單排彈性實(shí)心樁對(duì)SH波的散射求解問(wèn)題

劉晶磊 吳浩 張沖沖 曹晉源 李秀欣

摘要：采用波函數(shù)展開(kāi)法結(jié)合格拉夫加法定理分析單排實(shí)心彈性樁的SH波散射問(wèn)題，通過(guò)改變單一變量，分析樁土剪切模量之比、樁體個(gè)數(shù)等因素對(duì)排樁隔振的影響效果，得到如下結(jié)論：當(dāng)無(wú)量綱頻率為低頻和中頻時(shí)，排樁后無(wú)量綱位移曲線在無(wú)限遠(yuǎn)處趨于0，隨著樁體根數(shù)的增加隔振效果逐漸提高；在排樁后0～70a（a為樁徑）范圍內(nèi)無(wú)量綱位移之比變化幅度較大，且不穩(wěn)定，隔振效果較差；當(dāng)樁土剪切模量之比小于500時(shí)，在250a～380a范圍內(nèi)減隔振效果較好；當(dāng)樁土剪切模量之比大于或等于500時(shí)，隔振效果并不會(huì)隨著其增加而大幅增加，即此時(shí)可將樁體認(rèn)為是剛性樁體。當(dāng)無(wú)量綱頻率為中頻時(shí)，在100a～120a范圍內(nèi)隔振效果較好，之后此范圍內(nèi)無(wú)量綱位移之比先驟升后逐漸下降，但當(dāng)無(wú)量綱頻率上升為高頻時(shí)，各樁體根數(shù)下排樁隔振效果相差不大，且會(huì)在距離排樁更近處就已經(jīng)達(dá)到很好的隔振效果。

關(guān)鍵詞：波函數(shù)展開(kāi)法; 格拉夫加法定理; 隔振效果

中圖分類(lèi)號(hào)： TU435????? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A?? 文章編號(hào)： 1000-0844（2024）01-0059-07

DOI：10.20000/j.1000-0844.20220704001

An approach for solving the scattering of SH waves by elastic solid piles in one row

Abstract：?The scattering issue of shear horizontal （SH） waves from solid elastic piles in a single row was analyzed using the wave function expansion technique and Graf's addition theorem. By changing a single variable， we analyzed the effects of the pile-soil shear modulus ratio and the number of piles on the vibration isolation capabilities of row piles. Our results show that when dimensionless frequency is low to medium， the dimensionless displacement curve beyond the row piles tends to zero at infinity. As the number of piles increases， the vibration isolation effect also gradually improves. However， the ratio of dimensionless displacement changes greatly in the range of 0-70a following the piles， leading to unstable and poor vibration isolation performance. When the pile-soil shear modulus ratio is less than 500， the vibration isolation effect within the range of 250a-380a proves to be satisfactory. Conversely， when the pile-soil shear modulus ratio is equal to or exceeds 500， there is no substantial increase in the vibration isolation effect. This suggests that the pile can be regarded as a rigid pile at this time. In instances of medium dimensionless frequency， the vibration isolation effect performs well within the 100a-120a range. The ratio of dimensionless displacement in this range experiences a sudden increase before gradually decreasing. However， as the dimensionless frequency escalates to high frequencies， the vibration isolation effect shows minor variation with different numbers and exhibits good performance close to the row piles.

Keywords：wave function expansion method; Graf's addition theorem; vibration isolation effect

0 引言

列車(chē)運(yùn)行引起振動(dòng)造成的危害不僅會(huì)給社會(huì)發(fā)展造成嚴(yán)重的經(jīng)濟(jì)損失，還會(huì)使人產(chǎn)生一系列心理和生理的健康問(wèn)題。因此，減弱或者消除振動(dòng)造成的影響成為亟待解決的問(wèn)題。目前，被動(dòng)隔振領(lǐng)域具有較多的研究成果，其中連續(xù)型隔振屏障，例如空溝、填充溝、地下連續(xù)墻等隔振措施在實(shí)際工程中應(yīng)用較廣泛。非連續(xù)型隔振屏障，例如單排樁、多排樁等隔振措施因?yàn)槭┕こ杀据^高，導(dǎo)致其應(yīng)用發(fā)展受到了限制。但由于非連續(xù)型隔振屏障具有簡(jiǎn)便、維護(hù)成本較低，且能夠應(yīng)用于地質(zhì)條件較差的地區(qū)，在加強(qiáng)地基承載力的同時(shí)能夠保持自身強(qiáng)度，因此非連續(xù)型隔振屏障仍有其研究?jī)r(jià)值。

