數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)視域下的高考試題評析
——以2023年全國新高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷為例

鄧雯靜

(安徽省臨泉第一中學(xué),安徽 阜陽 236400)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》中指出:數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一,要求學(xué)生能夠在實際情境中運用所學(xué)習(xí)的知識抽象出數(shù)學(xué)問題,結(jié)合邏輯推理、直觀想象的能力建立數(shù)學(xué)模型,并計算求解,最終解決實際問題[1].2023年全國新高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷充分體現(xiàn)了新課標(biāo)對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的要求,從多個角度對數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)進行考查,下面以試題為例進行剖析.

1 數(shù)學(xué)模型在現(xiàn)實情境中的構(gòu)建

2023年全國新高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷部分試題背景素材緊密聯(lián)系社會生活實際.例如,人們越來越重視噪聲污染,高考試題便在這個方面有所體現(xiàn),第10題以燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車三種聲源產(chǎn)生的聲壓為背景材料,將實際問題抽象為構(gòu)建有關(guān)聲壓的數(shù)學(xué)模型,讓學(xué)生初步體會運用數(shù)學(xué)模型解決實際問題.

1.1 現(xiàn)實情境下的函數(shù)模型

表1 不同聲源聲壓級

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10 m處測得實際聲壓分別為p1,p2,p3,則( ).

A.p1≥p2B.p2>10p3

C.p3=100p0D.p1≤100p2

分析本題是在一個社會問題背景下,將聲壓級數(shù)學(xué)模型通過函數(shù)解析式給出,需要學(xué)生在閱讀理解下抓取關(guān)鍵信息,梳理清楚各數(shù)據(jù)之間的關(guān)系,結(jié)合選項合理運用條件中的數(shù)學(xué)模型探究p1,p2,p3之間的關(guān)系,并利用對數(shù)運算性質(zhì)展開計算[2].

解法1根據(jù)題意可知Lp1∈[60,90],Lp2∈[50,60],Lp3=40.

選項A:將對應(yīng)函數(shù)值相減可得

因為Lp2-Lp3=Lp2-40≥10,

解法2根據(jù)題意可得

即p2≤1 000p0≤p1,故A正確.

故選ACD.

1.2 現(xiàn)實情境下的概率模型

例2(2023年全國新高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷第21題)甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規(guī)則如下:若命中則此人繼續(xù)投籃,若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選,第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

(1)求第2次投籃的人是乙的概率;

(2)求第i次投籃的人是甲的概率;

分析本題從投籃實例出發(fā),從題干中分析出概率模型進行求解,需要學(xué)生理解條件概率與全概率公式模型之間的關(guān)系以及兩點分布模型的特點,在遞推的過程中使用數(shù)列模型求解,不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng),還考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力.

解析(1)記“第i次投籃的人是甲”為事件Ai,“第i次投籃的人是乙”為事件Bi,所以

P(B2)=P(A1B2)+P(B1B2)

=P(A1)P(B2|A1)+P(B1)P(B2|B1)

=0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6.

(2)設(shè)P(Ai)=pi,依題可知P(Bi)=1-pi,

則P(Ai+1)=P(AiAi+1)+P(BiAi+1)

=P(Ai)P(Ai+1|Ai)+P(Bi)P(Ai+1|Bi).

=0.4pi+0.2.

構(gòu)造等比數(shù)列 {pi+λ},

(3)設(shè)第i次投籃時甲投籃次數(shù)為Xi,且Xi的可能取值為0或1,Xi服從兩點分布,則P(Xi=1)=pi,P(Xi=0)=1-pi,E(Xi)=pi.

前n次中甲投籃的次數(shù)

Y=X1+X2+X3+…+Xn,

在臺詞“And if I go back.”的翻譯處理中，字幕翻譯為“如果我再回去的話…”，配音翻譯為“如…如果再回去”。再如“Max,it's the end of the line for me.”，其字幕翻譯為“麥克我就再也出不去了”，配音翻譯為“麥克我會死無葬身之地的”。兩例中字幕和配音翻譯采用了不同的策略，為了達(dá)到戲劇效果，相比配音翻譯為了畫面和節(jié)奏上的對應(yīng)，通過臺詞重復(fù)(即結(jié)巴)表演出害怕的效果，后一句的翻譯也隨之發(fā)生了改變，對信息進行了相應(yīng)的調(diào)整，但是卻十分自然和諧，對于劇情發(fā)展和故事的敘述沒有障礙，同樣產(chǎn)生的戲劇效果。

則E(Y)=E(X1+X2+X3+…+Xn)

=p1+p2+p3+…+pn.

所以當(dāng)n∈N*時,

E(Y)=p1+p2+p3+…+pn

2 幾何、代數(shù)模型在數(shù)學(xué)情境中的整合

2023年全國新高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷第16題是在雙曲線、向量、余弦定理公式模型下進行探究求解,更體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型綜合性的運用.

分析根據(jù)雙曲線的概念性質(zhì)、向量運算以及幾何意義得到|AF2|,|BF2|,|BF1|,|AF1|關(guān)于a,m的表達(dá)式,利用勾股定理求得a=m,通過余弦定理得到a,c的齊次方程,從而求得雙曲線離心率.也可依題意設(shè)出各點坐標(biāo),利用向量坐標(biāo)運算求解點A坐標(biāo),將點A代入雙曲線C得到關(guān)于a,b,c的齊次方程,求得離心率.

在Rt△ABF1中,9m2+(2a+2m)2=25m2,

即a=m或a=-3m(舍去).

整理,得5c2=9a2.

3 結(jié)束語

在新課標(biāo)的背景下,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)成為教學(xué)的重點,傳統(tǒng)課堂已經(jīng)滿足不了教學(xué)的需要,因此高中數(shù)學(xué)教師必須轉(zhuǎn)變教學(xué)方式,在課堂中逐漸滲透數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).在教學(xué)中無論是探究初等基本函數(shù),還是向量、立體幾何、圓錐曲線等,都通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,引導(dǎo)學(xué)生探究其性質(zhì)特點,再進一步在實際問題中加以運用.在探究過程中,可以運用信息技術(shù)手段如幾何畫板GeoGebra等,引導(dǎo)學(xué)生小組合作繪制圖象,構(gòu)建模型,充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性,讓學(xué)生在整個分析、構(gòu)建、計算、檢驗、改進、解決的過程中,體會數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用價值.