均勻帶電的無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線電勢(shì)問(wèn)題的正規(guī)化處理

高向東　王雯宇　曾定方

摘 要 若在基礎(chǔ)物理課程的教學(xué)中合理融入現(xiàn)代物理學(xué)研究的概念與方法，則可使學(xué)生更好地理解所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值，從而為更高水平的教學(xué)和研究作準(zhǔn)備。本文以均勻帶電無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線電勢(shì)的計(jì)算為例，探討了如何在本科二年級(jí)的電動(dòng)力學(xué)課程教學(xué)中引入和滲透現(xiàn)代量子場(chǎng)論的一些概念和方法。具體內(nèi)容包括良好的數(shù)學(xué)定義與病態(tài)的數(shù)學(xué)定義、發(fā)散積分的正規(guī)化、物理量與非物理量等。本文試圖以較為淺顯的方式來(lái)講明這些對(duì)于本科生來(lái)說(shuō)太過(guò)抽象的物理與數(shù)學(xué)概念，以幫助學(xué)生在未來(lái)學(xué)習(xí)量子場(chǎng)論等現(xiàn)代物理內(nèi)容時(shí)更輕松自然地理解并使用其中的思想與方法，并對(duì)數(shù)學(xué)與物理中一些一般性的相關(guān)問(wèn)題有更好的理解。

關(guān)鍵詞 電動(dòng)力學(xué);教學(xué)案例;發(fā)散積分;正規(guī)化

0 引言

為學(xué)生未來(lái)進(jìn)行前沿物理學(xué)研究以及工業(yè)實(shí)踐提供理論與技術(shù)基礎(chǔ)是物理學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課的重要教學(xué)目標(biāo)，但伴隨著基礎(chǔ)理論與應(yīng)用技術(shù)的快速發(fā)展以及學(xué)生就業(yè)前景的多樣化趨勢(shì)，當(dāng)前物理類專業(yè)基礎(chǔ)的本科教學(xué)與實(shí)際科研活動(dòng)產(chǎn)生了相當(dāng)大的距離。本科專業(yè)基礎(chǔ)課越來(lái)越多地轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)與工業(yè)實(shí)踐基礎(chǔ)知識(shí)的通識(shí)課，前沿理論與技術(shù)很難直接體現(xiàn)在本科生教學(xué)中。在這種背景下，在教學(xué)中融入現(xiàn)代前沿物理的概念與方法變得尤為可貴，這一方面能使學(xué)生在未來(lái)接觸這些概念與方法時(shí)不會(huì)感覺(jué)過(guò)分突兀，另一方面也能深化學(xué)生對(duì)物理學(xué)的認(rèn)知。

基于這種理念，我們?cè)诒疚闹幸砸粋€(gè)簡(jiǎn)單的例子，即電動(dòng)力學(xué)課程中的“均勻帶電無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線的電勢(shì)”為例，展示如何在教學(xué)中把“物理量與非物理量”“良好的數(shù)學(xué)定義”“發(fā)散的正規(guī)化”等重要物理概念和解決問(wèn)題的方法講明白。這些概念和方法對(duì)物理學(xué)學(xué)生，特別是將來(lái)準(zhǔn)備從事理論物理研究的學(xué)生，理解后續(xù)量子場(chǎng)論課程中的正規(guī)化重整化等概念以及理論探索研究有一定技術(shù)鋪墊意義。

本文在結(jié)構(gòu)上作以下安排：首先我們將指出流行教科書(shū)在求解這個(gè)問(wèn)題時(shí)的不足之處。在第2節(jié)中我們將以網(wǎng)絡(luò)上的常見(jiàn)問(wèn)題“0.9 ? 是否等于1”為例解釋良好與病態(tài)數(shù)學(xué)定義，并以此澄清部分教科書(shū)在這一問(wèn)題上的病態(tài)數(shù)學(xué)定義問(wèn)題。第3節(jié)將給出三種不同的發(fā)散積分的“良好數(shù)學(xué)定義”，即正規(guī)化方法，并分別求出均勻帶電無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線的電勢(shì);然后我們分析正規(guī)化方案與物理結(jié)果之間的關(guān)系，幫助學(xué)生理解物理量與非物理量的概念區(qū)別;最后是全文總結(jié)。

1 均勻帶電無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線的電勢(shì)

本文主要要討論的是電動(dòng)力學(xué)中一道看似簡(jiǎn)單的習(xí)題（由于習(xí)題很簡(jiǎn)單，這里就不畫(huà)圖說(shuō)明了）：

截面積可忽略的無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線上均勻帶電，線電荷密度為τ，試求空間中電勢(shì)分布。