振動(dòng)波的散射作用在非連續(xù)型隔振屏障的隔振機(jī)理中起著決定性作用，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)其展開(kāi)了多方面的研究。Avilés等［1］采用波動(dòng)理論，得出了均質(zhì)彈性土體中單排彈性實(shí)心樁屏障對(duì)平面SV波的阻隔效果，以及單排剛性實(shí)心樁屏障對(duì)平面SV波、P波和SH波阻隔效果的精確解。徐平等［2］采用波函數(shù)展開(kāi)法，得到了非連續(xù)彈性圓柱實(shí)心樁屏障對(duì)入射平面P波和SH波散射系數(shù)的理論解。夏唐代等［3］和孫苗苗［4］運(yùn)用多重散射理論，分析任意布置的排樁屏障對(duì)彈性波的散射問(wèn)題并進(jìn)行了解析求解。Pu等［5］采用畢奧特理論和Floquet-Bloch理論簡(jiǎn)化分析樁-土系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)瑞利波衰減的頻率范圍和屏蔽能力分別與理論衰減區(qū)和衰減系數(shù)相吻合。蔡袁強(qiáng)等［6］基于飽和土彈性波動(dòng)方程，考慮土體和水耦合作用的影響，分析了全空間均質(zhì)飽和土中彈性排樁對(duì)入射平面S波的散射問(wèn)題。侯鍵等［7］對(duì)于平面SH波入射下剛性樁隔振屏障的散射問(wèn)題提出多重散射求解法，求得了SH波入射下任意排列、任意半徑固定剛性樁多重散射的精確解。Ren等［8］基于Bornitz方程，提出了層狀均質(zhì)介質(zhì)的衰減模型，并用其估算軟土區(qū)域高等級(jí)公路的典型路基和地基中不同深度的垂直振動(dòng)水平。章敏等［9］研究了雙層非飽和地基中Rayleigh波的傳播特性問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)Rayleigh波波速隨著飽和度的增加呈線性下降趨勢(shì)，對(duì)于上軟下硬地層，上覆層厚度的增加會(huì)導(dǎo)致波速減小，并逐漸趨向于上覆土本身的Rayleigh波速。時(shí)剛等［10］以薄層法（TLM）基本解作為動(dòng)力Green函數(shù)的飽和土半解析邊界元法，有效地分析了飽和半空間的土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用問(wèn)題。陳煒昀等［11］分析了非飽和地基表面不透水（氣）和透水（氣）兩類(lèi)條件下Rayleigh波的彌散特性。劉中憲等［12］運(yùn)用一種高精度的間接邊界積分方程法，對(duì)P波、SV波下二維排樁的隔振效果進(jìn)行了寬頻帶計(jì)算分析。

上述研究多采用單重散射求解排樁散射問(wèn)題，而實(shí)際散射作用是經(jīng)過(guò)無(wú)限重散射綜合得出的結(jié)果。本文采用波函數(shù)展開(kāi)法結(jié)合格拉夫（Graf）加法定理分析單排實(shí)心彈性樁的SH波散射問(wèn)題，將三維矢量波問(wèn)題簡(jiǎn)化為二維標(biāo)量波問(wèn)題，將波函數(shù)按Fourier-Bessel級(jí)數(shù)展開(kāi)，依據(jù)邊界條件求解出級(jí)數(shù)展開(kāi)式中的系數(shù)，最終得到平面直角坐標(biāo)系下的總波場(chǎng)位移公式;通過(guò)改變單一變量，研究樁土剪切模量之比、樁體個(gè)數(shù)兩因素對(duì)排樁隔振的影響效果，并給出實(shí)際工程的參考數(shù)值。

