基于改進(jìn)GM(1,1)模型的生活用水量預(yù)測

高華昆, 陶月贊, 楊 杰

(合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院,安徽 合肥 230009)

隨著城市化的發(fā)展和居民生活水平的提高,生活用水量持續(xù)增加,生活用水供需矛盾日益突出[1]。因此精準(zhǔn)合理地預(yù)測生活用水量,有助于緩解用水供需矛盾,也是水資源保護(hù)、管理的研究熱點(diǎn)。生活用水量從較長時(shí)間看,具有逐年增長的趨勢,為其預(yù)測奠定了基礎(chǔ)。常用的用水量預(yù)測方法有城市綜合指標(biāo)法、系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)法、灰色預(yù)測模型法等[2-4]。

灰色系統(tǒng)理論認(rèn)為任何隨機(jī)過程都可以看成一定時(shí)空區(qū)域內(nèi)變化的灰色過程,灰色系統(tǒng)即部分信息已知、部分信息未知的系統(tǒng),該理論是文獻(xiàn)[5]提出的,灰色預(yù)測模型是灰色系統(tǒng)理論的一部分。對于生活用水量的預(yù)測,已知信息為用水量,但是影響用水量的其他因素難以明確得知,即為未知信息,如氣候、行政管理措施、人口規(guī)模等,因此可將其視為灰色系統(tǒng),灰色預(yù)測模型是適用的[6]。該模型廣泛應(yīng)用于人口預(yù)測、經(jīng)濟(jì)預(yù)測、電力預(yù)測等[7-9]。自GM(1,1)模型提出至今,國內(nèi)外學(xué)者不斷對其進(jìn)行改進(jìn),文獻(xiàn)[10]基于新信息優(yōu)先原理提出非等間距GM(1,1)優(yōu)化模型,改進(jìn)后的模型能夠充分利用信息,從而提高預(yù)測精度;文獻(xiàn)[11]利用拉格朗日中值定理將背景值構(gòu)造為與初始值相關(guān)的變量,有效提高模型的預(yù)測精度;文獻(xiàn)[12]分析非等間距GM(1,1)模型中的背景值,提出用Newton插值和數(shù)值積分中的Newton-Cores、Gauss-Legendre公式分別重構(gòu)模型中的背景值,數(shù)據(jù)模擬結(jié)果充分說明新模型的有效性和優(yōu)越性;文獻(xiàn)[13]通過對非等間距原始序列背景值進(jìn)行改進(jìn),拓寬GM(1,1)模型的適用范圍和精準(zhǔn)度。

國內(nèi)外學(xué)者大多引入積分差值、向量等方法改進(jìn)GM(1,1)模型,這些方法雖然取得不錯(cuò)的預(yù)測效果,但是較為煩瑣,不利于預(yù)測結(jié)果的計(jì)算。通過對GM(1,1)模型的研究,發(fā)現(xiàn)灰色預(yù)測模型的誤差來源主要是初始條件和背景值[14-15]。本文在上述研究的基礎(chǔ)上引入冪函數(shù)優(yōu)化背景值、原始序列進(jìn)而改進(jìn)GM(1,1)模型,并將其應(yīng)用于河南省生活用水量預(yù)測中,以期能用少量的數(shù)據(jù)進(jìn)行中長期用水量預(yù)測,為城市供水管理、水資源持續(xù)利用提供幫助。

1 GM(1,1)模型的改進(jìn)

1.1 GM(1,1)模型及其局限分析

經(jīng)典GM(1,1)模型的構(gòu)造如下,原始序列x(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}為非負(fù)序列,經(jīng)累加得到:

x(1)(k)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)}

(1)

對序列x(1)(k)的緊鄰數(shù)據(jù)求均值,生成z(1)(k)序列,即

z(1)(k)=0.5x(1)(k)+0.5x(1)(k-1)

(2)

構(gòu)造矩陣B與矩陣Y,采用最小二乘法求參數(shù)a、b,即

Y=[x0(1)x0(1) …x0(n)]T,

[ab]T=(BTB)-1BTY

(3)

其中:a為發(fā)展系數(shù);b為灰色作用量。

GM(1,1)模型的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為:

(4)

(5)

按照式(1)～(5) 構(gòu)造的模型即為經(jīng)典GM(1,1)模型。

通過上述建模分析,可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)典GM(1,1)模型存在如下缺點(diǎn):

