多基色顯示系統(tǒng)基色亮度求解及討論

姚昞暉,鄧林宵,許立新*

(1.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 核探測(cè)與核電子學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,合肥 230026,中國(guó);2.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 物理學(xué)院 安徽省光電子科學(xué)與技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,合肥 230026,中國(guó);3.先進(jìn)激光技術(shù)安徽省實(shí)驗(yàn)室,合肥 230026,中國(guó))

0 引 言

從早期的黑白顯示到現(xiàn)在蓬勃發(fā)展的激光顯示[1],顯示一直在人們的生活中扮演著重要的角色,人們對(duì)它的要求也越來(lái)越高。顯示色彩的優(yōu)劣直接影響顯示的效果。對(duì)于顯示系統(tǒng),通常使用色域來(lái)衡量其顯示顏色的能力[2]。色域越大,則顯示系統(tǒng)可渲染的顏色越豐富。為了定量表征顏色,國(guó)際照明委員會(huì)(Commission Internationale de I’Eclairage,CIE)首先提出了CIEXYZ顏色空間,并將其簡(jiǎn)化為xy色度圖[3],其直觀的特點(diǎn)讓其被廣泛應(yīng)用在顯示領(lǐng)域來(lái)表征色域。但顏色是一個(gè)3維的物理量,2維的xy色品圖為了直觀而犧牲了亮度屬性,這也導(dǎo)致其準(zhǔn)確性相對(duì)較低[4]。為了更準(zhǔn)確地描述人眼感知的顏色,CIE進(jìn)一步提出了CIEL*a*b*顏色空間,它是目前應(yīng)用最廣泛的均勻顏色空間[5]。立體顏色空間中的色域稱(chēng)為立體色域。在均勻顏色空間中,精確定量描述顏色成為可能[6]。MAcADAM最早于1935年提出了計(jì)算色域的方法[7],但由于時(shí)代限制,只將色域在xy色品圖中進(jìn)行了表示[8]。MASAOKA改進(jìn)了他的方法,并將其應(yīng)用于立體顏色空間,獲得了立體色域[9]。而WANG等人繼續(xù)改進(jìn)了MAcADAM的方法,使其適用于當(dāng)前常見(jiàn)的基色顯示系統(tǒng)[10]。WANG等人進(jìn)一步研究了色溫或者說(shuō)白平衡點(diǎn)色坐標(biāo)對(duì)色域的影響[11]。根據(jù)這些研究可以看出,目前的三基色顯示系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)已經(jīng)較為完備。在此基礎(chǔ)上,為了方便不同設(shè)備之間色彩還原的準(zhǔn)確性,美國(guó)國(guó)家電視標(biāo)準(zhǔn)委員會(huì)(National Television Standards Committee, NTSC)與電影和電視工程師協(xié)會(huì)等提出了NTSC Rec.709[12]、Rec.2020[13]等色域標(biāo)準(zhǔn),其對(duì)應(yīng)的色域大小也不盡相同,其中Rec.2020是當(dāng)今最先進(jìn)的色域標(biāo)準(zhǔn)。《中國(guó)制造2025》中明確提出,2020年激光顯示的色域要達(dá)到160% NTSC標(biāo)準(zhǔn)所對(duì)應(yīng)的色域,2025年要進(jìn)一步達(dá)到200% NTSC標(biāo)準(zhǔn)所對(duì)應(yīng)的色域,這說(shuō)明色域有重要意義且具有很高的研究?jī)r(jià)值。