1 公式模型

假設(shè)單排圓柱彈性實(shí)心樁位于各向同性半無(wú)限均質(zhì)彈性地基中，入射SH波的偏振方向與樁軸一致，因此不會(huì)與其他體波（P波、SV波等）中的波傳播和散射問(wèn)題產(chǎn)生耦合效應(yīng)；同時(shí)假定樁身長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于直徑，將繁瑣的三維數(shù)學(xué)散射求解問(wèn)題簡(jiǎn)化為較為簡(jiǎn)單的二維平面問(wèn)題。

設(shè)入射SH波入射角為Ψ，整體直角坐標(biāo)系（x，y）對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)系為（r，θ），排樁沿x軸橫向布置，y軸為樁體排列的法線方向，樁體標(biāo)號(hào)記為j（1≤j≤N），任意樁體j都有獨(dú)立的直角坐標(biāo)系（xj，yj）和極坐標(biāo)系（rj，θj），以樁體圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)Oj，半徑為a，沿x軸等間距排列，樁間距為b。土體材料性質(zhì)由其拉梅常數(shù)λ1、μ1及質(zhì)量密度ρ1確定;樁體材料性質(zhì)由其拉梅常數(shù)λ2、μ2及質(zhì)量密度ρ2確定;土體中相應(yīng)的波速為c1，樁體中相應(yīng)的波速為c2。

如圖1所示，選取一個(gè)樁體單元為研究對(duì)象，設(shè)該樁體為l號(hào)樁體，采用波函數(shù)展開(kāi)法設(shè)立該樁體在（rl，θl）坐標(biāo)系下的散射波場(chǎng)，并應(yīng)用Graf加法定理將其余樁體的散射波場(chǎng)在（rl，θl）坐標(biāo)系下表示，疊加入射波場(chǎng)和所有樁體在土體區(qū)域中的散射波場(chǎng)后，結(jié)合樁體域中的透射波場(chǎng)，根據(jù)樁土位移邊界條件和應(yīng)力求解待定系數(shù)，從而得到單排分布樁體模型的解析結(jié)果。

入射平面SH簡(jiǎn)諧體波應(yīng)當(dāng)滿足Helmholtz方程［13］：

利用樁體的分布特性，l號(hào)樁體的散射波場(chǎng)與1號(hào)樁體的散射波場(chǎng)相位差為exp（ik1d1lcosΨ），滿足上述方程的入射SH波在坐標(biāo)系（xl，yl）下可表示為：

ωinc1（xl，yl）=ω0exp（ik1d1lcosΨ）exp［ik1（xlcosΨ+ylsinΨ）］（2）

式中：ωinc1為土體中入射波場(chǎng)位移;ω0為入射平面SH波的位移幅值;k1為土體中SH波的波數(shù);i表示虛數(shù)單位;d1l為l號(hào)樁距l(xiāng)號(hào)樁的間距。為簡(jiǎn)化書(shū)寫(xiě)，式中的時(shí)間因子exp（-iωt）已略去。

根據(jù)波函數(shù)展開(kāi)法，入射平面SH波的位移在極坐標(biāo)系（rl，θl）下的Fourier-Bessel級(jí)數(shù)形式為：

式中：Jm（·）為第一類(lèi)Bessel函數(shù);εm為Neumamm因子，εm=1（m=0），εm=2（m≠0）;m為入射波展開(kāi)式級(jí)數(shù)截?cái)囗?xiàng)。

土體中由于樁體的存在，任意j號(hào)樁體都會(huì)對(duì)入射平面SH波產(chǎn)生散射作用而形成散射波，同時(shí)由于散射位移場(chǎng)不是關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的，散射波場(chǎng)sin（nθj）的系數(shù)不為0，結(jié)合波函數(shù)展開(kāi)法可將散射位移場(chǎng)表達(dá)為：