1) GM(1,1)模型的擬合和預(yù)測精度與a、b值有關(guān),a、b的計(jì)算數(shù)值依賴于原始序列和背景值,因此式(2)的構(gòu)造是造成擬合誤差的因素之一。

1.2 GM(1,1)改進(jìn)模型

經(jīng)典GM(1,1)模型在構(gòu)造緊鄰均值序列z(1)(k)時(shí),所使用的方法為式(2)。此方法使得x(1)(k)中的每個(gè)數(shù)據(jù)均處于同等地位,導(dǎo)致新數(shù)據(jù)比舊數(shù)據(jù)沒有優(yōu)勢,從而影響預(yù)測精度。為了削弱此種影響,使新數(shù)據(jù)占主導(dǎo)地位,文獻(xiàn)[12]運(yùn)用Newton-Cores、Gauss-Legendre公式進(jìn)行改進(jìn)背景值,此方法較為煩瑣,不利于計(jì)算。本文構(gòu)造新的序列Z(1)(k),即

(6)

式(6)對原有序列式(2)進(jìn)行改進(jìn),新序列可抽象為冪函數(shù)。當(dāng)N取2時(shí),Z(1)(k)與z(1)(k)兩序列相同。

按式(1)、式(6)、式(3)～(5) 順序重新構(gòu)造GM(1,1)模型,即優(yōu)化背景值進(jìn)而改進(jìn)GM(1,1)模型,為便于比較,本文將此種構(gòu)造方法記為模型Ⅱ。

經(jīng)典GM(1,1)模型在使用過程中需要原始數(shù)據(jù)離散且非負(fù),通過一次累加生成削弱隨機(jī)性、有規(guī)律的離散序列。為增大此種影響,使原始序列隨機(jī)性減小、規(guī)律性增大,更能適合GM(1,1)模型。文獻(xiàn)[16]引入緩沖算子對原始序列進(jìn)行改進(jìn),緩沖算子雖然能有效減小預(yù)測產(chǎn)生的誤差,但是需要滿足不動(dòng)點(diǎn)公理、信息充分利用公理、解析化和規(guī)范化公理方可使用。同時(shí),當(dāng)原始序列為振蕩序列時(shí),預(yù)測效果不如單調(diào)增長序列或單調(diào)衰減序列,而實(shí)際工程中很多原始數(shù)據(jù)是振蕩序列。因此本文在前人研究的基礎(chǔ)上進(jìn)行總結(jié),采用新的序列X(0)(k)代替原始序列x(0)(k)進(jìn)行模型優(yōu)化改進(jìn),新序列也可抽象為冪函數(shù)表示,即

(7)

按式(1)、式(7)、式(2)～(5) 順序重新構(gòu)造GM(1,1)模型,即優(yōu)化原始序列進(jìn)而改進(jìn)GM(1,1)模型,本文將此種構(gòu)造方法記為模型Ⅲ。

1.3 模型檢驗(yàn)

對灰色預(yù)測模型及其相關(guān)改進(jìn)模型的檢驗(yàn)方法較多,常用的預(yù)測性能檢驗(yàn)方法主要有均方誤差、均方根誤差、標(biāo)準(zhǔn)誤差、平均相對誤差等[6]。幾種檢驗(yàn)方法相似,為了運(yùn)算簡便,本文選取平均相對誤差法進(jìn)行預(yù)測性能檢驗(yàn)。常用的預(yù)測精度檢驗(yàn)方法主要有殘差檢驗(yàn)、灰色關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)、后驗(yàn)差檢驗(yàn)[17]。殘差檢驗(yàn)僅對殘差序列進(jìn)行檢驗(yàn)從而得出模型的預(yù)測性能,檢驗(yàn)序列較少,因此本文采用灰色關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)和后驗(yàn)差檢驗(yàn)。

令εi為原始數(shù)據(jù)與預(yù)測數(shù)據(jù)的殘差,即

在錨桿支護(hù)應(yīng)力場試驗(yàn)臺(tái)上安裝1根錨桿，對比分析金屬托盤和金屬托盤+木墊板2種情況下錨桿預(yù)緊力損失、轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)化、支護(hù)預(yù)應(yīng)力場分布。錨桿采用現(xiàn)場采取的長度2 400 mm、直徑22 mm的左旋無縱肋螺紋鋼錨桿。錨固方式為加長錨固，錨固長度1 200 mm。為了更好地模擬井下實(shí)際工作狀態(tài)，使用井下常用的金屬網(wǎng)作為護(hù)表構(gòu)件，安裝結(jié)果如圖3所示。

