木勺生產(chǎn)線機(jī)械臂的動(dòng)靜特性及結(jié)構(gòu)優(yōu)化

趙 輝 翟慶磊 曹文豪 張慶功 王錦添 李 明

（東北林業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150040）

隨著2023 年《商務(wù)領(lǐng)域經(jīng)營(yíng)者使用、報(bào)告一次性塑料制品管理辦法》的頒布，國(guó)家對(duì)于塑料制品的限制越來(lái)越嚴(yán)，同時(shí)鼓勵(lì)餐飲行業(yè)使用木制品餐具代替一次性塑料制品，木制品餐具企業(yè)的訂單數(shù)量不斷增加。然而，目前中小型企業(yè)木勺生產(chǎn)線仍采用人工上下料的方式，工人勞動(dòng)強(qiáng)度大，且工作效率較低。此外，由于木質(zhì)餐具需要在高溫下沖壓制作，這使得人工上下料的作業(yè)方式非常危險(xiǎn)。作為自動(dòng)化設(shè)備，龍門式機(jī)械臂被廣泛用于工廠車間，代替人工完成重復(fù)、枯燥且頻繁的工作[1-4]。

本文擬根據(jù)工廠實(shí)際使用的沖壓機(jī)（圖1），以現(xiàn)有的龍門式機(jī)械臂為基礎(chǔ)（圖2），通過對(duì)其結(jié)構(gòu)進(jìn)行改進(jìn)，設(shè)計(jì)可用于木勺生產(chǎn)線的機(jī)械臂。為確保機(jī)械臂順利實(shí)現(xiàn)上下料功能，要求其在上下料過程中左右晃動(dòng)幅度保持在2 mm以內(nèi)。鑒于此，本文使用建模軟件對(duì)初步設(shè)計(jì)的生產(chǎn)線機(jī)械臂進(jìn)行三維建模處理，并運(yùn)用建模軟件與有限元分析軟件的協(xié)同仿真技術(shù)對(duì)機(jī)械臂進(jìn)行靜態(tài)性能分析，確定其最不穩(wěn)定的工況，并選取此工況進(jìn)行動(dòng)態(tài)性能分析，運(yùn)用靈敏度分析機(jī)械臂的設(shè)計(jì)變量，篩選對(duì)其動(dòng)靜性能影響較大的設(shè)計(jì)變量。采用拉丁超立方抽樣對(duì)選取的設(shè)計(jì)變量進(jìn)行采樣，分別運(yùn)用Kriging模型與NPR模型構(gòu)建近似模型，并采用MOGA法（多目標(biāo)遺傳算法）對(duì)設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解，實(shí)現(xiàn)對(duì)生產(chǎn)線機(jī)械臂的優(yōu)化。

圖1 沖壓機(jī)結(jié)構(gòu)Fig.1 Stamping machine structure

圖2 生產(chǎn)線機(jī)械臂結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure of the robotic arm on the production line

1 靜態(tài)分析

為節(jié)約計(jì)算的時(shí)間，忽略生產(chǎn)線機(jī)械臂模型中的倒角、螺紋等不重要細(xì)節(jié)，同時(shí)忽略對(duì)生產(chǎn)線機(jī)械臂動(dòng)靜性能影響不大，且不在本研究結(jié)構(gòu)范圍內(nèi)的驅(qū)動(dòng)電機(jī)、真空吸盤等部件[5-10]。簡(jiǎn)化后的生產(chǎn)線機(jī)械臂結(jié)構(gòu)如圖3 所示。

圖3 生產(chǎn)線機(jī)械臂簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)Fig.3 Simplified structure of the production line robotic arm

龍門架采用的材料為6061 鋁合金，地腳采用的材料為HT200 灰鑄鐵，L型板與T型板采用的材料為1Cr13 不銹鋼，水平與豎直移動(dòng)機(jī)構(gòu)采用的為45 號(hào)鋼。材料的具體參數(shù)如表1 所示。

表1 材料具體參數(shù)Tab.1 Material specific parameters

根據(jù)生產(chǎn)線機(jī)械臂結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，可對(duì)其工況進(jìn)行適當(dāng)簡(jiǎn)化[3]，可分為四種極限工況：

