一類含有有色噪聲的魯棒非線性擴展狀態(tài)估計*

師衛(wèi)國，朱可欣，董燕飛，祁 林，賀 偉，侯 寧

（河南城建學(xué)院電氣與控制工程學(xué)院，河南 平頂山 467036）

0 引言

狀態(tài)估計問題作為控制和信號處理領(lǐng)域的基礎(chǔ)研究課題之一，在過去幾十年中被學(xué)者們廣泛研究。狀態(tài)估計的主要思想是根據(jù)系統(tǒng)模型和測量輸出信號對給定系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)進行估計，從而實現(xiàn)準確預(yù)測和控制系統(tǒng)。到目前為止，狀態(tài)估計器已在飛機跟蹤、智能電網(wǎng)和生物過程監(jiān)控等領(lǐng)域成功應(yīng)用［1-3］。隨著科技的進步，對于狀態(tài)估計方法和系統(tǒng)噪聲約束的研究取得了新的進展，H∞估計、分布式狀態(tài)估計、滾動時域估計和噪聲處理等方案已得到廣泛研究，并應(yīng)用于工程實驗［4-7］。

近年來，非線性系統(tǒng)因其在理論分析和實際應(yīng)用中的重要性引起人們的廣泛關(guān)注。在大多數(shù)應(yīng)用中，非線性變量的存在使得系統(tǒng)性能難以得到精確的分析和控制，如果處理不當，可能會降低系統(tǒng)性能，甚至導(dǎo)致不穩(wěn)定［8-9］。對非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計，已經(jīng)進行了許多方案研究，例如自適應(yīng)控制、擴展卡爾曼濾波和粒子濾波［10-12］。文獻［13］針對一類具有全狀態(tài)約束和未知時滯的非線性隨機系統(tǒng)，提出了一種自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器。將系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為非線性映射的約束自由系統(tǒng)，補償未知時滯不確定性，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近設(shè)計過程中出現(xiàn)的未知非線性函數(shù)，該方法能夠?qū)崿F(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)信號的最終有界性和全狀態(tài)約束。擴展狀態(tài)觀測器是一類用于不確定非線性系統(tǒng)輸出反饋控制的高增益觀測器，本文提出了一種新的級聯(lián)設(shè)計，將飽和度轉(zhuǎn)變?yōu)閮?nèi)部變量，以限制最大實現(xiàn)增益，相比標準觀測器的輸出，反饋控制具有更強的不確定性估計、補償能力和收斂性［14］。文獻［15］針對一些強的非線性系統(tǒng)，通過將非線性函數(shù)擴展成為系統(tǒng)狀態(tài)，設(shè)置函數(shù)變化率上界，降低非線性干擾對系統(tǒng)的影響，該方法在估計性能方面具有很好的效果。

網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)通過共享的通信通道將系統(tǒng)和控制器連接起來，可以輕松構(gòu)成新的體系結(jié)構(gòu)，同時具有成本優(yōu)勢，因而被廣泛應(yīng)用于交通、醫(yī)療、電力系統(tǒng)等領(lǐng)域［16-18］。然而，當大量系統(tǒng)同時共享一個公共通信通道時，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中的通信容量限制是不可避免的。為了克服這一問題，在過去幾十年中，研究人員對傳輸調(diào)度問題做了許多工作，為網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)設(shè)計了不同種類的傳輸調(diào)度協(xié)議。文獻［19］研究了在網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點間通信帶寬有限，在節(jié)點間交換的信息必須量化的情況下，求解分布式凸優(yōu)化問題的梯度方法。提出了一種改進的基于共識的梯度方法來解決這類問題，研究了系統(tǒng)的收斂性，并給出了收斂速度。文獻［20］采用輪詢協(xié)議周期性地發(fā)送測量數(shù)據(jù)，克服了通信容量的限制。由于調(diào)度協(xié)議改變了測量結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致循環(huán)調(diào)度誘導(dǎo)的周期性擴展狀態(tài)系統(tǒng)不可觀測，本文建立了周期擴展狀態(tài)系統(tǒng)的可觀測性充要條件。文獻［21］設(shè)計了一種動態(tài)事件觸發(fā)器，使控制器只在觸發(fā)時刻解決優(yōu)化問題，觸發(fā)閾值與反饋策略的插值系數(shù)相關(guān)，并通過優(yōu)化確定。利用插值技術(shù)構(gòu)造反饋策略，對原系統(tǒng)約束進行緊化，滿足魯棒約束。

基于上述說明，本文主要研究約束信道下的非線性不確定系統(tǒng)的狀態(tài)估計問題，貢獻如下：

1）創(chuàng)新測量信息逐差法處理有色噪聲的相關(guān)性問題，解決標準卡爾曼濾波無法處理相關(guān)噪聲的難題；

2）通過使用對數(shù)量化器降低通信網(wǎng)絡(luò)的傳輸壓力，利用矩陣不等式消除量化誤差，保證系統(tǒng)的魯棒性；

3）將非線性項作為系統(tǒng)狀態(tài)，構(gòu)造擴展狀態(tài)系統(tǒng)，設(shè)計擴展狀態(tài)估計器。通過Young’s 不等式求解先驗估計誤差協(xié)方差上界和估計誤差協(xié)方差上界，在此基礎(chǔ)上優(yōu)化估計器增益。此方法處理非線性更加簡單，針對強非線性系統(tǒng)仍然具有良好的估計效果。

