周期性多層排樁低頻隔振及衰減域拓寬研究

高赟杰 姚文山 王子立 李泰灃 王業(yè)順

1.中建交通建設(shè)集團(tuán)有限公司， 北京 100071； 2.中國(guó)鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司 鐵道建筑研究所， 北京 100081；3.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院， 長(zhǎng)沙 410083

軌道交通在給人民帶來(lái)便利的同時(shí)，引起的環(huán)境振動(dòng)問(wèn)題也日趨嚴(yán)重，尤其是10 Hz以下的低頻軌道交通振動(dòng)，因傳播距離長(zhǎng)、衰減慢，危害性更大［1-2］。在眾多隔振手段中，周期性排樁作為非連續(xù)隔振屏障因施工方便、成本較低、適應(yīng)性強(qiáng)，具有較好的應(yīng)用前景［3］，如圖1所示。

圖1 周期性排樁隔振

針對(duì)周期性排樁隔振問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者開(kāi)展了大量研究。在數(shù)值研究方面，文獻(xiàn)［4］通過(guò)數(shù)值研究，發(fā)現(xiàn)擴(kuò)大樁基直徑可以拓寬帶隙頻率。文獻(xiàn)［5］模擬了不同填充材料下周期性填充排樁隔振效果，研究發(fā)現(xiàn)填充軟體材料時(shí)排樁隔振效果更好，且擴(kuò)大樁徑可以獲得20 Hz以內(nèi)的低頻帶隙。文獻(xiàn)［6-7］提出了一種周期排樁隔振時(shí)表面波識(shí)別新方法，并研究了周期排樁在層狀土中表面波隔振性能。文獻(xiàn)［8］提出可用COMSOL PDE模塊計(jì)算周期排樁的頻域和時(shí)域。為獲取更低頻率帶隙，文獻(xiàn)［9］研究發(fā)現(xiàn)在飽和土中，周期性管樁可獲得15～20 Hz低頻衰減域。文獻(xiàn)［10］通過(guò)數(shù)值模擬，研究了周期排樁對(duì)低頻瑞利波的隔振性，探索了不同樁截面的隔振效率，發(fā)現(xiàn)十字形截面隔振效果最好，并可以產(chǎn)生9.64 ～ 13.92 Hz的低頻帶隙。文獻(xiàn)［11］提出了大型尺寸隔振樁基，當(dāng)樁基直徑為8 m，排間距為10 m時(shí)可獲得10 Hz以下的帶隙。在試驗(yàn)方面，文獻(xiàn)［12］開(kāi)展周期性PVC管樁表面波隔振室內(nèi)試驗(yàn)，并將試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值模擬復(fù)頻散計(jì)算結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了周期排樁隔振性能。文獻(xiàn)［13］開(kāi)展原理性試驗(yàn)，研究周期性空心樁和填土樁隔振性，發(fā)現(xiàn)實(shí)測(cè)振動(dòng)衰減達(dá)50% ～ 98%，其中水平衰減優(yōu)于豎向衰減，且填土樁對(duì)振動(dòng)波衰減作用更好。文獻(xiàn)［14］通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)，研究了周期性空心孔的隔振性能，研究結(jié)果與數(shù)值模擬一致，驗(yàn)證了周期性超材料在土壤材料中的適用性。為獲得更低的隔振帶隙，基于局域共振機(jī)理設(shè)計(jì)樁基形式，文獻(xiàn)［15］提出了一種多層樁基結(jié)構(gòu)，通過(guò)復(fù)頻散研究發(fā)現(xiàn)，該樁基可以獲得低頻隔振帶隙。進(jìn)一步，文獻(xiàn)［16］研究了多層樁中管樁對(duì)隔振性能的影響，發(fā)現(xiàn)管樁可以增大樁-土彈性模量，提升隔振性能。

