一類(lèi)軸向均勻變化磁場(chǎng)中感生電場(chǎng)問(wèn)題研究*

姜付錦

(武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)試題研究中心 湖北 武漢 430300)

韓 燦

(武漢市黃陂區(qū)第三中學(xué) 湖北 武漢 430300)

1 感生電場(chǎng)強(qiáng)度

(1)

式(1)是對(duì)邊界內(nèi)、外的區(qū)域都成立.

2 矩形邊界

【題目】如圖2所示,用均勻?qū)Ь€做成的正方形線框邊長(zhǎng)為0.2m,正方形的一半放在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中.當(dāng)磁場(chǎng)以10T/s的變化率增強(qiáng)時(shí),線框a、b兩點(diǎn)間的電勢(shì)差是( )

圖2 題目附圖

A.Uab=0.1V

B.Uab=-0.1V

C.Uab=0.2V

D.Uab=-0.2V

2.1 文獻(xiàn)1中的分析

對(duì)左半邊電路(acb段)使用“含源支路歐姆定律”,有

(2)

其中Eacb代表acb段的感生電動(dòng)勢(shì)(絕對(duì)值),I、R分別代表線框電流(絕對(duì)值)和電阻.由已知條件得線框面積S=0.04m2,故全線框感生電動(dòng)勢(shì)(絕對(duì)值)

(3)

由全電路歐姆定律E=IR,則式(2)變?yōu)?/p>

(4)

注意到Eacb是全線框感生電動(dòng)勢(shì)E的一部分,暫令Eacb=βE(其中0<β≤1),代入式(4)得

(5)

本題只能做到這一步,關(guān)鍵是出題人并未給出β值,而且從圖2無(wú)法知道感生電場(chǎng)在線框內(nèi)如何分布,從而無(wú)法得知β值,故原題沒(méi)有答案正確[1].

2.2 對(duì)參考文獻(xiàn)[1]分析的反思

(6)

β值到底是多少呢?

設(shè)矩形區(qū)域-a≤x≤a,-b≤y≤b,a=0.05m,b=0.1m,k=10T/s,則式(1)積分變?yōu)?/p>

Ey(x,y)=

(7)

則acb邊產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)占總電動(dòng)勢(shì)比值為

β比值大約為0.676 1,代入式(6)得

(8)

故原題沒(méi)有選項(xiàng)正確.

2.3 a、b兩點(diǎn)間的電勢(shì)差另一種算法

對(duì)右半邊電路(ab段)使用“含源支路歐姆定律”,有

(9)

其中Eba代表ab段的感生電動(dòng)勢(shì)(絕對(duì)值),I、R分別代表線框電流(絕對(duì)值)和電阻.由已知條件得線框面積S=0.04m2,故全線框感生電動(dòng)勢(shì)(絕對(duì)值)

(10)

由全電路歐姆定律E=IR,則式(10)變?yōu)?/p>

(11)

注意到Eba是全線框感生電動(dòng)勢(shì)E的一部分,暫令Eba=αE(其中0<α≤1),代入式(4)得

(12)

由式(7)可得ab邊電動(dòng)勢(shì)的占比

α比值大約為0.323 9,代入式(12)得

(13)

對(duì)比式(8)、(13)發(fā)現(xiàn)α+β=1,這與理論分析相吻合,因此以上分析方法與思想沒(méi)有問(wèn)題.但在非靜電場(chǎng)(保守場(chǎng))中,電場(chǎng)沿回路的積分與積分路徑有關(guān),所謂的電勢(shì)(差)是沒(méi)有物理意義的[2].因此在高中階段應(yīng)盡量避免計(jì)算感生電場(chǎng)中電勢(shì)差的問(wèn)題.

