借助幾何畫板 滲透模型意識(shí)

孟繁晶 徐澤能

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：數(shù)學(xué)模型意識(shí)是小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要內(nèi)容之一，模型意識(shí)主要是指“對(duì)數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟”，模型意識(shí)的主要表現(xiàn)是“知道數(shù)學(xué)模型可以用來(lái)解決一類問(wèn)題，是數(shù)學(xué)運(yùn)用的基本途徑；能夠認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中大量的問(wèn)題都與數(shù)學(xué)有關(guān)”。

“幾何畫板”是一套用于數(shù)學(xué)教學(xué)的軟件，是數(shù)學(xué)教師用于數(shù)學(xué)教學(xué)的“利器”。隨著“雙減”政策的進(jìn)一步落實(shí)，減負(fù)提質(zhì)工作更是重中之重?！皫缀萎嫲濉笨梢暬虒W(xué)的實(shí)踐與研究，化繁為簡(jiǎn)，化抽象為生動(dòng)，以生動(dòng)的案例激發(fā)了學(xué)生對(duì)幾何的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展圖形與幾何問(wèn)題解決的模型意識(shí)，極大地提高了課堂學(xué)習(xí)效率。在教學(xué)圖形與幾何內(nèi)容時(shí)，部分學(xué)生仍然感覺(jué)到學(xué)習(xí)幾何非常困難，教學(xué)實(shí)踐表明學(xué)生所缺乏的正是實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)，動(dòng)手能力偏弱，觀察能力不強(qiáng)，“幾何畫板”可視化教學(xué)正是可以讓學(xué)生參與其中，還原體驗(yàn)。

一、借助操作活動(dòng)，展現(xiàn)知識(shí)發(fā)生過(guò)程，初識(shí)等長(zhǎng)變形模型

“幾何畫板”作圖原理就是大家十分熟悉的“尺規(guī)作圖”，經(jīng)它繪制出的幾何圖形，即使圖形的位置和形狀發(fā)生了變化，但圖形原有的幾何性質(zhì)不會(huì)發(fā)生改變，這或許是它又被譽(yù)為“動(dòng)態(tài)幾何”的真正緣故?！皫缀萎嫲濉焙瘮?shù)圖象（兩個(gè)變量）的繪制和測(cè)量功能，能直觀地展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想，將運(yùn)動(dòng)中的圖形的性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系展現(xiàn)得淋漓盡致。通過(guò)對(duì)動(dòng)態(tài)圖形測(cè)量數(shù)據(jù)的分析和研究，有利于發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)和規(guī)律。而對(duì)動(dòng)態(tài)圖形的測(cè)量又能對(duì)已有的猜想和結(jié)論加以驗(yàn)證，較好地展現(xiàn)了知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，為師生創(chuàng)設(shè)了一個(gè)具有探究功能的實(shí)驗(yàn)環(huán)境。

案例1：把一個(gè)長(zhǎng)方形拉成一個(gè)平行四邊形，它的周長(zhǎng)和面積會(huì)發(fā)生變化嗎？

師：在拉的過(guò)程中，到底有哪些量在發(fā)生變化呢？

生1：長(zhǎng)還是寬呢？

生2：借助學(xué)具拉動(dòng)，發(fā)現(xiàn)周長(zhǎng)并沒(méi)有發(fā)生變化。

生3：雖然有拉動(dòng)，但是面積大小變化不太明白。

師：拖動(dòng)圖1的幾何畫板。

生：長(zhǎng)沒(méi)有發(fā)生變化，寬看不出來(lái)是否變化。

師：顯示以C為圓心，寬為半徑的圓，如圖2。

生：圓的半徑不變，長(zhǎng)和寬都沒(méi)發(fā)生變化，所以周長(zhǎng)不變。

師追問(wèn)：面積有變化嗎？說(shuō)說(shuō)你的想法？

生1：面積變小了，因?yàn)榈资情L(zhǎng)方形的長(zhǎng)，高變小了。

生2：變成平行四邊形之后，可以把平行四邊形通過(guò)割補(bǔ)，轉(zhuǎn)化為直角梯形和直角三角形的和，得到一個(gè)新的長(zhǎng)方形，比原長(zhǎng)方形少出上方空白處長(zhǎng)方形的面積。