已有研究肯定了周期排樁的隔振性能，也提出了多種低頻隔振結(jié)構(gòu)，然而，只關(guān)注低頻帶隙，極少關(guān)注低頻帶隙寬度。通常帶隙頻率越低，帶隙寬度越窄。由于實(shí)際環(huán)境振動(dòng)主頻是一個(gè)范圍，而非某一固定值，極窄的帶隙很難覆蓋全部振動(dòng)主頻，不利于實(shí)際隔振應(yīng)用。因此，本文基于局域共振機(jī)理，首先在多層樁中引入一種截面帶孔軟體層，通過(guò)減小軟體層填充率來(lái)獲取更低頻帶隙；其次，針對(duì)不同低頻帶隙的多層樁，創(chuàng)新性提出“中心頻段連續(xù)”的排樁組合隔振方式，并通過(guò)頻域和時(shí)域模型深入分析其隔振機(jī)理。

1 周期結(jié)構(gòu)隔振

1.1 基本理論

假設(shè)土體為彈性體，在不考慮體積力影響下，彈性單元振動(dòng)形式可以表示為［17］

式中：?為哈密頓算子；r為位置矢量，r= （x，y，z）；u為位移矢量，u =（ux，uy，uz）T；ρ（r）為材料密度；λ（r）和μ（r）為拉梅常數(shù)。

以平面波為例，單元體位移［u(r，t)］為

式中：ω為圓頻率；U(r)為振幅。

把式（2）代入式（1）中，化簡(jiǎn)得到

在周期結(jié)構(gòu)中，根據(jù)bloch理論，有

式中：uk(r)為調(diào)幅函數(shù)；k為波矢。

在周期矢量為R的周期結(jié)構(gòu)中，調(diào)幅函數(shù)為周期函數(shù)，即

將式（5）代入式（4）中，可得周期性結(jié)構(gòu)中單胞邊界條件，即

將式（6）代入式（3），可得到關(guān)于k，ω和uk(r)的方程組，進(jìn)一步可獲得ω與k的特征方程。

以多層樁正方形排布為例，如圖2所示，晶格常數(shù)為a，不可約布里淵區(qū)是三角形區(qū)域ΓΧМ。只需將波矢（k）掃掠不可約布里淵區(qū)邊界，即可獲得ω與k之間的頻散曲線。本文利用COMSOL Multiphysics有限元軟件求解特征方程，并求得ω與k之間的頻散曲線。

圖2 多層樁正方形排布

1.2 典型頻散曲線

當(dāng)晶格常數(shù)a= 2 m，管樁外徑r2= 0.76 m，管樁厚度D= 0.02 m，樁芯半徑r1= 0.65 m時(shí)，材料力學(xué)參數(shù)取自文獻(xiàn)［11］，見(jiàn)表1，計(jì)算頻散曲線如圖3所示。在11.086 ～ 14.910 Hz內(nèi)形成了一條完全帶隙，意味著這個(gè)區(qū)間內(nèi)的彈性波將被周期結(jié)構(gòu)隔斷。帶隙下邊界出現(xiàn)了較長(zhǎng)的平直帶，表明帶隙機(jī)理為局域共振機(jī)理，該機(jī)理也是獲得低頻表面波帶隙的重要途徑。

表1 材料參數(shù)

圖3 頻散曲線

1.3 研究?jī)?nèi)容及方案

局域共振帶隙頻率雖然較低，但其帶隙寬度也較窄，從而限制了局域共振結(jié)構(gòu)隔振的實(shí)用性。本文主要針對(duì)周期性多層樁局域共振帶隙，通過(guò)優(yōu)化軟體層結(jié)構(gòu)及排樁組合形式，來(lái)獲取低頻寬衰減域。

降低軟體層填充率可以獲取更低頻率共振帶隙［18］。如圖4所示，本文提出一種截面帶孔型軟體層結(jié)構(gòu)，保持圓孔半徑恒定，通過(guò)控制圓孔數(shù)量來(lái)調(diào)節(jié)軟體層填充率。