1）工況一：豎直移動(dòng)機(jī)構(gòu)處于水平移動(dòng)機(jī)構(gòu)邊緣，且自身處于極限上工況；

2）工況二：豎直移動(dòng)機(jī)構(gòu)處于水平移動(dòng)機(jī)構(gòu)邊緣，且自身處于極限下工況；

3）工況三：豎直移動(dòng)機(jī)構(gòu)處于水平移動(dòng)機(jī)構(gòu)中心，且自身處于極限上工況；

4）工況四：豎直移動(dòng)機(jī)構(gòu)處于水平移動(dòng)機(jī)構(gòu)中心，且自身處于極限下工況。

生產(chǎn)線機(jī)械臂在進(jìn)行上下料作業(yè)時(shí)，所受到的外部載荷主要來(lái)源于木勺毛坯與真空吸盤，真空吸盤吸滿木勺毛坯時(shí)的質(zhì)量為11 kg。進(jìn)行網(wǎng)格劃分，同時(shí)以Force方式在T型板對(duì)應(yīng)位置添加所受的力，并且在龍門架地腳位置添加對(duì)應(yīng)的固定支撐。各個(gè)極限工況對(duì)應(yīng)的應(yīng)力如表2 所示。

表2 各個(gè)極限工況對(duì)應(yīng)的應(yīng)力Tab.2 Corresponding stresses for each extreme working condition

由表2 可知，當(dāng)豎直移動(dòng)機(jī)構(gòu)處于水平移動(dòng)機(jī)構(gòu)中心，且自身處于極限上工況時(shí)，其應(yīng)力值最大，此時(shí)的等效應(yīng)力圖與總變形圖分別如圖4 和圖5 所示。

圖4 等效應(yīng)力圖Fig.4 Equivalent stress diagram

圖5 總變形圖Fig.5 Overall deformation diagram

由圖4 和圖5 可知，生產(chǎn)線機(jī)械臂極限工況下最大應(yīng)力發(fā)生在L型板底部，數(shù)值為1.938 8 MPa，最大變形發(fā)生在T型板，數(shù)值為0.043 3 mm。在提升安全系數(shù)的情況下，生產(chǎn)線機(jī)械臂需要滿足的剛度與強(qiáng)度分別如下：

式中：fmax為生產(chǎn)線機(jī)械臂可以承受的最大靜變形量，mm；[f]為所選材料的許用撓度，mm；L為T型板的長(zhǎng)度，數(shù)值為196 mm。

式中：σmax為生產(chǎn)線機(jī)械臂在受到約束情況時(shí)的最大等效應(yīng)力，MPa；[σ]為L(zhǎng)型板所選材料1Cr13 不銹鋼的屈服強(qiáng)度，數(shù)值為245 MPa；1.5 為所選的安全系數(shù)。

根據(jù)公式（1）和（2）可知，生產(chǎn)線機(jī)械臂在極限工況下仍然符合使用的要求，且安全余量很大。同時(shí)，該工況為理論上的最危險(xiǎn)工況，其余工況的最大應(yīng)力值與最大變形均小于該工況。因此，選取該工況下的模型進(jìn)行下一步的動(dòng)態(tài)分析研究。

2 動(dòng)態(tài)分析

2.1 模態(tài)分析

為避免初步設(shè)計(jì)的生產(chǎn)線機(jī)械臂在上下料過程中出現(xiàn)共振問題，擬采用模態(tài)分析法[11-14]。

在有限元分析軟件中，對(duì)簡(jiǎn)化后的生產(chǎn)線機(jī)械臂進(jìn)行網(wǎng)格劃分，同時(shí)，在龍門架地腳位置添加對(duì)應(yīng)的固定支撐[15-16]，將分析設(shè)置中的最大模態(tài)階數(shù)調(diào)整成為10階[17]，求解后得出的前10階固有頻率如表3所示。

表3 前10 階固有頻率Tab.3 First 10 natural frequencies

在振動(dòng)過程中，由于外力變化速度太快，模型來(lái)不及變形或者變形速度達(dá)不到外力變化的速度，導(dǎo)致在固有頻率較低時(shí)模型變形程度較大。因此，本文選取前6階模態(tài)進(jìn)行重點(diǎn)研究[18]。

2.2 諧響應(yīng)分析

為了更加精確地分析在施加外部載荷后，生產(chǎn)線機(jī)械臂的振動(dòng)情況，需要對(duì)生產(chǎn)線機(jī)械臂進(jìn)行諧響應(yīng)分析[18]。

設(shè)置諧響應(yīng)分析的最大頻率為45 Hz，并且以Force方式在T型板對(duì)應(yīng)位置添加所受的外部載荷[18]。圖6為T型板在Y方向的振幅頻率響應(yīng)曲線。

圖6 T型板在Y方向的振幅頻率響應(yīng)曲線Fig.6 Amplitude frequency response curve of T-shaped plate in the Y direction