評(píng)析：等長(zhǎng)變形，長(zhǎng)方形拉成平行四邊形周長(zhǎng)和面積的變化是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，讓學(xué)生先經(jīng)歷猜想、操作，再運(yùn)用幾何畫板驗(yàn)證，直觀地解釋為什么長(zhǎng)方形拉成平行四邊形，周長(zhǎng)是沒(méi)有發(fā)生變化，而面積的變化通過(guò)割補(bǔ)的方式可以看出是變小的，圖2利用圓的半徑來(lái)解釋長(zhǎng)、寬，學(xué)生在這個(gè)階段還沒(méi)有學(xué)過(guò)圓的半徑等內(nèi)容，可作為拓展內(nèi)容讓學(xué)生了解。利用幾何畫板還原體驗(yàn)，讓學(xué)生在直觀中建立模型意識(shí)，化靜為動(dòng)，動(dòng)中取靜，將數(shù)學(xué)問(wèn)題趣味化、多元化。

二、借助猜想驗(yàn)證，把握變與不變，滲透等積變形模型

等積變形是指在圖形或者是形狀發(fā)生改變的時(shí)候，這個(gè)變形過(guò)程中的面積不發(fā)生變化。在教學(xué)過(guò)程中，借助猜想驗(yàn)證，能讓學(xué)生在變與不變的全面把握中滲透等積變形模型。

案例2：圖3中兩條平行線之間平行四邊形的關(guān)系？

師：從圖中你能了解哪些數(shù)學(xué)信息？

生1：三個(gè)平行四邊形的面積相等，但是周長(zhǎng)不同。

生2：因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣e與底和高有關(guān)，這三個(gè)平行四邊形的底是相等的，又因?yàn)槭窃谄叫芯€之間，所以單個(gè)平行四邊形的高是相等的，所以這三個(gè)平行四邊形的面積相等。

生3：為什么周長(zhǎng)不同？

生4：因?yàn)樗麄冸m然其中一組邊長(zhǎng)度相等，但是另一組邊的長(zhǎng)度是不斷變化的，所以周長(zhǎng)不同！

生5：老師，如果有具體的數(shù)據(jù)我們可以算一下？

師：表?yè)P(yáng)同學(xué)們善于利用所學(xué)的知識(shí)解決問(wèn)題。（給出相關(guān)的數(shù)據(jù)）

生1：經(jīng)過(guò)計(jì)算這三個(gè)平行四邊形的面積確實(shí)相等，并且周長(zhǎng)不同，如有平行線之間還有其他的平行四邊形，那它們的關(guān)系又是什么呢？

生2：面積還是相等的，但是周長(zhǎng)不同，因?yàn)橹灰瞧叫芯€之間的平行四邊形高都相同，只要它們的底相等，那么它們的面積就相等，其實(shí)就是等底等高的平行四邊形，面積相等！

師：讓我們一起來(lái)驗(yàn)證一下同學(xué)們的猜想。（拉動(dòng)其中一個(gè)平行四邊形，幾何畫板會(huì)顯示面積和周長(zhǎng)的數(shù)據(jù)，從而驗(yàn)證同學(xué)們的猜想）

生：面積相等，形狀不同。

師：這在我們數(shù)學(xué)中叫做“等積變形”。請(qǐng)同學(xué)們還有什么問(wèn)題？

生：那兩條平行線之間的三角形，它們的關(guān)系又是什么？（生畫圖）

師：在幾何畫板上進(jìn)行，如圖4。

生：因?yàn)槿切蚊娣e是底乘高，這三個(gè)三角形的底相等，因?yàn)樵趦蓷l平行線之間，所以相等的底對(duì)應(yīng)的高也是相等的，等底等高，所以這三個(gè)三角形的面積相等，但是周長(zhǎng)不相等。

師：同學(xué)們能從平行四邊形聯(lián)想到三角形，從一個(gè)問(wèn)題聯(lián)系到一類問(wèn)題。

學(xué)生進(jìn)一步根據(jù)數(shù)據(jù)驗(yàn)證猜想，教師用幾何畫板進(jìn)行展示驗(yàn)證學(xué)生猜想。

評(píng)析：學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入更深層次的遷移類推，等底等高的平行四邊形面積相等，這個(gè)模型同樣適用于三角形等圖形中，讓知識(shí)、方法和思維結(jié)構(gòu)化、可視化，不斷深化對(duì)相關(guān)模型的滲透。