式中：上標(biāo)sc表示散射;H（1）n（·）為第一類(lèi)Hankel函數(shù);Ajn、Bjn均為散射待定系數(shù);n為散射波展開(kāi)時(shí)級(jí)數(shù)截?cái)囗?xiàng)。

首先為實(shí)現(xiàn)所有樁體散射波場(chǎng)的疊加，應(yīng)用Graf加法定理［14］，將所有非“l(fā)”號(hào)樁體的散射波場(chǎng)統(tǒng)一轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)系（rl，θl）下的表示，即：

其中：

然后，將入射波場(chǎng)式（3）和樁體的散射波場(chǎng)式（4）疊加，可得土體中在（rl，θl）坐標(biāo)系下的總波場(chǎng)位移ω1（rl，θl）：

同理根據(jù)式（4），l號(hào)樁體內(nèi)的透射波場(chǎng)位移ω2（rl，θl）可表示為：

式中：Cln、Dln為樁體中透射波場(chǎng)的待定系數(shù);k2為樁體中SH波的波數(shù)。

根據(jù)樁體-土邊界的應(yīng)力和位移連續(xù)條件，在rl=a處，有：

將式（3）～（6）代入式（7）可得到（rl，θl）坐標(biāo)系下的總波場(chǎng)位移：

將式（7）和式（8）代入式（9）可得到：

將Aln、Bln的系數(shù)解代入到式（10），即可得到在（rl，θl）坐標(biāo)系下的總波場(chǎng)ω1。

對(duì)位移場(chǎng)的頻率進(jìn)行歸一化處理，設(shè)土體中的無(wú)量綱頻率η為：

式中：λ1為土體中SH波的波長(zhǎng);c1為土體中平面SH波波速。

2 有效性驗(yàn)證

模擬試驗(yàn)地基選在室內(nèi)，尺寸為4 m（長(zhǎng)）×4 m（寬）×1.4 m（高），上層為深0.4 m的勻質(zhì)黏土層，下層為深1 m的勻質(zhì)砂層，如圖2所示。土體參數(shù)列于表1，試驗(yàn)所用混凝土樁強(qiáng)度等級(jí)為C30，密度ρ=2 374 kg/m3，剪切模量G=12.78×103 MPa，樁徑為10 cm（長(zhǎng)）×10 cm（寬）的實(shí)心方樁，以單倍樁距沿中線橫向布置，如圖3所示。

試驗(yàn)采用WS-Z30振動(dòng)臺(tái)控制系統(tǒng)，主要包括激振器、信號(hào)發(fā)生器和核心部件三部分，其中核心部件包括電荷放大器、功率放大器、數(shù)據(jù)采集控制器、加速度計(jì)放大器及加速度傳感器等。各部分及其連接詳見(jiàn)圖3。

理論分析模型與模型試驗(yàn)變量參數(shù)均取7根樁，樁徑a取10 cm，樁間距b取2倍的樁徑，均用ω/ω0表示歸一化后的無(wú)量綱位移，其中ω為平面SH波入射下自由場(chǎng)和散射場(chǎng)的總位移，ω0為平面SH波入射下位移幅值，通過(guò)比較兩種結(jié)果（表2），并得出曲線圖（圖4）。結(jié)果表明，本算例與模擬試驗(yàn)結(jié)果變化趨勢(shì)一致，從而驗(yàn)證了本算例的正確性。

