探究新情境中的離心率問題

徐凡煒

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系說明》指出，在試題命制層面，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)情境化設(shè)計(jì).試題情境是實(shí)現(xiàn)考查內(nèi)容和考查要求的載體，學(xué)生解決問題時(shí)，需要在理解與提取、分析與推理、歸納與表達(dá)的基礎(chǔ)上，尋求解決問題的途徑.本文以三類情境試題為例進(jìn)行剖析，旨在引導(dǎo)學(xué)生合理解讀試題情境，聯(lián)想求解方法，探索離心率問題的解題規(guī)律.

1.課程學(xué)習(xí)情境

分析：本題情境源于“雙曲線”和“解三角形”的課程學(xué)習(xí)，創(chuàng)設(shè)的試題情境屬于學(xué)習(xí)關(guān)聯(lián)情境.考查了雙曲線的定義、余弦定理及向量的坐標(biāo)運(yùn)算等必備知識(shí)，考查了邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力等關(guān)鍵能力，考查了直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

評(píng)析：雙曲線過焦點(diǎn)的三角形的問題解決的關(guān)鍵是充分利用雙曲線的定義，結(jié)合勾股定理與余弦定理得到關(guān)于a，b，c的齊次方程，從而得解.

變式 （2018年高考全國(guó)卷Ⅱ·文11）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，則C的離心率為（? ）.

2.探究創(chuàng)新情境

分析：本題以“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)”為試題情境，涉及的知識(shí)源于學(xué)生已有的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，其中橢圓定義的表述方式源于學(xué)生的學(xué)習(xí)儲(chǔ)備，故所創(chuàng)設(shè)的試題情境屬于綜合聯(lián)想情境.考查了橢圓的定義、向量的數(shù)量積等必備知識(shí)，考查了邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力等關(guān)鍵能力，考查了直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

評(píng)析：本題常規(guī)方法是設(shè)P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，由這兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系結(jié)合斜率公式、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將y1用x1表示，從而得到橢圓基本量間的關(guān)系，求得離心率.若本題能利用橢圓的第三定義可使得運(yùn)算簡(jiǎn)化.

變式 已知點(diǎn)A是拋物線x2=4y的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上且滿足PA=mPF，若m取最大值時(shí)，點(diǎn)P恰好在以A，F(xiàn)為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（? ）.

3.生活實(shí)踐情境

例3 圓錐曲線具有光學(xué)性質(zhì)，如雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是發(fā)散的，其反向延長(zhǎng)線會(huì)經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)，如圖1，一鏡面的軸截面圖是一條雙曲線的部分，AP是它的一條對(duì)稱軸，F(xiàn)是它的一個(gè)焦點(diǎn)，一光線從焦點(diǎn)F發(fā)出，射到鏡面上點(diǎn)B，反射光線是BC，若∠PFB=120°，∠FBC=90°，則該雙曲線的離心率等于（? ）.

分析：本題選取的情境依托圓錐曲線具有的光學(xué)性質(zhì)，考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，由于兩者的關(guān)聯(lián)不明顯，創(chuàng)設(shè)的試題情境屬于拓展遷移情境，相應(yīng)的情境活動(dòng)表明試題在基礎(chǔ)性和應(yīng)用性的層次上考查了理性思維.考查了雙曲線的定義、簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)等必備知識(shí)，考查了運(yùn)算求解能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力、創(chuàng)新能力等關(guān)鍵能力，考查了數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

解析：在平面直角坐標(biāo)系中，如圖2， 反射光線BC的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)F1，由∠PFB=120°，∠FBC=90°，可得∠BFF1=60°，∠FBF1=90°.

記雙曲線的焦距為2c，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，在直

由以上案例可以發(fā)現(xiàn)從不同角度提取、剖析、解讀試題情境，將有不同的思路，可以從不同角度去解決問題.因此，在解題教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)試題的情境，深度理解情境中的多元信息，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)或形或轉(zhuǎn)化等角度去解讀，在一題多解中去總結(jié)解題活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).在此基礎(chǔ)上，對(duì)情境進(jìn)行變式，在變的過程中，去發(fā)現(xiàn)歸納反思其中蘊(yùn)含的知識(shí)、能力、思想的不變性，進(jìn)而揭示問題的本質(zhì).如果做到這樣，將充分激發(fā)學(xué)生的思維，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).