三、借助化繁為簡(jiǎn)，放手自主探究，拓展等積變形模型

弗蘭登塔爾曾說(shuō)過(guò)：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)教給學(xué)生充滿著聯(lián)系的數(shù)學(xué)，只有進(jìn)行鏈接和溝通，才能把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)。也有的學(xué)者指出，化繁為簡(jiǎn)，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最有效的策略。教學(xué)中要借助化繁為簡(jiǎn)，給予學(xué)生自主探究的時(shí)間和空間，從中拓展等積變形模型。

案例3：大正方形的邊長(zhǎng)是3厘米，小正方形的邊長(zhǎng)是2厘米。怎么求出圖6中陰影部分的面積？

生：老師，這個(gè)題目是不是缺少條件呢？陰影部分是三角形，需要知道底和高。

師：想一想可以運(yùn)用我們之前學(xué)習(xí)的哪些模型解決這個(gè)問(wèn)題呢？

生1：我們可以利用割補(bǔ)法，然后平移。

生2：我們還可以利用之前講過(guò)的平行線之間的距離都是相等的，然后對(duì)三角形進(jìn)行變形。首先利用正方形的對(duì)角線畫出平行線IK∥GE，拖動(dòng)三角形在平行線上的點(diǎn)，變形為圖7（1），其實(shí)就是大正方形面積的一半。

生：那無(wú)論在平行線上的點(diǎn)怎么移動(dòng)，圖7（1）、圖7（2）和圖7（3）的面積都是相等的。

師：像這樣的題目生活中還有很多，我們要善于去觀察，尋找共同點(diǎn)。在原來(lái)的基礎(chǔ)進(jìn)行拓展。

評(píng)析：等積變形比較適合計(jì)算一些較復(fù)雜的、較難的平面圖形的面積，有時(shí)計(jì)算陰影部分面積會(huì)缺乏一些信息和條件，但能在圖中找到和它等積的圖形，若能算出與它等積的圖形面積，即可求出陰影部分的面積?；睘楹?jiǎn)，學(xué)生在自主探究中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，溝通一個(gè)問(wèn)題和一類問(wèn)題的聯(lián)系，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這是模型意識(shí)不斷發(fā)展的過(guò)程。

四、借助作業(yè)設(shè)計(jì)，探究知識(shí)本質(zhì)，運(yùn)用等積變形模型

為了讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)等積變形在生活中的運(yùn)用和在數(shù)學(xué)中的價(jià)值設(shè)計(jì)如下的作業(yè)設(shè)計(jì)。

案例4：研究長(zhǎng)方形面積的，設(shè)計(jì)圖案是陰影部分的面積是長(zhǎng)方形面積的。（1）盡量多設(shè)計(jì)幾種不同的方案。（2）看誰(shuí)設(shè)計(jì)的獨(dú)特、新穎。

學(xué)生在學(xué)習(xí)單上進(jìn)行設(shè)計(jì)，教師可利用幾何畫板進(jìn)行操作驗(yàn)證。重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生觀察以下幾幅圖的設(shè)計(jì)。

師：同學(xué)們，這位同學(xué)畫（如圖8）的陰影部分面積是長(zhǎng)方形面積的嗎？

生1：看不懂。

生2：在圖中畫一條線，同學(xué)們就看明白了。（如圖9）

生3：利用之前所學(xué)的平行線中的等積變形，同樣可以解決這一類問(wèn)題。

師：同學(xué)們能多維反思，內(nèi)化并完善所學(xué)知識(shí)，希望能把所學(xué)運(yùn)用到我們生活中的每一個(gè)角落。

評(píng)析：數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)和完善不僅是在課堂教學(xué)中，還應(yīng)該存在于我們開(kāi)放性的作業(yè)中，借助數(shù)學(xué)推理探究知識(shí)本質(zhì)，逐步形成運(yùn)用模型進(jìn)行思維的習(xí)慣，在自主探索中不斷豐富模型的內(nèi)涵和外延。

總之，發(fā)展學(xué)生的模型意識(shí)需要一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，教師要有意識(shí)地將模型思想滲透到日常教學(xué)中，使學(xué)生在知識(shí)形成和運(yùn)用的過(guò)程中逐步形成和發(fā)展模型意識(shí)。借助幾何畫板滲透模型意識(shí)，不僅加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解，同時(shí)促進(jìn)學(xué)生內(nèi)化和豐富數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生形成良好的思維習(xí)慣和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。