隨著激光光源的發(fā)展,三基色激光顯示系統(tǒng)已經(jīng)達(dá)到149% NTSC的平面色域面積[14],這說(shuō)明減小基色譜寬是提升色域的重要方法,但基色譜寬過(guò)窄會(huì)導(dǎo)致激光散斑增大的問(wèn)題[15],并且三基色顯示系統(tǒng)的上限較為明顯[16]。為了進(jìn)一步提升色域,勢(shì)必要采用多基色顯示的方案[17]。隨著多基色顯示技術(shù)的發(fā)展,目前已經(jīng)有相關(guān)的研究,成功搭建了六基色顯示系統(tǒng),并使其立體色域的體積超過(guò)了180% NTSC[18]。在作者團(tuán)隊(duì)前期的研究中,提出了多基色顯示系統(tǒng)基色亮度通解的計(jì)算方案,利用格拉斯曼定律來(lái)獲得多基色顯示系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的亮度解空間,以得到其所有可能的基色搭配,并采用實(shí)際的六基色顯示系統(tǒng)進(jìn)行了驗(yàn)證[19],但這些探究尚不完善。本文作者將對(duì)之前提出的解空間理論計(jì)算的數(shù)學(xué)形式進(jìn)行規(guī)范化,并對(duì)其數(shù)學(xué)形式上的完備性和等價(jià)性進(jìn)行證明。進(jìn)一步地,將探究了解空間的幾何性質(zhì),并采用理想的多基色顯示系統(tǒng)進(jìn)行演示。為簡(jiǎn)化起見(jiàn),本文中的討論僅限于顏色可加性良好的顯示系統(tǒng),為了探究顯示系統(tǒng)的基本特性,本文中不考慮不同環(huán)境光源對(duì)顏色外觀帶來(lái)的顏色變化,即認(rèn)為顯示系統(tǒng)位于一個(gè)理想暗室中。

1 多基色顯示系統(tǒng)的基色峰值亮度推導(dǎo)

對(duì)于顯示系統(tǒng)而言,存在一個(gè)最基本的約束條件,即所有基色的最高亮度之和為白色,該白色也稱(chēng)為該系統(tǒng)的白平衡點(diǎn)。為了更好地說(shuō)明多基色顯示系統(tǒng)亮度通解的求解,此處對(duì)作者團(tuán)隊(duì)之前的工作進(jìn)行了數(shù)學(xué)形式的優(yōu)化。根據(jù)格拉斯曼定律,一個(gè)顏色可以由3種在顏色空間中不共線的顏色混合而得到,利用公式表達(dá),即為:

(1)

(2)

式中:X,Y,Z及其下標(biāo)1,2,3分別代表三基色的三刺激值;x,y,z代表對(duì)應(yīng)的色坐標(biāo),下文同理;下標(biāo)mix代表混合后的顏色。如果令混合后的顏色為白色,則最終得到的計(jì)算結(jié)果就是常見(jiàn)的三基色顯示系統(tǒng)。在已知基色和白色的色坐標(biāo)的前提下,上述6個(gè)方程可以簡(jiǎn)化成含有3個(gè)未知數(shù)的三方程組,因此對(duì)應(yīng)特定的基色和白色,三基色顯示系統(tǒng)只有一組特定的Y刺激值的解。需要說(shuō)明的是,Y刺激值和亮度存在對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)化關(guān)系,因此獲得了Y刺激值即相當(dāng)于獲得了基色的亮度比例。而對(duì)于N(N>3)基色顯示系統(tǒng),令j=N-3,公式則變?yōu)?

(3)

(4)

式中:下標(biāo)white代表白色。顯然,對(duì)于多基色系統(tǒng),上述方程由于增加了新的未知數(shù),因此變?yōu)椴欢ń夥匠?不存在如同三基色系統(tǒng)的一組定解來(lái)獲得白平衡,而是有無(wú)數(shù)種解。這對(duì)控制多基色顯示系統(tǒng)的白平衡,以及優(yōu)化系統(tǒng)的基色參數(shù)提出了挑戰(zhàn)。

對(duì)于一個(gè)N(N>3)基色顯示系統(tǒng),假設(shè)已知所有基色的色坐標(biāo)和白色的色坐標(biāo)。首先任意選取其中3個(gè)基色,得到如下刺激值條件限制:

(5)

(6)

式中:下標(biāo)o代表選取的初始三基色混合成白色的情形。計(jì)算得到Y(jié)o,1,Yo,2,Yo,3,該結(jié)果代表選取的初始三基色混合成白色所需要的Y刺激值。在理論計(jì)算中通常令Ywhite=100來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算,再將第j+3 (j≥1)個(gè)基色用前3個(gè)基色進(jìn)行表示,有:

(7)

(8)