從圖6可知，在1～45 Hz頻率的影響下，生產(chǎn)線機(jī)械臂的T型板在Y方向的位移最大為4.155 5 mm，對(duì)應(yīng)的頻率為34.244 Hz。然而，生產(chǎn)線機(jī)械臂在上下料過程中所允許出現(xiàn)的最大位移為2 mm，因此需要進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

3 靈敏度分析與優(yōu)化

為實(shí)現(xiàn)對(duì)生產(chǎn)線機(jī)械臂的優(yōu)化，選擇生產(chǎn)線機(jī)械臂的立柱、橫梁、縱軸、L型板以及T型板進(jìn)行研究。同一結(jié)構(gòu)的參數(shù)分布如圖7 所示，立柱、橫梁與縱軸對(duì)應(yīng)的厚度參數(shù)位置如圖8 所示，L型板和T型板的參數(shù)位置分別如圖9 和10 所示。

圖7 同一結(jié)構(gòu)的參數(shù)分布Fig.7 Parameter distribution of the same structure

圖8 立柱、橫梁與縱軸對(duì)應(yīng)的參數(shù)分布Fig.8 Parameter distribution corresponding to columns,beams, and longitudinal axis

圖9 L型板的參數(shù)分布Fig.9 Parameter distribution of L-shaped plate

圖10 T型板的參數(shù)分布Fig.10 Parameter distribution of T-shaped plate

利用有限元分析軟件的Parameters Correlation模塊，對(duì)各個(gè)初始設(shè)計(jì)變量進(jìn)行計(jì)算，得出各個(gè)初始設(shè)計(jì)變量對(duì)于第四階固有頻率P19、生產(chǎn)線機(jī)械臂質(zhì)量P20 以及Y方向最大振幅P39 的靈敏度，分別如表4、5、6 所示。

表4 變量對(duì)第四階固有頻率的靈敏度Tab.4 Sensitivity of variables to the fourth order natural frequency

表5 變量對(duì)質(zhì)量的靈敏度Tab.5 Sensitivity of variables to mass

表6 變量對(duì)Y方向最大振幅的靈敏度Tab.6 Sensitivity of variables to the maximum amplitude in the Y direction

當(dāng)?shù)谒碾A固有頻率與初始設(shè)計(jì)變量成正比時(shí)，靈敏度為正值；當(dāng)?shù)谒碾A固有頻率與初始設(shè)計(jì)變量成反比時(shí)，靈敏度為負(fù)值。質(zhì)量、Y方向最大振幅與初始設(shè)計(jì)變量的關(guān)系亦是如此。因此，為了盡可能優(yōu)化生產(chǎn)線機(jī)械臂的性能，同時(shí)提高優(yōu)化效率，選取靈敏度絕對(duì)值較大的初始設(shè)計(jì)變量進(jìn)行優(yōu)化[19-21]。

最終，選取DS_D1、DS_D2、DS_D3、DS_D4、DS_D5、DS_D6、DS_D7、DS_D8、DS_D9、DS_D10、DS_D11、DS_D13、DS_D14、DS_D16、DS_D17、DS_D18作為優(yōu)化的對(duì)象。

在對(duì)生產(chǎn)線機(jī)械臂進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，為確保樣本分布均勻，并快速實(shí)現(xiàn)收斂，本文運(yùn)用多維分層的拉丁超立方抽樣，具體抽選樣本點(diǎn)的過程如圖11 所示。

圖11 拉丁超立方抽樣過程Fig.11 Latin hypercube sampling process

選取生產(chǎn)線機(jī)械臂設(shè)計(jì)變量作為輸入，以第四階固有頻率、質(zhì)量以及Y方向最大振幅作為輸出，選取樣本數(shù)量為140，隨機(jī)生成器種子數(shù)量為10，通過求解，獲得抽取的樣本以及對(duì)應(yīng)的輸出。

4 建立近似模型

在實(shí)際計(jì)算過程中，使用生產(chǎn)線機(jī)械臂直接進(jìn)行有限元優(yōu)化不僅需要反復(fù)調(diào)用模型，效率低，而且容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。因此，為節(jié)約計(jì)算時(shí)間，提高優(yōu)化效率，采用近似模型代替有限元分析。

考慮到生產(chǎn)線機(jī)械臂存在明顯的非線性，運(yùn)用Kriging模型以及NPR模型進(jìn)行有限元分析。Kriging模型存在明顯的平滑效應(yīng)，可以為生產(chǎn)線機(jī)械臂進(jìn)行無(wú)偏差預(yù)測(cè)[22]，其表達(dá)式為：