1 問題描述

1.1 系統(tǒng)模型

文中，考慮如下的非線性時變系統(tǒng)：

1.2 有色噪聲

有色噪聲vk滿足下列條件：

假設(shè)1 噪聲ωk和uk為互不相關(guān)的白噪聲，滿足：

其中，δkj為Kronecker 函數(shù)：

1.3 非線性擾動

1.4 量化測量

為了降低通信通道的傳輸壓力，本文采用對數(shù)量化器對測量信息進行處理，對數(shù)量化器的量化集合為：

其中，0＜ρj＜1 為量化密度，u0為初始向量，n 為量化級數(shù)。

同時，測量方程滿足的下列映射關(guān)系：

根據(jù)對數(shù)量化器的定義，測量信息可以表示為：

引理3 給定實數(shù)矩陣B，X，等式滿足下列特點［24］：

2 魯棒擴展狀態(tài)估計器設(shè)計

在進行魯棒擴展狀態(tài)估計器設(shè)計之前，先對系統(tǒng)作出下列假設(shè)：

假設(shè)4 非線性函數(shù)的變化率gi（xk）滿足：

根據(jù)卡爾曼濾波的定義，結(jié)合系統(tǒng)測量方程，分別給出先驗估計值、后驗估計值、先驗估計誤差協(xié)方差和后驗估計誤差協(xié)方差的定義：

結(jié)合定義和系統(tǒng)的測量信息，魯棒擴展狀態(tài)估計器可以設(shè)計為：

其中，Kk+1表示狀態(tài)估計器增益。

以上工作內(nèi)容為接下來魯棒擴展狀態(tài)估計器設(shè)計做了很好的鋪墊，在估計器設(shè)計過程中，計算增益矩陣Kk和誤差協(xié)方差上界是非常重要的環(huán)節(jié)，接下來的主要任務(wù)便是通過分析和計算估計誤差協(xié)方差，得到這些參數(shù)，完成狀態(tài)估計器設(shè)計。

其中，

Step 1 解決式（19）中的交叉項，采用引理1，得到下列不等式：

然后，將式（24）和式（25）的結(jié)果代入式（19），下列等式成立：

Step 2 首先利用引理1 解決式（20）中的交叉項，再采用引理2 處理量化誤差。

接下來，采用引理2 處理對數(shù)量化器造成的量化誤差：

將以上結(jié)果代入式（20），可以得到下列不等式：

其中，

其中，

至此，定理1 證明完畢。

定理2 利用定理1 計算的結(jié)果，計算增益矩陣Kk+1的更新方程為：

證明

至此，定理2 證明完畢。

3 仿真實驗

在本章中，通過仿真數(shù)例來驗證所設(shè)計的魯棒擴展狀態(tài)估計方案的有效性。

3.1 系統(tǒng)說明

案例選取的非線性函數(shù)如下：

系統(tǒng)矩陣選?。?/p>

估計器參數(shù)選?。?/p>

3.2 仿真方案

接下來，將通過6 個仿真方案，對設(shè)計的估計器性能進行對比分析，充分論證魯棒非線性時變擴展狀態(tài)估計算法的合理性和有效性。

方案1：根據(jù)非線性時不變系統(tǒng)，設(shè)計魯棒非線性狀態(tài)估計器，系統(tǒng)參數(shù)選取如下：

方案2：根據(jù)非線性時變系統(tǒng)，利用對數(shù)量化器處理測量信息，設(shè)計魯棒非線性擴展狀態(tài)估計算法，量化密度為ρ=0.5，初始向量u0=100。

然后利用控制變量法，對比魯棒非線性擴展狀態(tài)估計器性能，具體方案如下：

方案3：量化密度為ρ=0.3，初始向量u0=100；

方案4：量化密度為ρ=0.9，初始向量u0=100。

方案5：量化密度為ρ=0.5，初始向量u0=100；

方案6：量化密度為ρ=0.5，初始向量u0=10。

為了驗證本次估計算法對非線性系統(tǒng)的一定普適性，特給出方案7 進行說明，采用的非線性函數(shù)如下：

3.3 仿真效果

圖1 狀態(tài)x1，k 的實際值和估計值（方案1）Fig.1 Actual and estimated values of state x1，k（Scheme 1）

圖2 狀態(tài)x2，k 的實際值和估計值（方案1）Fig.2 Actual and estimated values of state x2，k（Scheme 1）

圖3 估計誤差協(xié)方差及其上界（方案1）Fig.3 Estimation error covariance and its upper bound（Scheme 1）