式中:下標(biāo)j代表初始三基色混合成第j+3個(gè)基色的情形;Xj+3′,Yj+3′,Zj+3′代表此時(shí)第j+3個(gè)基色的三刺激值;xj+3,yj+3,zj+3代表其對(duì)應(yīng)色坐標(biāo),下文同理。假設(shè)第j+3個(gè)基色的Y刺激值為kjYj+3′,引入kj參數(shù)作為變量,并令Yj+3′為常數(shù)方便計(jì)算,用這6個(gè)式子可以計(jì)算出Yj,1,Yj,2和Yj,3。由于多基色系統(tǒng)的定義是每個(gè)基色都不能由其它基色混合得到,因此此時(shí)Yj,1,Yj,2和Yj,3必然有負(fù)值,但并不影響后續(xù)計(jì)算,則此時(shí)多基色系統(tǒng)滿(mǎn)足:

(Yj,1+Yj,2+Yj,3)]=Ywhite

(9)

即:

(10)

上述兩個(gè)式子的物理意義是:為了增加新基色的Y刺激值,則必須按照比例降低原有三基色的Y刺激值;不難看出,式中每一項(xiàng)即對(duì)應(yīng)每一個(gè)基色的Y刺激值。對(duì)于多基色顯示系統(tǒng),每個(gè)基色的Y刺激值都應(yīng)該大于0,因此有:

(11)

此不等式組即為N(N>3)基色系統(tǒng)的解空間,根據(jù)不等式組的性質(zhì),不難得出解空間的維度為N-3,而此時(shí)解空間中的點(diǎn)(k1,k2, …,kj, …)對(duì)應(yīng)的多基色系統(tǒng)的基色亮度解為:

(12)

式中:Yj+3′都為常數(shù),為了計(jì)算方便,通常設(shè)置為100。獲得了每個(gè)基色的Y刺激值后,根據(jù)每個(gè)基色的色坐標(biāo)(xi,yi)(其中i=1,2,…,N)求出所有基色的三刺激值,將顯示系統(tǒng)的亮度按照Y刺激值的比例進(jìn)行設(shè)置,即可得到一個(gè)多基色顯示系統(tǒng)。

在獲得了三刺激值后,在立體顏色空間中,根據(jù)參考文獻(xiàn)[20]中的計(jì)算方法,即得到立體色域,代表此多基色顯示系統(tǒng)可以顯示顏色的集合,目前最常用的立體顏色空間為CIEL*a*b*顏色空間。對(duì)于一組特定的基色和白平衡點(diǎn)參數(shù),比較解空間中不同點(diǎn)對(duì)應(yīng)的立體色域,即可獲得某組基色的最優(yōu)亮度組合;而對(duì)比不同的基色和白平衡點(diǎn)參數(shù)組合的解空間,即可獲得最優(yōu)的基色組合。

2 對(duì)解空間完備性和等價(jià)性的討論

首先,只有獲得多基色顯示系統(tǒng)的所有可能的參數(shù)組合前提下,才能進(jìn)行最優(yōu)化。因此有必要證明上述推導(dǎo)中的解空間是完備的,即該解空間包含了該特定基色和白色參數(shù)組合下所有的Y刺激值的可能搭配。

此處證明采用反證法。假設(shè)在某基色和白色參數(shù)組合下,存在一組Y刺激值(Y1′,Y2′,…,Yj′,…)在解空間中不存在點(diǎn)(k1,k2,…,kj,…)和其對(duì)應(yīng)。將(Y1′,Y2′,…,Yj′,…)代入式(12),由于式(12)的未知數(shù)為Yo,1′,Yo,2′,Yo,3′和kj′,未知數(shù)數(shù)目和方程數(shù)一致,且方程互相線性無(wú)關(guān),故該方程可必然反解出唯一解(k1′,k2′,…,kj′,…),此點(diǎn)不在解空間內(nèi),故該點(diǎn)必然不滿(mǎn)足式(11),即Yj′中存在負(fù)值。因?yàn)閅刺激值和亮度可按照比例對(duì)應(yīng),由于負(fù)亮度不存在,故不存在這樣一組Y刺激值不在式(11)和式(12)的包含范圍內(nèi)。因此解空間是完備的。

然后需要證明解空間的等價(jià)性。從之前的推導(dǎo)中可以看出,解空間的推導(dǎo)基于最先選擇的三基色的參數(shù)。不同的初始三基色計(jì)算出來(lái)的解空間的范圍顯然不同。但是,解空間中的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的基色Y刺激值是等價(jià)的,即一個(gè)初始三基色計(jì)算出的解空間中的點(diǎn)(k1,k2,…,kj,…)對(duì)應(yīng)的一組基色Y刺激值,必然可以在另一組初始三基色計(jì)算出的解空間找到一個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)(k1*,k2*,…,kj*,…)。