圖4 截面帶孔型軟體層

本文包括三項(xiàng)研究?jī)?nèi)容：①研究軟體層填充率對(duì)周期性多層填充樁帶隙的影響。對(duì)截面帶孔型軟體層展開(kāi)研究，計(jì)算軟體層填充率（W）為35% ～ 100%時(shí)周期性多層填充樁的頻散曲線，分析軟體層填充率與帶隙的關(guān)系。②開(kāi)展頻域分析，研究有限數(shù)量排樁組合隔振特征，探索低頻寬帶的排樁組合方法。③通過(guò)時(shí)域分析，深入研究組合排樁隔振機(jī)理。研究技術(shù)路線如圖5所示。

圖5 技術(shù)路線

2 軟體層填充率對(duì)帶隙的影響

軌道交通振動(dòng)主要有高頻（100～400 Hz）、中頻（30～60 Hz）和低頻（0.5～10 Hz），其中低頻隔振難度最大。本節(jié)主要通過(guò)降低軟體層填充率來(lái)獲取周期性多層填充樁10 Hz以下的低頻帶隙。以截面帶孔軟體層結(jié)構(gòu)（參見(jiàn)圖4）為例，圓孔半徑設(shè)為0.04 m，通過(guò)調(diào)整圓孔數(shù)量來(lái)改變軟體層填充率。

具體分析前，定義帶隙的3個(gè)特征參量，即帶隙上邊界頻率（fUBF），帶隙下邊界頻率（fLBF）和帶隙寬度（fWBG）。

帶隙邊界頻率及寬度隨軟體層填充率變化曲線見(jiàn)圖6?？芍?，隨著軟體層填充率（W）的減小，帶隙邊界頻率及寬度先快速下降，在W= 80%時(shí)突變成緩慢下降。以帶隙寬度為例，當(dāng)W＞ 80%時(shí)，擬合直線斜率為0.081 6；當(dāng)W＜ 80%時(shí)，擬合直線斜率為0.033 5，前者斜率約為后者的2.5倍。這說(shuō)明填充率越低越容易實(shí)現(xiàn)對(duì)帶隙頻率的精確控制，同時(shí)說(shuō)明“低頻”與“寬帶”不可兼得，開(kāi)展低頻衰減域拓寬研究極為必要。

圖6 帶隙邊界及寬度隨軟體層填充率變化曲線

如圖6所示，當(dāng)頻率f= 10 Hz時(shí)，W約為84%。因此，為滿足10 Hz以下的低頻隔振，該結(jié)構(gòu)軟體層填充率必須小于84%。不同軟體層填充率下帶隙邊界頻率及寬度見(jiàn)表2?？芍?，W在35% ～ 85%時(shí)，帶隙頻率范圍為1.953 ～ 10.312 Hz，約占0 ～ 10 Hz頻域的80%。因此，理論上，只要合理配置不同填充率下的多層填充樁，即可滿足大部分低頻軌道交通隔振需求。

表2 不同軟體層填充率下帶隙邊界及寬度

3 頻域分析

6排樁基隔振計(jì)算模型見(jiàn)圖7，模型上下邊界為周期性邊界，模型右邊界為低反射邊界。振源設(shè)立于模型左邊界，周期排樁設(shè)立于振源與被保護(hù)區(qū)中間。用參照線B和A分別監(jiān)測(cè)有無(wú)排樁時(shí)的振動(dòng)位移，通過(guò)定義頻率響應(yīng)函數(shù)（FFRF）來(lái)衡量振動(dòng)衰減大小，單位：dB。即

圖7 有限排樁頻率響應(yīng)計(jì)算模型

3.1 樁基排數(shù)N影響

以截面帶孔型軟體層結(jié)構(gòu)為例，在軟體層填充率W= 80%時(shí)，研究樁基不同排數(shù)（N）下的隔振效果，見(jiàn)圖8。圖中Ω表示衰減域。

