多次彈性正碰的全過程中速度交換的分析

肖星星 郭安良 陳 楊

(重慶市第八中學校 重慶 400030)

學科核心素養(yǎng)是學科育人的價值體現(xiàn),是學生通過學科學習而逐步形成的正確價值觀、必備品格和關鍵能力.物理學科核心素養(yǎng)中的科學思維主要包括模型的構建、科學推理、科學論證、質(zhì)疑創(chuàng)新等要素[1].在物理學中兩粒子或物體經(jīng)過極短時間的相互作用,導致碰撞前后參與物的速度、動量或者能量發(fā)生變化,按碰撞過程中機械能是否守恒分為彈性碰撞和非彈性碰撞兩種,如果碰撞過程中沒有機械能的損失稱為彈性碰撞,有機械能的損耗稱為非彈性碰撞,本文重點討論彈性碰撞過程中速度交換問題.

1 彈性碰撞

1.1 雙守恒方程

兩物體P和Q質(zhì)量分別為m1、m2,碰前兩物體的速度分別為v10、v20,碰后的速度為v1、v2,由彈性碰撞動量、機械能守恒得

m1v10+m2v20=m1v1+m2v2

(1)

(2)

由式(1)得

m1(v10-v1)=m2(v2-v20)

(3)

由式(2)得

m1(v10+v1)(v10-v1)=
m2(v2+v20)(v2-v20)

(4)

由式(4)除以式(3)得

v10+v1=v2+v20

(5)

式(4)、(5)聯(lián)立解得

1.2 恢復系數(shù)

將兩物體碰撞后的分離速度(v2-v1)與碰撞前兩物體的接近速度(v10-v20)比值叫恢復系數(shù),用公式表示為

e由兩物體的材料性質(zhì)決定,與兩物體的質(zhì)量無關.對于彈性碰撞e=1[上面的式(5)],完全非彈性碰撞e=0,一般碰撞0

2 速度交換

2.1 一次彈性碰撞過程中的速率交換

由上面的推導可以看出,如果m2=m1,則v1=v20,v2=v10,即碰后兩物體速度交換.

2.2 多次彈性碰撞過程中的速度交換

2.2.1 模型的建立

如圖1所示,在粗糙的水平地面左邊有一固定彈性擋板(彈性擋板也可以換成固定光滑斜面或凹槽),地面上有P、Q兩個物體,質(zhì)量分別為m、M,且m

圖1 多次彈性碰撞的物體

2.2.2 模型分析

由于彈性碰撞,滿足雙守恒方程,設第一次碰撞后P、Q的速度大小分別為v11和v21,由上面的推導可得

Q以v21的速度向前滑行直到速度減為零,P碰后速度反向,與彈性擋板碰撞后原速反彈,又以v11速率去碰靜止的Q物體,依次循環(huán).相當于P物體以碰后的速度在彈性擋板的作用下不停地朝著同一方向撞擊Q物體,彈性擋板的作用相當于控制P、Q兩物體在兩次碰撞過程中的時間差.由于每次碰后P物體速度大小會減小,最終兩物體都會停止運動.由上面的分析可得第二次碰后的速度大小為

第三次碰后的速度大小為

第n次碰后的速度大小為

2.2.3 模型結論

P物體在多次彈性碰撞過程中減小的速度等于Q物體在整個碰撞過程中增加的速度,即速度交換.為了證明此模型結論的正確性,從兩個角度進行證明.

(1)直接求解

根據(jù)每次碰撞后的情況直接算出Q物體最終獲得的速度總和v2

即P物體在與彈性擋板和Q物體的多次彈性碰撞過程中,最終將速度全部傳給了Q物體,速度交換,結論成立.

(2)利用恢復系數(shù)

由于碰前Q物體停止運動

則

v2n=v1n-1-v1n

即在每次的碰撞過程中,P物體的速度減小量等于Q物體的速度增加量,其中v1(n-1)為P物體第n次碰撞前的速度大小,v1n、v2n為P、Q兩物體n次碰撞后的速度大小.

第一次碰撞后P、Q的速度大小分別為v11和v21,可得

v21=v10-v11

同理可求得第二次碰后的速度大小關系為

v22=v11-v12

第三次碰后的速度大小關系為

v23=v12-v13

第n次碰后的速度大小關系為

v2n=v1(n-1)-v1n

最終解物體Q獲得的速度總和

v2=v21+v22+…+v2n=(v10-v11)+

(v11-v12)+…+[v1(n-1)-v1n]=v10

結果發(fā)現(xiàn),每次P物體與靜止的Q物體發(fā)生彈性碰撞,P物體的速度減小量等于Q物體的速度增加量,即-Δv1=Δv2.多次碰撞后,P、Q兩物體最終都停止運動,那么P物體總的速度減小量等于Q物體總的速度增加量,結論成立.

3 模型的局限性

多次彈性碰撞過程中速度交換模型的條件:

(1)每次碰撞都是彈性碰撞,且都是小物體去碰靜止的大物體.

(2)由于彈性擋板(斜面或凹槽)的作用,每次碰前小物體的速度大小都是上一次碰后的速度大小.

4 模型的適應性

由于模型條件的限制,主要有兩個考查方向.

4.1 求時間

4.2 求位移

在圖1的情景中,將地面換成U型光滑金屬導軌,垂直于導軌方向有勻強磁場,將P、Q物體換成金屬桿和絕緣桿,相當于將Q物體所受的摩擦阻力換成電磁阻力,就變成了2023年重慶高三二診物理第15題.

4.2.1 原題呈現(xiàn)

圖2 原題題圖

4.2.2 例題分析

試題有3問,這里去掉了(1)、(2)問,重點分析第(3)問.仔細研讀題目,發(fā)現(xiàn)M桿第一次運動停止后的運動情況與這里討論的速度交換模型一模一樣.因此,由模型可知:M桿在碰撞過程中獲得的速度之和為N桿第一次碰后的速度v,相當于M桿僅在安培力作用下由速度v減為零,對于M桿,由動量定理列方程

其中x=vΔt,然后全過程累加有

求得

由題目分析可知

代入,得

再加上M桿第一次碰后運動到停止的位移

就求出了M桿的總位移

題目也就很快得到解決.

5 結束語

動量、能量在物理學中的地位非常重要,也是物理學習的重點和難點,兩者經(jīng)常結合在一起考查,思維難度特別大,對物理的學科素養(yǎng)要求比較高.通過對彈性碰撞進行深度解讀,建立一個多次彈性碰撞過程中的速度交換模型,并對該模型進行有效性論證、局限性討論和適用范圍進行解讀,最后通過2023年重慶高三二診物理15題驗證了此模型的正確性.