對(duì)于解空間1,其中的坐標(biāo)點(diǎn)(k1,k2,…,kj,…)對(duì)應(yīng)的基色Y刺激值如下式所示:

(13)

其對(duì)應(yīng)的解空間為:

(14)

對(duì)于解空間2,初始三基色更換后,其解空間和基色Y刺激值如下所示:

(15)

(16)

注意此時(shí)的兩套符號(hào)中,雖然仍為原基色組,但編號(hào)順序發(fā)生了變化,這是由于選取的初始三基色不同導(dǎo)致的,也即式(13)和式(14)中的Yi與式(15)及式(16)中的Yi*(其中i=1,2,…,N)代表不同的基色,相當(dāng)于交換了順序,更換了初始三基色,原先用來(lái)表征其它基色的顏色變成了被表征顏色,而Yj+3′和Yj+3對(duì)應(yīng),Yj+3″和Yj+3*對(duì)應(yīng),形式的含義和式(11)、式(12)表征的解空間的基本形式一致。根據(jù)解空間的完備性,即式(13)和式(15)對(duì)應(yīng)的解空間都是完備的,則解空間1中的基色Y刺激值組,必然滿(mǎn)足式(15),因此根據(jù)式(16)必然可以反解出解空間2中的唯一點(diǎn)(k1*,k2*,…,kj*,…)。因此不同初始三基色的選擇雖然會(huì)導(dǎo)致解空間的差異,但是由解空間中的點(diǎn)導(dǎo)出的基色Y刺激值組,是完備并且一致的。由此可以得出結(jié)論:該方案對(duì)于多基色系統(tǒng)的基色亮度計(jì)算是成功的。

3 計(jì)算范例及解空間的相關(guān)性質(zhì)

為了進(jìn)一步說(shuō)明本文中的算法,現(xiàn)采用模擬樣例進(jìn)行說(shuō)明。表1中給出了模擬樣例的色坐標(biāo),這里從三基色激光顯示系統(tǒng)出發(fā),添加新基色擴(kuò)展為四基色、五基色和六基色系統(tǒng),觀察其解空間的演化。最初的三基色顯示系統(tǒng),選擇其色坐標(biāo)匹配Rec.2020色域標(biāo)準(zhǔn)。白色的色坐標(biāo)(xwhite,ywhite)均設(shè)置為(0.3127,0.3290),其Y刺激值設(shè)置為100。表中3P,4P,5P,6P分別代表三基色、四基色、五基色、六基色激光顯示系統(tǒng),R1,R2,G1,G2,B1,B2分別代表不同波長(zhǎng)的兩種紅基色、綠基色和藍(lán)基色。

表1 模擬中采用的基色色坐標(biāo)Table 1 Chromatic coordinates in the simulation

對(duì)于三基色系統(tǒng),根據(jù)式(5)和式(6)可計(jì)算出:

(17)

根據(jù)MASAOKA提出的方案[20]來(lái)計(jì)算立體色域,在CIEL*a*b*空間中畫(huà)出其立體色域,如圖1所示。圖中,L*為亮度,a*軸正負(fù)分別代表紅綠色,b*軸正負(fù)分別代表黃藍(lán)色,其立體色域的體積為1854900。

圖1 R2,G1,B1構(gòu)成的理想三基色顯示系統(tǒng)的色域Fig.1 Gamut of the ideal three-primary color display composed of R2,G1,B1

利用式(1)和式(2),將第4個(gè)基色G2用初始的三基色R2,G1,B1進(jìn)行表示,有:

(18)

代入式(11),得到四基色顯示系統(tǒng)的解空間:

0

(19)

圖2a中給出了四基色顯示系統(tǒng)的色域體積隨k1變化的趨勢(shì)。利用MASAOKA提出的多基色立體色域計(jì)算方法[20]對(duì)色域體積進(jìn)行計(jì)算,可以看出,在k1=0.34時(shí),色域體積取最大值2185100,此時(shí)色域如圖2b所示。