3 結(jié)果分析

3.1 樁土剪切模量對(duì)排樁隔振效果的影響

樁間距是影響入射波、散射波與透射波在同一介質(zhì)點(diǎn)合相位大小的重要因素。為了分析樁土剪切模量對(duì)排樁隔振效果的影響，樁徑a取1，樁間距b分別取1a、2a、3a、5a，其余變量參數(shù)取值與有效性驗(yàn)證部分一致，繪制出不同樁土剪切模量之比下排樁后的無(wú)量綱位移曲線（圖5）。由圖5可知，隨著樁間距b的增加，排樁隔振效果逐漸變好，但當(dāng)樁間距b由3a增加至5a時(shí)，排樁隔振效果明顯變差；在排樁后0～70a范圍內(nèi)，無(wú)量綱位移之比變化幅度較大，且尚不穩(wěn)定，隔振效果較差；之后無(wú)量綱位移之比逐漸下降至穩(wěn)定值。當(dāng)樁土剪切模量之比小于500時(shí)，排樁后無(wú)量綱位移曲線在250a～380a范圍內(nèi)出現(xiàn)最低點(diǎn)，后又呈現(xiàn)上升趨勢(shì)；當(dāng)樁土剪切模量之比大于或等于500時(shí)，排樁后無(wú)量綱位移無(wú)最低點(diǎn)且?guī)缀鯚o(wú)變化，此時(shí)可將樁體認(rèn)為是剛性樁體。

3.2 樁體根數(shù)對(duì)排樁隔振效果的影響

為了分析樁體根數(shù)對(duì)排樁隔振效果的影響，樁間距b取3a，樁土剪切模量之比取500，其余變量參數(shù)取值與2.1節(jié)一致，繪制出不用樁體根數(shù)下排樁后的無(wú)量綱位移曲線（圖6）。由圖6可以看出，當(dāng)無(wú)量綱頻率為0.4時(shí)，排樁后無(wú)量綱位移曲線與以上規(guī)律一致，在無(wú)限遠(yuǎn)處趨于0，同時(shí)隨著樁體根數(shù)的增加無(wú)量綱位移之比降低。當(dāng)無(wú)量綱頻率為1.5時(shí)，0～90a范圍內(nèi)無(wú)量綱位移之比變化較大，且在100a～120a范圍內(nèi)隔振效果較好，之后該范圍內(nèi)無(wú)量綱位移之比先驟升后逐漸下降至1。當(dāng)無(wú)量綱頻率為3.0時(shí)，各樁體根數(shù)下排樁隔振效果相差不大，排樁后無(wú)量綱位移在20a處下降至1以下，與之前兩個(gè)無(wú)量綱頻率相比，排樁在更靠前的位置達(dá)到更好的隔振效果。

4 結(jié)論

本文采用波函數(shù)展開(kāi)法結(jié)合格拉夫加法定理分析單排實(shí)心彈性樁的SH波散射問(wèn)題，通過(guò)改變單一變量，研究樁土剪切模量之比、樁體個(gè)數(shù)因素對(duì)排樁隔振的影響效果，并結(jié)合實(shí)際工程的參考數(shù)值，得到如下結(jié)論：

（1） 在排樁后0～70a范圍內(nèi)，無(wú)量綱位移之比變化幅度較大，且不穩(wěn)定，隔振效果較差。當(dāng)樁土剪切模量之比小于500時(shí)，在250a～380a范圍內(nèi)隔振效果較好;當(dāng)樁土剪切模量之比大于等于500時(shí)，隨著樁土剪切模量之比增加，隔振效果并不會(huì)大幅增加，即此時(shí)可將樁體認(rèn)為是剛性樁體。

（2） 當(dāng)無(wú)量綱頻率為0.4時(shí)，排樁后無(wú)量綱位移曲線在無(wú)限遠(yuǎn)處趨于0，隨著樁體根數(shù)的增加，隔振效果逐漸提高。當(dāng)無(wú)量綱頻率為1.5時(shí)，0～90a范圍內(nèi)無(wú)量綱位移之比變化較大，在100a～120a范圍內(nèi)隔振效果較好，之后此范圍內(nèi)無(wú)量綱位移之比先驟升后逐漸下降至1。當(dāng)無(wú)量綱頻率為3.0時(shí)，各樁體根數(shù)下排樁隔振效果相差較小，排樁后無(wú)量綱位移在20a處就已經(jīng)下降至1以下，與之前兩個(gè)無(wú)量綱頻率相比，可在更靠前的位置達(dá)到良好隔振效果。

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