3 無(wú)窮大邊界感生電場(chǎng)

3.1 由圓柱形邊界推導(dǎo)

(14)

圖3 扇形電路

右邊圓弧上感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為

(15)

(16)

由式(14)～(16)可得回路中總感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為

(17)

若圓柱半徑趨近于無(wú)窮大,圖4中扇形閉合回路趨近正方形,式(14)、(15)均會(huì)趨近于無(wú)窮大,式(17)會(huì)趨近于

(18)

圖4 參考文獻(xiàn)[3]中的分析

兩個(gè)扇形邊所在位置感生電場(chǎng)強(qiáng)度分別為

(19)

當(dāng)圓柱半徑趨近于無(wú)窮大時(shí),矩形左右兩邊感生電場(chǎng)強(qiáng)度和總感生電場(chǎng)強(qiáng)度都趨近于無(wú)窮大,但它們差值有限.之所以會(huì)出現(xiàn)這種情況主要是因?yàn)楦猩妶?chǎng)強(qiáng)度嚴(yán)格依賴(lài)磁場(chǎng)邊界.若磁場(chǎng)邊界有限,則空間感生電場(chǎng)強(qiáng)度有限.若磁場(chǎng)邊界趨近無(wú)窮大,則空間感生電場(chǎng)強(qiáng)度趨近無(wú)窮大.

3.2 參考文獻(xiàn)[3]分析

如圖4所示,建立坐標(biāo)系xOy,取水平向左為x軸正方向,y軸為半無(wú)窮大邊界,則通過(guò)理論分析得空間感生電場(chǎng)分布如下[2]

(20)

其中

式(20)表明:

當(dāng)x>0時(shí),感生電場(chǎng)為Ex=0,Ey=-kx,感生電場(chǎng)沿y軸方向.

當(dāng)x<0時(shí),E=0,即在磁場(chǎng)邊界及外部空間沒(méi)有感生電場(chǎng),感生電場(chǎng)只分布在邊界內(nèi)部.

邊界內(nèi)部感生電場(chǎng)強(qiáng)度方向與y軸平行,大小與x成正比,在x軸上感生電場(chǎng)強(qiáng)度為零.這與參考文獻(xiàn)[4]中理論——“越接近邊界感生電場(chǎng)越強(qiáng)”和“在邊界外也有感生電場(chǎng)”矛盾,也與式(19)矛盾,故參考文獻(xiàn)[3]中關(guān)于無(wú)限大邊界感生電場(chǎng)問(wèn)題的分析有待商榷.

3.3 無(wú)窮大感生電場(chǎng)的另一種理解

無(wú)窮大邊界的磁場(chǎng)區(qū)域?qū)嶋H上是不能實(shí)現(xiàn)的,但可以逼近.舉個(gè)例子,一個(gè)很小的螞蟻靠近一個(gè)均勻帶有電荷的平板,螞蟻距離平板越近,它看到的平板就越大,感受到的就是無(wú)窮大帶電平板所產(chǎn)生的電場(chǎng).所以,考慮一個(gè)有限大小正方形的磁場(chǎng)區(qū)域,要討論感生電場(chǎng)趨向邊界處的近似漸近行為,分從里面逼近和從外面逼近.解析公式給不出的話(huà),可以數(shù)值計(jì)算討論.也可以從最簡(jiǎn)單的圓形區(qū)域磁場(chǎng)開(kāi)始討論.

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)以上分析不難發(fā)現(xiàn),感生電場(chǎng)分布圖與變化磁場(chǎng)邊界緊密相關(guān),若磁場(chǎng)邊界確定則感生電場(chǎng)分布就確定,在邊界上某處感生電場(chǎng)強(qiáng)度有最大值,但邊界不一定是電場(chǎng)強(qiáng)度等值線;當(dāng)邊界趨近無(wú)窮大時(shí),邊界處感生電場(chǎng)強(qiáng)度趨近于無(wú)窮大,但這在真實(shí)物理情境中是不允許的,故在高中階段盡量不要出現(xiàn)無(wú)窮大邊界的感生電場(chǎng)問(wèn)題.