式中：GKriging(D)為是近似模型；gT(D)為全局模擬的多項(xiàng)式計(jì)算函數(shù)；β為回歸系數(shù)；Z(D)為是局部偏差。

NPR模型在使用時(shí)，不需要提前規(guī)定模型的形式，可以得到較寬的非線性預(yù)測(cè)，而且在進(jìn)行總體估計(jì)過程中，不依賴分布形式，具有偏差小、置信區(qū)間精確等特點(diǎn)[23]，其表達(dá)式為：

式中：Y為輸出值；Pi為固定設(shè)計(jì)點(diǎn)；i為抽取樣本的點(diǎn)數(shù)，i=1，…，m；m為總樣本的點(diǎn)數(shù)；f(Di)是關(guān)于優(yōu)化設(shè)計(jì)變量的均值函數(shù)；σ(Di)為關(guān)于優(yōu)化設(shè)計(jì)變量的方差函數(shù)；εi為隨機(jī)誤差；Di是第i個(gè)設(shè)計(jì)變量。

將拉丁超立方抽樣得到的樣本數(shù)據(jù)分別運(yùn)用Kriging模型和NPR模型構(gòu)建生產(chǎn)線機(jī)械臂的近似模型。由于輸入數(shù)據(jù)及輸出數(shù)據(jù)較多，本文僅對(duì)比Kriging模型和NPR模型中的兩組，其響應(yīng)面如圖12、13、14、15 所示。

圖12 運(yùn)用Kriging模型D1、D9、第四階固有頻率的響應(yīng)面Fig.12 Response surface of Kriging model D1, D9, and fourth order natural frequencies

圖13 運(yùn)用Kriging模型D11、D13、最大振幅的響應(yīng)面Fig.13 Response surface of maximum amplitude using Kriging models D11, D13

圖14 運(yùn)用NPR模型D1、D9、第四階固有頻率的響應(yīng)面Fig.14 Response surface of NPR model D1, D9, and fourth order natural frequencies

圖15 運(yùn)用NPR模型D11、D13、最大振幅的響應(yīng)面Fig.15 Response surface using NPR models D11, D13,and maximum amplitude

從圖12～15 中可以看出，運(yùn)用Kriging模型與NPR模型構(gòu)建的生產(chǎn)線機(jī)械臂的近似模型具有一定區(qū)別，運(yùn)用NPR模型構(gòu)建的近似模型的響應(yīng)面相對(duì)比較光滑，運(yùn)用Kriging模型構(gòu)建的近似模型的響應(yīng)面邊緣相對(duì)比較明顯，可為生產(chǎn)線機(jī)械臂做出較好的預(yù)測(cè)。

為進(jìn)一步檢驗(yàn)運(yùn)用Kriging模型與NPR模型構(gòu)建的生產(chǎn)線機(jī)械臂近似模型能否反映實(shí)際模型，需要對(duì)其進(jìn)行詳細(xì)評(píng)估，評(píng)估參數(shù)包括測(cè)定系數(shù)、均方根誤差、相對(duì)最大絕對(duì)誤差等。測(cè)定系數(shù)表示符號(hào)為R2，最佳值為1；均方根誤差表示符號(hào)為RMSE，最佳值為0；相對(duì)最大絕對(duì)誤差表示符號(hào)為RMAE，最佳值為0。測(cè)定系數(shù)、均方根誤差以及相對(duì)最大絕對(duì)誤差計(jì)算公式如下：

式中：yi為第i個(gè)測(cè)試點(diǎn)的仿真值；為第i個(gè)測(cè)試點(diǎn)的近似值；為測(cè)試點(diǎn)仿真值的平均值；m為總樣本的點(diǎn)數(shù)；k為測(cè)試的點(diǎn)數(shù)；S為標(biāo)準(zhǔn)差。

通過計(jì)算，Kriging模型與NPR模型構(gòu)建的生產(chǎn)線機(jī)械臂近似模型的測(cè)定系數(shù)、均方根誤差、相對(duì)最大絕對(duì)誤差如表7 所示。

表7 Kriging模型與NPR模型對(duì)比Tab.7 Comparison between Kriging model and NPR model

由表7 可知，Kriging模型擬合精度高于NPR模型，尤其是NPR模型Y方向最大振幅的均方根誤差偏離最佳值較遠(yuǎn)。因此，選擇Kriging模型構(gòu)建的近似模型。

