(t4,t5)組成，各區(qū)間的運行時間滿足Tk=tk-tk-1(k=1,2,3,4,5)。

圖1 新型柔性加減速算法運動曲線

為滿足數(shù)控機床的工作要求，應使運動在起點和終點處的加速度都為零，以實現(xiàn)加工的平穩(wěn)性，因此加加速區(qū)間和減加速區(qū)間時間須相等，即T1=T2，同理可得T4=T5。

根據(jù)圖1可以推導出新型柔性加減速算法的加加速度函數(shù)j(t)的表達式如下：

(1)

式中：jmax為最大加加速度；k1、k2為比例系數(shù)。

對式(1)積分可得到加速度a(t)表達式，如式(2)所示：

(2)

根據(jù)式(2)的積分，可以得出速度v(t)的表達式，如式(3)所示：

v(t)=

(3)

式中：vs、vmax分別為初速度、最大速度。

根據(jù)式(3)的積分可以得出位移s(t)表達式，如式(4)所示：

s(t)=

(4)

式中：s1表示加速段位移。

根據(jù)圖1可以確定加加速度j(t)在t=t1和t=t4時為0，因此，加加速段時間T1和加減速段時間T4應滿足以下公式：

(5)

設加速段時間為Ta，減速段時間為Td，可得：

(6)

以上為構(gòu)造的新型柔性加減速控制曲線，只要確定了T1、T3及T4這3個時間參數(shù)就可以求解整個加減速控制曲線。顯而易見，與傳統(tǒng)的7段S形加減速算法相比，該算法不僅能夠?qū)崿F(xiàn)加加速度曲線的連續(xù)平滑，而且實現(xiàn)過程更加簡單。

2 速度規(guī)劃

數(shù)控機床實際加工過程中線段長度及初末速度是否相等是加減速控制算法中的關(guān)鍵因素。若線段長度較長，機床可達到最大速度vmax；若初末速度相等，則加速區(qū)間曲線和減速區(qū)間曲線對稱。新型柔性加減速算法根據(jù)初末速度是否相等以及加工的線段長度求出T1、T3、T4，然后利用上述公式進行速度規(guī)劃。

2.1 線段長度較長的情況

設線段長度為L，當L較長時，機床可達到最大速度vmax，根據(jù)初末速度是否相等可分為以下2種情況。

(1)初末速度相等

由于加速區(qū)間和減速區(qū)間的運動控制曲線對稱，加速段時間和減速段時間相等，即Ta=Td。由式(6)可得T1=T2=T4=T5=Ta/2。由式(3)可以得到：

(7)

由式(4)可求得加速段位移sa，而減速段位移sd=sa，即：

sa=sd=(vmax+vs)Ta/2

(8)

如果L≥sa+sd，即存在勻速段，其時間根據(jù)式(9)確定：

T3=(L-2sa)/vmax

(9)

由式(7)—(9)求得T1、T3、T4后，規(guī)劃的速度及加速度曲線如圖2所示。

圖2 初末速度相等時規(guī)劃的速度(a)及加速度(b)曲線(較長線段)

(2)初末速度不相等

當初末速度不相等，即vs≠ve時，由式(7)可知，sa≠sd，同時比例系數(shù)k1≠k2，由式(3)可以得到：

(10)

由式(4)可求出加速段位移sa、減速段位移sd分別為

(11)

如果L≥sa+sd，則存在勻速段，其時間根據(jù)式(9)確定：

T3=[L-(sa+sd)]/vmax

(12)

由式(10)—(12)求得T1、T3、T4后，規(guī)劃的速度及加速度曲線如圖3所示。

圖3 初末速度不相等時規(guī)劃的速度(a)及加速度(b)曲線(較長線段)

2.2 線段長度較短的情況

當L

(1)初末速度相等

此時各區(qū)間的時間相等，即T1=T2=T3=T4。由于加速段和減速段的位移各為L的一半，根據(jù)式(7)(8)可得：

(13)

將式(7)中的T1代入式(13)中可得：

(14)

式中：v′max為實際最大速度。

由于式(14)只存在一個未知數(shù)v′max(其余參數(shù)均已知)，可采用牛頓迭代法求解v′max，規(guī)劃的速度及加速度曲線如圖4所示。

圖4 初末速度相等時規(guī)劃的速度(a)及加速度(b)曲線(較短線段)

(2)初末速度不相等

由于不存在勻速段，令L=s′a+s′d(s′a、s′d分別為重新規(guī)劃后加速段和減速段的位移)。s′a、s′d計算公式如下：

(15)

從而有：

(v′max+vs)T1+(v′max+ve)T4=L

(16)

將式(10)中的T1、T4代入式(16)中得：

(17)

式(17)中，由于vs、ve、jmax、L已知，根據(jù)牛頓迭代法得到實際最大速度v′max后即可規(guī)劃出速度及加速度曲線，如圖5所示。

圖5 初末速度不相等時規(guī)劃的速度(a)及加速度(b)曲線(較短線段)

3 仿真與測試

文中提出的算法能否實現(xiàn)加加速度的連續(xù)平滑以及提高機床加工效率，在MATLAB軟件上進行仿真驗證，并與傳統(tǒng)的S形算法進行對比，算法流程如圖6所示。

圖6 算法流程

設定實驗數(shù)據(jù)如下：vs=ve=0、vmax=400 mm/s、L=200 mm，最大加速度等于最大減速度，即amax=dmax=5 000 mm/s2，jmax=5×104mm/s3。2種算法的運動曲線仿真結(jié)果對比如圖7所示。

圖7 兩種算法的運動曲線對比

由圖7可知：相比傳統(tǒng)的S形算法，文中提出的算法加加速度曲線連續(xù)平滑，能夠減小機床加工過程中的振動，提高穩(wěn)定性。

為進一步驗證文中提出算法的可行性和有效性，采用圖8所示的基于兩正交軸的HIWIN運動實驗平臺，由運動平臺、計算機、驅(qū)動器、電壓轉(zhuǎn)換器等組成，在計算機上利用C++編程實現(xiàn)控制算法。

圖8 HIWIN運動實驗平臺

對長度在100～200 mm之間的微小線段進行實驗驗證，從運行時間上對2種算法進行對比，結(jié)果如表1所示。

表1 運行時間對比

由表1可知：文中提出的算法相比傳統(tǒng)S形算法效率提升了6%以上，因此文中算法更適用于數(shù)控機床的連續(xù)微小線段加工。

4 結(jié)論

針對數(shù)控機床加工微小線段時由于加加速度突變引起的振動所帶來的穩(wěn)定性和效率降低等問題，文中提出了一種新型柔性加減速控制算法，推導出其運動曲線方程，該算法分為3個運動時間段，簡化了參數(shù)，提高了計算效率。實驗結(jié)果表明：該算法不僅能夠滿足數(shù)控機床加工過程中柔性加減速控制的要求，而且實現(xiàn)了加加速度的連續(xù)平滑，有效降低了機床的振動沖擊，與傳統(tǒng)S形加減速算法相比，能夠顯著提升數(shù)控機床加工過程的穩(wěn)定性和加工效率。