圖8 不同排數(shù)下頻率響應(yīng)曲線

由圖8可知，當(dāng)排樁數(shù)量N= 1 ～ 6時(shí)，相對(duì)于純土，有排樁的情況都產(chǎn)生了衰減域，且排樁數(shù)量越多，衰減域越寬，振動(dòng)衰減效果越好。以響應(yīng)函數(shù)FFRF=-20 dB作為振動(dòng)衰減限值，則當(dāng)N≥ 3時(shí)，衰減域?yàn)?.75 Hz ＜ Ω ＜ 9.10 Hz。這與表2中周期排樁計(jì)算的帶隙范圍6.885～9.115 Hz基本吻合，相互驗(yàn)證了求解的正確性，同時(shí)說(shuō)明如果想獲得較好的隔振效果，至少要布置3排樁基，這與既有研究結(jié)論一致［8，12-13，19］。

3.2 衰減域平穩(wěn)拓寬方法

如圖8所示，當(dāng)N≥ 3時(shí)，隨著排樁數(shù)量增加，頻率響應(yīng)曲線向下移動(dòng)，呈溝槽形，其中衰減域中心區(qū)域，約占總衰減域的1/3范圍，即f≈ 7.4～8.2 Hz，下降最明顯。定義衰減域中心1/3頻率范圍為中心頻段。中心頻段外的衰減域亦有衰減性，但衰減效果受排樁數(shù)量影響非常大，尤其是靠近衰減域邊界的區(qū)域，幾乎只有無(wú)限排樁（N→+∞）才有明顯衰減效果。由于中心頻段范圍振動(dòng)衰減最為明顯，因此推測(cè)當(dāng)采用有限排樁組合隔振時(shí)，只需滿足各類(lèi)排樁中心頻段連續(xù)，即可平穩(wěn)拓寬衰減域。

軟體層填充率60% ≤W≤ 80%時(shí)中心頻段見(jiàn)表3。其中f′UBF和f′LBF分別是中心頻段的上下邊界頻率?？芍?，當(dāng)W以5%的增長(zhǎng)速率從60%增至80%時(shí)，上一樁基的上邊界頻率f′UBF與下一樁基的下邊界頻率f′LBF接近。因此以W= 5%為增長(zhǎng)梯度時(shí)，60% ≤W≤80%區(qū)間相鄰兩樁基中心頻段連續(xù)。

表3 不同軟體層填充率下衰減域中心頻段

排樁組合方案見(jiàn)表4。在排樁數(shù)量N= 6時(shí)，設(shè)置8種研究方案。其中方案1為對(duì)照組，只包含一類(lèi)樁，方案2—方案5為二類(lèi)樁組合，方案6—方案8為三類(lèi)樁組合。根據(jù)連續(xù)性假設(shè)可知，方案1、方案5、方案8中心頻段連續(xù)，其余方案不連續(xù)。以x和xˉ分別代表二類(lèi)樁和三類(lèi)樁中心頻段不連續(xù)程度，x或xˉ數(shù)量越多表示越不連續(xù)。

表4 排樁組合方案

不同方案下頻率響應(yīng)曲線見(jiàn)圖9。

圖9 不同排樁組合方案下頻率響應(yīng)曲線

由圖9（a）可知，當(dāng)中心頻段不連續(xù)時(shí)（方案2—方案4），衰減域中心段出現(xiàn)大幅度鋸齒回彈或隆起現(xiàn)象，且該現(xiàn)象隨中心頻段不連續(xù)性增加而愈加明顯，說(shuō)明此時(shí)衰減域不能平穩(wěn)過(guò)渡，樁基組合效果較差。當(dāng)中心頻率連續(xù)時(shí)（方案5），衰減域中心段只有小幅度鋸齒回彈，外形與單類(lèi)排樁情況相似（參見(jiàn)圖8），整體呈溝槽形，說(shuō)明此時(shí)衰減域能平穩(wěn)過(guò)渡，樁基組合效果較好。

