橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)的離心率問題解決策略

陳雪冰

【摘要】圓錐曲線知識(shí)是高考數(shù)學(xué)考查的重點(diǎn)內(nèi)容，而橢圓和雙曲線的共焦點(diǎn)的離心率問題是常見的一類題型，重點(diǎn)考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化、分析、數(shù)形結(jié)合及數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力.一般是根據(jù)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，然后通過a，b，c的平方關(guān)系，消元，化為a，c之間的關(guān)系式，從而求得離心率.而將兩條曲線結(jié)合起來的橋梁是焦點(diǎn).

【關(guān)鍵詞】橢圓；雙曲線；焦點(diǎn)；離心率

圓錐曲線問題在高考試題中一直是比較重要的一部分，近年高考及全國(guó)各地模擬考試中，頻繁出現(xiàn)以共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線為背景的兩離心率之間的最值與范圍問題.兩種曲線結(jié)合在一起考查多見于選擇題和填空題，能力要求較高.為此，將橢圓與雙曲線的共焦點(diǎn)求離心率問題做了梳理，旨在幫助學(xué)生提高轉(zhuǎn)化能力和分析與解決問題的能力等.

1? 橢圓與雙曲線基礎(chǔ)知識(shí)靈活再現(xiàn)

1.1? 橢圓的基礎(chǔ)知識(shí)

焦點(diǎn)在x軸的橢圓方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0），焦點(diǎn)坐標(biāo)為（－c，0），（c，0），c2=a2－b2， 離心率e=ca（0

1.2? 雙曲線的基礎(chǔ)知識(shí)

焦點(diǎn)在x軸的雙曲線方程為x2a2－y2b2=1（a>0，b>0），焦點(diǎn)坐標(biāo)為（－c，0），（c，0） ，c2=a2+b2， 離心率e=ca（e>1），焦點(diǎn)三角形面積為S=b2tanθ2.

2? 重點(diǎn)題型匯總

2.1? 共焦點(diǎn)齊次式求離心率關(guān)系式

例1? 已知橢圓C1與雙曲線C2有相同的左、右焦點(diǎn)，分別為F1，F(xiàn)2，橢圓C1的離心率為e1，雙曲線C2的離心率為e2，且兩曲線在第一象限的公共點(diǎn)為P，滿足PF1：F1F2：PF2=4：3：2 ，則e2+e1e2－e1 的值為（? ）

分析? 方法1直接利用離心率公式即可求得.計(jì)算e1=ca1=2c2a1=F1F2PF1+PF2=12，同上可求e2=32，故原式的值為2.

方法2? 根據(jù)離心率公式，計(jì)算可得：e1e2=a2a1，設(shè)e1=a2k，e2=a1k，所以e2+e1e2－e1=a1+a2a1－a2=2a1+2a22a1－2a2，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可得：PF1+PF2=2a1，PF1－PF2=2a2，代入上式計(jì)算得2.

小結(jié)? 本題考查學(xué)生的抽象思維、邏輯思維和計(jì)算能力，借助焦點(diǎn)△PF1F2的三邊關(guān)系可求.設(shè)PF1=m，PF2=n，m>n，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可得：m+n=2a1，m－n=2a2，即為：PF1+PF2=2a1，PF1－PF2=2a2，同時(shí)還可解得：m=PF1=a1+a2，n=PF2=a1－a2.

2.2? 共焦點(diǎn)已知頂角求離心率關(guān)系式

例2? 設(shè)e1，e2分別為具有公共焦點(diǎn)F1和F2的橢圓和雙曲線的離心率，P為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿足PF1·PF2=0，則1e12+1e22的值為（? ）

分析? 方法1 由已知得：△PF1F2為直角三角形， 根據(jù)焦點(diǎn)三角形的三邊長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為（a1+a2）2+（a1－a2）2=4c2，所以a12+a22=2c2，所以 a12c2+a22c2=1e12+1e22=2.

方法2? 根據(jù)橢圓焦點(diǎn)三角形面積公式和雙曲線焦點(diǎn)三角形面積公式，結(jié)合題意可得：S1=S2，tanθ2=1.可推得b12=b22，可得a12－c2=c2－a22，求解為2.

小結(jié)? 本題主要考查的是數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，通過幾何圖形建立邊長(zhǎng)關(guān)系，轉(zhuǎn)化為運(yùn)用離心率公式進(jìn)行計(jì)算.

例3? F1，F(xiàn)2是橢圓C1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，A，B分別是C1 ，C2 在第二、四象限的交點(diǎn)，若∠AF1B=2π3 ，則C1與C2的離心率之積的最小值為（? ）

分析? 連接AF1，AF2，構(gòu)成△AF1F2，∠F1AF2=π3，解三角形得：a12+3a22=4c2，所以1e12+3e22=4≥23e12e22=23e1e2，所以e1e2≥32，故C1與C2的離心率之積的最小值為32.

小結(jié)? 計(jì)算離心率關(guān)系式的最值問題，考查到解三角形的余弦定理和均值不等式、重要不等式等內(nèi)容，增加了一定難度.

2.3? 共焦點(diǎn)無頂角求離心率

例4? 已知橢圓C1：x2a2+y2b2=1（a>b>0）與雙曲線C2：x2m2－y2n2=1（m>0，n>0）有共同的左、右焦點(diǎn) F1，F(xiàn)2，且在第一象限的交點(diǎn)為P，滿足 2OF2·OP=OF22 （其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），設(shè)C1，C2的離心率分別為e1， e2 ，當(dāng)4e1+e2取得最小值時(shí)，e1的值為（? ）

解? 過點(diǎn)P作PM⊥OF2于M，因?yàn)?OF2·OP=OF22，由數(shù)量積公式可得M為OF2的中點(diǎn)，故OP=PF2，設(shè)PF2=x，則PF1=2a－x，F(xiàn)1M=32c，OM=12c，所以PF12－F1M2=OP2－OM2，化簡(jiǎn)可得：4a2－4ax=2c2，因?yàn)閤=a－m，所以ca×cm=2，故e1e2=2，因?yàn)?e1+e2=4e1+2e1≥42（當(dāng)且僅當(dāng)4e1=2e1，4e1+e2取得最小值），即e1=22.

小結(jié)? 本題通過圖形建立邊之間的關(guān)系，利用方程思想，轉(zhuǎn)化到離心率的關(guān)系式.

2.4? 共焦點(diǎn)求圖形面積

例5? 若橢圓x2m+y22=1（m>2）與雙曲線x2n－y22=1（n>0）有相同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，P是橢圓與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，求△F1PF2的面積.

解? 由題意知m－2=c2，n+2=c2，即m－n=4，PF1+PF2=2m，

PF1－PF2=2n，所以PF1=m+n，PF2=m－n，所以PF1·PF2=4，在△F1PF2中，

cos∠F1PF2=PF12+PF22－F1F222PF1PF2=0，得∠F1PF2=π2，可求得△F1PF2的面積為2.

小結(jié)? 本題通過橢圓、雙曲線的基本關(guān)系式，在焦點(diǎn)三角形中，利用余弦定理求角，確定圖形的特殊性從而求得圖形面積.

3? 結(jié)語

總之，橢圓與雙曲線的密切結(jié)合點(diǎn)就在共焦點(diǎn)問題上.面對(duì)橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)問題時(shí)，多找共同點(diǎn)，多分析，多總結(jié)，多采用均值不等式、三角換元、消元等方法來解決.