利用加速度瞬心分析剛體平面運(yùn)動(dòng)初瞬時(shí)問(wèn)題

黃俊杰

(江蘇省海門中學(xué),江蘇 南通 226100)

1 加速度瞬心

(1) 定義:[1]平面運(yùn)動(dòng)剛體,任一瞬時(shí)平面圖形上總有一點(diǎn)加速度為零,此點(diǎn)稱為加速度瞬心,記為Q.

圖1 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)示意圖

圖2 各點(diǎn)加速度分布圖

2 加速度瞬心在剛體平面運(yùn)動(dòng)初瞬時(shí)問(wèn)題中的應(yīng)用

一般情況下,剛體平面運(yùn)動(dòng)的角速度和角加速度不為零且未知,故加速度瞬心難以確定,但在某些特殊情況下,例如剛體平面運(yùn)動(dòng)初瞬時(shí)問(wèn)題中,加速度瞬心則較為容易確定.

圖3 示意圖

以加速度瞬心Q為參考點(diǎn),角動(dòng)量定理的形式為MQ=JQβ,利用對(duì)加速度瞬心的角動(dòng)量定理來(lái)分析剛體初瞬時(shí)問(wèn)題是一種重要的方法.

例1.如圖4所示,將一根質(zhì)量為m、長(zhǎng)度為L(zhǎng)的勻質(zhì)細(xì)桿用兩根豎直細(xì)繩從兩端掛起來(lái),桿與水平線的夾角為θ,現(xiàn)突然剪斷右邊細(xì)繩O2B,求此瞬時(shí)細(xì)繩O1A的張力是多大?

圖4 示意圖

研究剛體平面運(yùn)動(dòng)初瞬時(shí)問(wèn)題的常規(guī)方法涉及到基點(diǎn)法的加速度合成、對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量定理、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,加速度合成關(guān)系較為復(fù)雜,方程較多,計(jì)算量較大.利用對(duì)加速度瞬心的角動(dòng)量定理則能夠快速得到角加速度,避免了復(fù)雜的加速度合成分析,使問(wèn)題分析更加簡(jiǎn)便.

例2.如圖5所示,將一根質(zhì)量為m、長(zhǎng)度為L(zhǎng)的勻質(zhì)桿AB用兩根細(xì)繩從兩端掛起來(lái),細(xì)繩OA與桿AB垂直,細(xì)繩OA長(zhǎng)度也為L(zhǎng),細(xì)繩OB豎直,桿B端恰好與光滑水平地面接觸,沒(méi)有擠壓.現(xiàn)突然剪斷細(xì)繩OB,求此瞬時(shí)細(xì)繩OA的張力T和地面的支持力N.

圖5 示意圖

解析:本題多了個(gè)約束,桿B端只能沿水平方向運(yùn)動(dòng),剪斷細(xì)繩OB瞬間,受力分析如圖6所示,繩OA拉力為T,重力為mg,水平面支持力為N,桿順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)角加速度為β.

圖6 受力分析圖

A點(diǎn)繞O轉(zhuǎn)動(dòng),則此時(shí)aA⊥OA,B點(diǎn)加速度aB水平向左,作aA和aB的垂線,相交于Q點(diǎn),Q點(diǎn)為該瞬時(shí)桿AB轉(zhuǎn)動(dòng)的加速度瞬心.由于OA⊥AB,此瞬時(shí)加速度瞬心Q點(diǎn)與O點(diǎn)重合.

利用加速度瞬心可快速求解桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度,只需引入未知參量β、T、N、aC,再結(jié)合質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量定理便可解決問(wèn)題.

例3.如圖7所示的平面系統(tǒng),勻質(zhì)細(xì)桿AB重為G1=m1g,長(zhǎng)為L(zhǎng),上端B靠在光滑的豎直墻壁上,下端A以鉸鏈和一勻質(zhì)圓柱的中心相連,圓柱重為G2=m2g,半徑為R,放在粗糙的地面上,從圖示位置(θ=45°)由靜止開(kāi)始做純滾動(dòng),求初瞬時(shí)A點(diǎn)的加速度、桿AB的角加速度β1和圓柱的角加速度β2.

圖7 示意圖

圖8 運(yùn)動(dòng)分析

此瞬時(shí)桿AB的加速度瞬心.

由桿對(duì)加速度瞬心Q的角動(dòng)量定理

MQ=JQβ1得

(1)

對(duì)圓柱進(jìn)行分析,如圖9所示,初瞬時(shí),圓柱做純滾動(dòng),角速度為ω2=0,角加速度為β2,與地面接觸點(diǎn)D的速度vD=vA-ω2R=0,得到vA=ω2R,aA=β2R.初瞬時(shí),ω2=0,D相對(duì)圓柱中心A的向心加速度anDA=0,相對(duì)切向加速度aτDA=β2R,方向與aA相反,則aD=aA+aτDA+anDA=0,D點(diǎn)是圓柱體初瞬時(shí)的加速度瞬心.

圖9 運(yùn)動(dòng)分析

列圓柱對(duì)加速度瞬心D的角動(dòng)量定理MD=JDβ2得

(2)

加速度關(guān)系為

(3)

3 小結(jié)

本文介紹了加速度瞬心的概念、幾何位置特征及物理意義,以及在剛體平面運(yùn)動(dòng)初瞬時(shí)情況下加速度瞬心的簡(jiǎn)易確定方法,并應(yīng)用加速度瞬心的物理意義以及相對(duì)加速度瞬心的角動(dòng)量定理分析了剛體平面運(yùn)動(dòng)初瞬時(shí)問(wèn)題,可以看出應(yīng)用加速度瞬心能夠避免復(fù)雜的加速度合成關(guān)系,快速得出剛體角加速度關(guān)系,加速度瞬心方法是分析剛體平面運(yùn)動(dòng)初瞬時(shí)問(wèn)題的一種較為簡(jiǎn)潔重要的思路.當(dāng)然,在剛體平面運(yùn)動(dòng)一般過(guò)程中,由于角速度不為零,加速度瞬心很難確定,加速度瞬心方法也就失去了作用.