圖2 a—解空間及對(duì)應(yīng)的k1的取值范圍和色域體積 b—當(dāng)k1=0.34時(shí)的色域Fig.2 a—solution space and the range of k1 and the corresponding values of color gamut volume b—the gamut when k1= 0.34

再添加基色R1,同樣按照上述步驟,有:

(20)

圖3a為五基色顯示系統(tǒng)的解空間,在一個(gè)平面范圍;圖3b為k1=0.34和k2=0.15時(shí)的立體色域,色域體積為2258400。

圖3 a— 解空間及對(duì)應(yīng)的k1和k2的取值范圍 b—當(dāng)k1=0.34,k2=0.15時(shí)的色域Fig.3 a—solution space and the range of k1 and k2 b—the gamut when k1=0.34 and k2=0.15

對(duì)于六基色顯示系統(tǒng),添加基色B2,同樣的,有:

(21)

其解空間如圖4所示。當(dāng)k1=0.34、k2=0.15、k3=0.01時(shí),立體色域如圖4b所示,色域體積為2395800。

圖4 a—解空間及對(duì)應(yīng)的k1,k2和k3的取值范圍 b—當(dāng)k1=0.34,k2=0.15,k3=0.01時(shí)的色域Fig.4 a—solution space and the range of k1, k2 and k3 b—the gamut when k1=0.34, k2=0.15 and k3=0.01

4 討 論

根據(jù)圖例中的解空間可以看出,每增加一個(gè)基色,解空間就增加一個(gè)維度。本文中的解空間獲取,是在基色亮度無(wú)限制的情況下進(jìn)行計(jì)算的。在實(shí)際應(yīng)用中,考慮到實(shí)際光源的亮度和成本限制,必然存在更多的約束條件,比如要求某種基色的亮度低于某個(gè)值。在這種情況下,就需要對(duì)計(jì)算添加更多的約束條件,即增加不等式的數(shù)目,但這并不改變解空間的維度,只是改變了解空間的形狀。在約束后的解空間中,依舊可以采取同樣的方式,來(lái)獲得需要的基色亮度配比。從上述的計(jì)算樣例中可以發(fā)現(xiàn),四基色顯示系統(tǒng)的解空間,為五基色顯示系統(tǒng)的解空間的一條邊界,而五基色顯示系統(tǒng)的解空間,為六基色顯示系統(tǒng)解空間的底面。因?yàn)榻饪臻g由式(11)構(gòu)成,其邊界應(yīng)當(dāng)為其中某些不等式等于0的情形,即對(duì)應(yīng)維數(shù)降低的顯示系統(tǒng)。因此N基色顯示系統(tǒng)的解空間的邊界實(shí)際上涵蓋了(N-1),(N-2)…,一直到三基色,所有以這些參數(shù)作為基色的理論顯示系統(tǒng)的解空間。本文作者提出的方法成功解決了多基色顯示系統(tǒng)中基色亮度選擇的問(wèn)題。結(jié)合色域體積的計(jì)算,可以對(duì)多基色顯示系統(tǒng)的光源參數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)膬?yōu)化,以滿(mǎn)足實(shí)際的顯示需求。

5 結(jié) 論

基于多基色顯示系統(tǒng)和和三基色顯示系統(tǒng)的差異,本文作者通過(guò)參數(shù)不等式的方式,在給定白平衡點(diǎn)和基色色坐標(biāo)的情況下,理論上推導(dǎo)了多基色顯示系統(tǒng)中基色亮度的設(shè)置問(wèn)題。求解出多基色顯示系統(tǒng)的亮度所對(duì)應(yīng)的解空間,并對(duì)解空間的等價(jià)性和完備性進(jìn)行了證明。同時(shí),本文中采用理想的四基色、五基色和六基色顯示系統(tǒng)對(duì)整體算法進(jìn)行了演示,并探究了解空間的相關(guān)性質(zhì)。結(jié)合立體色域的計(jì)算,通過(guò)遍歷解空間,可以很容易地得到理論最大色域體積。該算法可以推廣至任意種光源的多基色顯示系統(tǒng)。結(jié)合色域體積的計(jì)算,該理論可用于指導(dǎo)基色波長(zhǎng)、譜寬和亮度的選擇。在未來(lái)的工作中,將繼續(xù)探索基于該方法的顏色管理理論,提升色彩的還原程度和表現(xiàn)力。