從圖4 ～圖7 可以看出，方案2 設(shè)計的估計算法具有良好的估計效果，由于是基于非線性時變系統(tǒng)進行設(shè)計，其工程價值明顯高于時不變系統(tǒng)。對比方案1，在估計誤差協(xié)方差方面，時變系統(tǒng)的波動性和數(shù)值均大于時不變系統(tǒng)，這是系統(tǒng)本身存在的差異，同樣表明了估計器設(shè)計的合理性。

圖4 狀態(tài)x1，k 的實際值和估計值（方案2）Fig.4 Actual and estimated values of state x1，k（Scheme 2）

圖5 狀態(tài)x2，k 的實際值和估計值（方案2）Fig.5 Actual and estimated values of state x2，k（Scheme 2）

圖6 估計誤差協(xié)方差及其上界（方案2）Fig.6 Estimation error covariance and its upper bound（Scheme 2）

圖7 參數(shù)θk 的變化情況（方案2）Fig.7 Variation of parameter θk（Scheme 2）

從圖8～圖11 可以得到，在方案3 和方案4 的估計效果對比中，量化密度小的估計誤差大于量化密度大的估計誤差，充分說明量化密度對于系統(tǒng)性能的影響。從圖11 的估計誤差協(xié)方差可以清晰地看出，量化密度大的估計誤差協(xié)方差更小，性能更優(yōu)。

圖8 狀態(tài)x1，k 的實際值和估計值（方案3 和方案4）Fig.8 Actual and estimated values of state x1，k（Scheme 3 and Scheme 4）

圖9 狀態(tài)x2，k 的實際值和估計值（方案3 和方案4）Fig.9 Actual and estimated values of state x2，k（Scheme 3 and Scheme 4）

圖10 狀態(tài)x3，k 的實際值和估計值（方案3 和方案4）Fig.10 Actual and estimated values of state x3，k（Scheme 3 and Scheme 4）

圖11 估計誤差協(xié)方差及其上界（方案3 和方案4）Fig.11 Estimation error covariance and its upper bound（Scheme 3 and Scheme 4）

通過圖12～圖15 的對比，可以看出初始向量對估計算法的影響不大。兩種方案中，方案5 的初始向量較大，在估計狀態(tài)、估計誤差和協(xié)方差方面的值還是小于方案6，說明初始向量可以影響性能，且相對較大性能更好。

圖12 狀態(tài)x1，k 的實際值和估計值（方案5 和方案6）Fig.12 Actual and estimated values of state x1，k（Scheme 5 and Scheme 6）

圖13 狀態(tài)x2，k 的實際值和估計值（方案5 和方案6）Fig.13 Actual and estimated values of state x2，k（Scheme 5 and Scheme 6）

圖14 狀態(tài)x3，k 的實際值和估計值（方案5 和方案6）Fig.14 Actual and estimated values of state x3，k（Scheme 5 and Scheme 6）

圖15 估計誤差協(xié)方差及其上界（方案5 和方案6）Fig.15 Estimation error covariance and its upper bound（Scheme 5 and Scheme 6）

通過圖16～圖19 可以得到，算法針對不同的非線性系統(tǒng)同樣具有不錯的估計效果。系統(tǒng)的各個狀態(tài)均能夠被跟蹤，同時估計誤差協(xié)方差具有穩(wěn)定上界，說明所設(shè)計的估計器具備一定普適性和合理性。

圖16 狀態(tài)x1，k 的實際值和估計值（方案7）Fig.16 Actual and estimated values of state x1，k（Scheme 7）

圖17 狀態(tài)x2，k 的實際值和估計值（方案7）Fig.17 Actual and estimated values of state x2，k（Scheme 7）

圖18 狀態(tài)x3，k 的實際值和估計值（方案7）Fig.18 Actual and estimated values of state x3，k（Scheme 7）

圖19 估計誤差協(xié)方差及其上界（方案7）Fig.19 Estimation error covariance and its upper bound（Scheme 7）

4 結(jié)論

在本文中，創(chuàng)新地使用擴展狀態(tài)方式處理系統(tǒng)非線性，設(shè)計了能夠處理有色噪聲和帶寬受限的魯棒擴展狀態(tài)估計算法。針對標準卡爾曼濾波無法處理有色噪聲的問題，總結(jié)出了測量信息逐差法；考慮到網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)存在通信受限情況，采用對數(shù)量化器進行信息處理，提高網(wǎng)絡(luò)傳輸安全性；創(chuàng)新非線性系統(tǒng)分析方法，利用擴展狀態(tài)方式進行解決。擴展狀態(tài)卡爾曼濾波在處理強非線性方面具有很好的效果，同時運用非線性變化率的界作為約束條件，降低了非線性系統(tǒng)分析研究的保守性。算法給出了估計誤差協(xié)方差上界的計算方法，實現(xiàn)了增益的實時優(yōu)化。通過仿真實例驗證了所研究算法的合理性、有效性和普適性。