5 結(jié)構(gòu)優(yōu)化

為方便分析，需要提前構(gòu)建生產(chǎn)線機(jī)械臂設(shè)計(jì)變量與響應(yīng)值之間的數(shù)學(xué)模型。將生產(chǎn)線機(jī)械臂設(shè)計(jì)變量作為變量，將生產(chǎn)線機(jī)械臂的第四階固有頻率P19以及質(zhì)量P20作為約束，將Y方向最大振幅P39最小作為目標(biāo)[24-29]，構(gòu)建好的數(shù)學(xué)模型為：

式中：Di為設(shè)計(jì)變量，Da為設(shè)計(jì)變量下限，Db為設(shè)計(jì)變量上限。

運(yùn)用MOGA法進(jìn)行求解優(yōu)化，設(shè)置最初生成10 000個(gè)樣本，每次迭代生成3 200個(gè)樣本，并在最多20次迭代中找到3個(gè)候選樣本，通過求解篩選出3個(gè)候選點(diǎn)，如表8所示。候選點(diǎn)1的優(yōu)先級(jí)高于候選點(diǎn)2與候選點(diǎn)3，因此選取候選點(diǎn)1進(jìn)行后續(xù)優(yōu)化[30-34]。

表8 候選點(diǎn)數(shù)值表Tab.8 Table of candidate point values

根據(jù)得到的候選點(diǎn)1，綜合考慮生產(chǎn)線機(jī)械臂設(shè)計(jì)變量與響應(yīng)值之間的關(guān)系，按照靈敏度正負(fù)關(guān)系，進(jìn)行人工調(diào)整，最終得出滿意的數(shù)值。生產(chǎn)線機(jī)械臂經(jīng)過調(diào)整后的尺寸如表9所示。

表9 調(diào)整后的尺寸Tab.9 Adjusted dimensions

按照人工調(diào)整得到的數(shù)據(jù)，重新對(duì)生產(chǎn)線機(jī)械臂進(jìn)行建模，并對(duì)其進(jìn)行靜態(tài)和動(dòng)態(tài)性能分析，優(yōu)化后的數(shù)據(jù)如表10所示。

表10 調(diào)整后的模型參數(shù)Tab.10 Adjusted model parameters

將優(yōu)化后生產(chǎn)線機(jī)械臂的動(dòng)靜性能與優(yōu)化前生產(chǎn)線機(jī)械臂的動(dòng)靜性能進(jìn)行對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化后生產(chǎn)線機(jī)械臂的最大等效應(yīng)力為2.124 6 MPa，低于其在受到約束情況時(shí)的最大等效應(yīng)力163.33 MPa，滿足靜強(qiáng)度要求；最大變形為0.023 547 mm，低于生產(chǎn)線機(jī)械臂可以承受的最大靜變形量0.194 mm，滿足靜剛度要求。此外，優(yōu)化后生產(chǎn)線機(jī)械臂的第四階模態(tài)固有頻率提升了5.15%，并且T型板在Y方向的振幅降低了73.20%，滿足生產(chǎn)線機(jī)械臂上下料過程中左右晃動(dòng)幅度小于等于2 mm的要求。同時(shí)，優(yōu)化后生產(chǎn)線機(jī)械臂的質(zhì)量也沒有顯著增加。

6 結(jié)論

本文運(yùn)用建模軟件與有限元分析軟件的協(xié)同仿真技術(shù)，研究了生產(chǎn)線機(jī)械臂的動(dòng)靜性能，通過Parameters Correlation模塊分析生產(chǎn)線機(jī)械臂設(shè)計(jì)變量對(duì)整體質(zhì)量、第四階模態(tài)固有頻率及Y方向最大振幅的靈敏度，篩選出對(duì)生產(chǎn)線機(jī)械臂影響較為明顯的設(shè)計(jì)變量。

運(yùn)用拉丁超立方抽樣法得到篩選出的設(shè)計(jì)變量及對(duì)應(yīng)輸出的樣本，通過Kriging模型與NPR模型分別構(gòu)建生產(chǎn)線機(jī)械臂的近似模型，通過分析響應(yīng)面及擬合精度得出，Kriging模型構(gòu)建的近似模型優(yōu)于NPR模型構(gòu)建的近似模型。運(yùn)用Kriging模型構(gòu)建的近似模型對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行了優(yōu)化，并對(duì)優(yōu)化后的數(shù)據(jù)進(jìn)行人工調(diào)整，再次建模并進(jìn)行靜態(tài)和動(dòng)態(tài)性能分析，結(jié)果表明，優(yōu)化后的生產(chǎn)線機(jī)械臂性能顯著提高，且其晃動(dòng)的幅度也滿足上下料精度要求。