1) 平均相對誤差。平均相對誤差檢驗(yàn)是對模型預(yù)測和仿真性能的檢驗(yàn),可以有效地反映出預(yù)測模型的真實(shí)值與預(yù)測值之間的差異[18],即

(8)

(9)

(10)

其中:i=1,2,…,n;j=1,2,…,n。

(11)

其中

3) 后驗(yàn)差檢驗(yàn)。后驗(yàn)差檢驗(yàn)主要由均方差比C、小誤差概率P2個(gè)檢驗(yàn)組成,該方法以殘差序列為研究對象,檢驗(yàn)殘差的概率分布[21]。

(12)

(13)

(14)

(15)

平均相對誤差檢驗(yàn)是模型預(yù)測精度方面的檢驗(yàn)方法,絕對關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)、后驗(yàn)差檢驗(yàn)是模型擬合精度方面的檢驗(yàn)。相對誤差越小,模型預(yù)測精度越高;C越小,模型預(yù)測精度越高,表明原始數(shù)據(jù)很離散,而模型計(jì)算值與實(shí)際值之間并不太離散;P和C同時(shí)進(jìn)行精度刻畫,P越大,精度越高,表示殘差與殘差平均值之差小于給定值0.674 5S1的點(diǎn)較多[22]。通過檢驗(yàn)可將模型劃分為4個(gè)等級,模型精度等級參數(shù)取值見表1所列[23]。

表1 模型精度等級參數(shù)取值

2 實(shí)例分析

2.1 數(shù)據(jù)來源

為了便于與其他改進(jìn)方法進(jìn)行比較,本文采用文獻(xiàn)[24]提供的河南省2012—2018年生活用水量數(shù)據(jù)及改進(jìn)模型(記為模型Ⅰ)進(jìn)行橫向?qū)Ρ?結(jié)果見表2所列。通過查閱《河南省水資源公報(bào)》,利用2019—2020年實(shí)際用水量數(shù)據(jù)作為預(yù)測檢驗(yàn)。模型Ⅰ與文獻(xiàn)[10]所提出的改進(jìn)模型相似,改進(jìn)背景值計(jì)算方法進(jìn)而改進(jìn)GM(1,1)模型。

表2 河南省2012-2018年居民生活用水量 單位:108m3

2.2 模型構(gòu)建

對表2中的數(shù)據(jù)分別使用經(jīng)典GM(1,1)模型、模型Ⅰ、模型Ⅱ、模型Ⅲ建模,對生活用水量進(jìn)行模擬預(yù)測。模型Ⅱ、模型Ⅲ構(gòu)建時(shí),N與M的選擇至關(guān)重要,經(jīng)過多次重復(fù)試驗(yàn),N取3、M取2時(shí),效果最好。

經(jīng)典GM(1,1)模型為:

(16)

模型Ⅰ為:

(17)

模型Ⅱ?yàn)?

(18)

模型Ⅲ為:

(19)

通過式 (16)～(19) 求出4種模型的模擬預(yù)測值和誤差結(jié)果,見表3所列。

表3 2012-2018年4種模型用水量模擬結(jié)果對比

由上述分析及表3可知:模型Ⅰ、模型Ⅱ同為優(yōu)化背景值進(jìn)而改進(jìn)GM(1,1)模型,但模型Ⅰ出現(xiàn)的最大誤差年份為2014年,誤差為3.02%;模型Ⅱ出現(xiàn)的最大誤差年份為2016年,誤差為3.42%;GM(1,1)模型的最大誤差年份為2014年,誤差為2.84%。對比模型Ⅰ、模型Ⅱ發(fā)現(xiàn)使用積分的方法改進(jìn)背景值優(yōu)于引用冪函數(shù)的方法改進(jìn)背景值,但兩者改進(jìn)后的模型均出現(xiàn)了最大誤差大于GM(1,1)模型。模型Ⅲ對比GM(1,1)模型,則最大誤差大幅減小。模型Ⅲ出現(xiàn)最大誤差的年份也是2014年,但僅為1.40%。