由圖9（b）可知：當(dāng)中心頻段連續(xù)時(shí)（方案8），相比不連續(xù)情況（方案6—方案7）衰減域過(guò)渡性更好，此結(jié)論和二類(lèi)樁情況一致，進(jìn)一步證明基于中心頻段連續(xù)性評(píng)價(jià)衰減域過(guò)渡效果的合理性。相比二類(lèi)樁組合的情況，三類(lèi)樁組合時(shí)衰減域整體過(guò)渡效果更好。以方案2和方案6為例，方案2衰減域中心出現(xiàn)了大范圍的隆起和鋸齒回彈區(qū)，而方案6衰減域中心只出現(xiàn)兩個(gè)相對(duì)較小的鋸齒回彈區(qū)。雖然方案2和方案6排樁數(shù)量相同，且組合排樁填充率W均介于60% ～ 80%，但方案6增加了W= 70%的兩根過(guò)渡樁基，使得中心頻段過(guò)渡性更好，因而衰減域過(guò)渡更平穩(wěn)。

由圖9（c）可知：隨著樁基種類(lèi)增多，響應(yīng)函數(shù)FFRF增大，衰減域向低頻移動(dòng)且跨度越來(lái)越寬。表5為不同方案下各FFRF限值對(duì)應(yīng)衰減域?qū)挾取？芍?dāng)FFRF=-20 dB和-40 dB時(shí)，方案8衰減域最寬，方案1最窄；當(dāng)FFRF= -60 dB時(shí)，方案5衰減域最寬，方案1最窄。說(shuō)明相比單類(lèi)樁（方案1），組合排樁的形式可以拓寬衰減域，且組合排樁類(lèi)型越多衰減域越寬。

表5 不同方案下各FFRF限值對(duì)應(yīng)衰減域?qū)挾?/p>

4 時(shí)域分析

根據(jù)文獻(xiàn)［20］，當(dāng)列車(chē)以380 km/h速度行駛時(shí)，距離路基30 m之外的地面，其振動(dòng)頻率主要分布在5～9 Hz。本文以6.0、6.5、7.0、7.5、8.0、8.5 Hz為例，通過(guò)構(gòu)建多頻率振動(dòng)函數(shù)［Y（t）］來(lái)研究組合排樁隔振性［4］，即

根據(jù)3.2節(jié)研究，當(dāng)選擇方案8進(jìn)行排樁組合時(shí)，在5.5～9.0 Hz內(nèi)形成衰減域。因此以方案8包含本次隔振的所有頻率，選擇對(duì)應(yīng)的排樁組合方式開(kāi)展隔振時(shí)域分析。不同時(shí)刻振動(dòng)位移見(jiàn)圖10。

圖10 不同時(shí)刻振動(dòng)位移

由圖10可知：隨著時(shí)間增長(zhǎng)，入射波從模型左側(cè)激發(fā)，并傳至排樁隔振區(qū)域。在排樁共振作用下，產(chǎn)生了反射波和透射波。從不同時(shí)刻振動(dòng)位移分布可知，當(dāng)入射波進(jìn)入排樁區(qū)域時(shí)，前3排樁發(fā)生了強(qiáng)烈共振現(xiàn)象，從而阻斷了振動(dòng)波傳播，再次表明前3排樁基是共振隔振的關(guān)鍵。入射波被阻隔后產(chǎn)生了較多反射波，只有少部分振動(dòng)穿過(guò)排樁區(qū)域，這是產(chǎn)生隔振效果的根本原因，同時(shí)說(shuō)明組合隔振方式可以對(duì)寬頻振動(dòng)產(chǎn)生較好的隔振效果。

5 結(jié)論

1）降低軟體層填充率可使周期性多層填充樁產(chǎn)生10 Hz以下的低頻帶隙，且隨著軟體層填充率降低，帶隙頻率先快速下降，在軟體層填充率為80%左右時(shí)改為緩慢下降。

2）當(dāng)多類(lèi)排樁中心頻段連續(xù)時(shí)，組合排樁頻率響應(yīng)曲線和單類(lèi)排樁情況相似，呈溝槽形，衰減域可以平穩(wěn)拓寬，且組合排樁種類(lèi)越多衰減域越寬。

3）采用組合排樁隔振時(shí)，前3排樁基共振現(xiàn)象最明顯。入射波與排樁相互作用后產(chǎn)生了較多反射波，是排樁隔振的根本原因。