經(jīng)典GM(1,1)模型、模型Ⅰ、模型Ⅲ產(chǎn)生最大誤差的年份為2014年,通過2014年實(shí)際用水量以及預(yù)測用水量發(fā)現(xiàn)4種模型的預(yù)測值均大于實(shí)際值。此種現(xiàn)象普遍存在于GM(1,1)模型在進(jìn)行等間距預(yù)測時(shí),原始數(shù)據(jù)變化差異較大,從而造成預(yù)測誤差變大。模型Ⅲ雖進(jìn)行了優(yōu)化原始序列,減少此類誤差產(chǎn)生,但無法消除。

2.3 模型檢驗(yàn)

采用式(8)～(15)檢驗(yàn)4種模型的模擬預(yù)測效果,結(jié)果見表4所列。

表4 4種模型的精度檢驗(yàn)

由表4可知,4種模型在絕對關(guān)聯(lián)度、均方差比值和小誤差概率檢驗(yàn)相差不大,絕對關(guān)聯(lián)度大于0.900,均方差比值小于0.350,小誤差概率大于0.950。在不計(jì)入平均相對誤差指標(biāo)分析時(shí),4種模型的精準(zhǔn)度為一級精度模型。通過平均相對誤差檢驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn),模型Ⅲ的平均相對誤差最小,經(jīng)典GM(1,1)模型、模型Ⅰ、模型Ⅱ產(chǎn)生的平均相對誤差基本相同,約為模型Ⅲ平均相對誤差的2倍。

本文所采用的2種改進(jìn)方法在模型擬合精度方面沒有顯著提高,但模型Ⅲ在預(yù)測精度上有顯著提高,模型Ⅱ卻無明顯變化。這表明模型Ⅲ更具優(yōu)越性,具有較好的工程應(yīng)用價(jià)值。

2.4 用水量預(yù)測

通過上述分析可知模型Ⅲ更具預(yù)測的優(yōu)越性,但上述4種模型在精度等級上都可以進(jìn)行中長期用水量預(yù)測。

為了檢驗(yàn)?zāi)Ｐ廷笫欠窀m合河南省生活用水量預(yù)測,本文根據(jù)上述4種模型,通過式(13)～(16)預(yù)測2019—2020年用水量,結(jié)果見表5所列。

表5 2019—2020年4種模型用水量誤差對比

雖然4種模型都適用于河南省生活用水量預(yù)測,但由表5可知,模型Ⅲ進(jìn)行河南省生活用水量預(yù)測時(shí)效果最好。4種模型的平均相對誤差分別為4.76%、4.91%、3.70%、0.63%,模型Ⅲ2019年、2020年的誤差分別為0.99%、0.27%,預(yù)測精度遠(yuǎn)超前3種模型,更適合進(jìn)行河南省生活用水量預(yù)測。模型Ⅲ的預(yù)測結(jié)果較為理想,但在實(shí)際問題使用時(shí)會(huì)受到其他因素的影響,如引江濟(jì)淮工程、《地下水管理?xiàng)l例》施行等,造成供水水源、水量發(fā)生變化。這些變化在一定程度上會(huì)影響預(yù)測結(jié)果的精準(zhǔn)度,因此在作出預(yù)測前要求用水過程不會(huì)發(fā)生結(jié)構(gòu)性變化。

綜上所述,使用模型Ⅲ進(jìn)行河南省生活用水量預(yù)測,預(yù)測出2021—2025年用水量分別為44.02×108、45.05×108、46.11×108、47.20×108、48.31×108m3。

3 結(jié) 論

1) 對4種模型進(jìn)行比較,可知模型Ⅰ、模型Ⅱ在理論上屬于構(gòu)造新的緊鄰均值序列,兩者模擬結(jié)果及相應(yīng)預(yù)測的誤差相近,較GM(1,1) 模型精度略有提高;模型Ⅲ屬于優(yōu)化原始值改進(jìn)GM(1,1)模型,其預(yù)測精度明顯高于前3種改進(jìn)模型。引入冪函數(shù)優(yōu)化原始值比優(yōu)化背景值更能提高GM(1,1)模型的預(yù)測精度。

2) 模型Ⅲ對河南省生活用水量進(jìn)行中長期預(yù)測,預(yù)測效果在4種模型中相對最優(yōu)。在滿足用水過程中不發(fā)生結(jié)構(gòu)性變化時(shí),預(yù)測2025年用水量為48.31×108m3。但在實(shí)際用水過程發(fā)生變化時(shí),使預(yù)測結(jié)果精準(zhǔn)度進(jìn)一步提高是下一階段研究的重點(diǎn)。