基于MIAEKF的多溫度下鋰電池SOC估計

袁照凱，范秋華，王冬青，孫天民

（青島大學電氣工程學院，山東 青島 266071）

目前，由于儲能的重要性日益增加以及鋰電池在各個領域中的廣泛使用，鋰離子電池的研究成為活躍且至關重要的課題。對電池性能的研究主要體現(xiàn)在材料工藝性能[1-4]和應用性能[5-8]上，在以電池管理系統(tǒng)(BMS)為代表的應用中，電池SOC 的估計，因其準確的預測決定了電池的有效使用并深刻影響著BMS 的高效運行，因此受到了世界學者的廣泛關注。

目前，常用的估計SOC的方法如下：

（1）開路電壓(OCV)方法：該方法根據(jù)從實驗數(shù)據(jù)或OCV-SOC曲線擬合中獲得的電池開路電壓與SOC 之間的關系來估計SOC。這是一種直接而有效的方法，但需要靜置一段時間后才能進行準確的OCV測量。因此，其使用范圍有限。

（2）安時(AH)積分方法：此方法根據(jù)SOC 的定義，通過對一段時間內的電流進行積分來估算SOC。但是，由于傳感器不準確和初始值的影響，它可能會累積誤差。因此，它并不適合在鋰電池長期充放電的工作環(huán)境中進行SOC估計。

（3）基于模型的方法：這些方法利用電池模型來估計SOC。主要分為電化學模型(EM)和等效電路模型(ECM)。EM 是一種基于電池內部化學反應和電化學特性建立的方法，耦合關系復雜，更適用于實驗室分析而非BMS場景。ECM是一種常見的SOC 估計方法，因為它具有明確的物理含義和準確捕獲電池動力學的能力[9]?；び^測器法[10]和H∞濾波法[11]都是基于此進行SOC 估計，但前者輸出存在抖動，后者計算復雜。此外，ECM 易于表達以SOC 為狀態(tài)的狀態(tài)空間方程，因此可以使用卡爾曼濾波(KF)進行狀態(tài)估計。由于鋰電池的過程模型和測量模型都是非線性函數(shù)，無跡卡爾曼濾波(UKF)和擴展卡爾曼濾波(EKF)能夠有效處理非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計問題而被廣泛用于鋰電池的SOC 估計[12]。然而，UKF 需要權衡其計算復雜度、無跡點個數(shù)及權重等參數(shù)調整難度、采樣點的選取以及對模型和數(shù)據(jù)的要求。EKF的估計精度對過程和測量噪聲的初始值很敏感，因此容易出現(xiàn)發(fā)散，為此，Tian 等[13]運用自適應擴展卡爾曼濾波(AEKF)，實現(xiàn)噪聲協(xié)方差矩陣的自適應匹配以優(yōu)化濾波性能。雙擴展卡爾曼濾波器(DEKF)可以在多時間尺度上聯(lián)合估計電池狀態(tài)和參數(shù)[14-15]。Li等[16]、Gu 等[17]介紹了多新息擴展卡爾曼濾波(MIEKF)及其改進算法，將當前時間的單一新息擴展到包含當前和先前時間步長信息的新息向量來改善過濾過程，誤差信息的適量增加有助于更準確地估計SOC[18]。孫潔等[19]結合多創(chuàng)新的自適應擴展卡爾曼濾波算法對SOC 進行估算，取得了較好的估計效果。

（4）基于數(shù)據(jù)驅動的方法：隨著機器學習技術和人工智能的進步，如循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(RNN)和長短時記憶網(wǎng)絡(LSTM)方法逐漸應用在SOC 估計中[20-22]，通過捕捉電池充放電過程中的時序信息，從而實現(xiàn)高精度的SOC 估算。數(shù)據(jù)驅動的方法通常依賴于已有的充放電數(shù)據(jù)，并根據(jù)這些數(shù)據(jù)進行模型的訓練優(yōu)化進而進行預測。然而，電池的性能和行為受到多種因素的影響，例如溫度、壽命、充放電速率、工況等。如果這些因素在歷史數(shù)據(jù)中沒有得到充分考慮，預測的精度可能會受到影響。

最近的研究主要集中在提高SOC 估計方法在各種條件下的準確性和自適應性，包括不同的溫度條件和工況條件，正在努力開發(fā)能夠處理參數(shù)變化和不確定性的自適應算法[23-26]。運用結合模型和數(shù)據(jù)驅動的雙驅動方法[27-28]，或開創(chuàng)卡爾曼濾波算法與機器學習的集成算法等[29]，以確保在實際應用中實現(xiàn)可靠的SOC 估計。本工作通過函數(shù)模型引入MIAEKF算法，在保證估計精度的同時自適應溫度變化引起的ECM 參數(shù)變化，實現(xiàn)了在多溫度下良好的SOC估計效果。

1 電池建模

合適的電池模型是基于模型的方法實現(xiàn)鋰電池SOC 精確估計的必要條件。等效電路模型結構相對簡單、計算量小、精準度較好。

1.1 電池的電路模型

常見的電池等效電路模型主要包括Rint 模型、Thevenin 模型、雙極化模型、PNGV 模型、GNL模型等[30]。本工作選擇了結構復雜度適中、精度較高、易于結合估計電池SOC算法的雙極化模型(又稱為二階RC電路模型)，如圖1所示。

圖1 雙極化電池等效電路模型Fig.1 Dual polarization battery equivalent circuit model

由于形成的機理不同，電池的內阻可以劃分為歐姆內阻和極化內阻，歐姆內阻等效為離子在運動過程中受到的阻力，用電阻R0來描述。極化內阻來源于材料自身的特性，可細分為電化學極化內阻和濃差極化內阻，用阻容網(wǎng)絡R1C1、R2C2來描述[31]。U為電池端電壓，I為電池端電流，規(guī)定的電流方向放電為正，充電為負。

根據(jù)基爾霍夫電壓定律，k時刻端電壓為：

對阻容網(wǎng)絡R1C1、R2C2的電壓全響應包括零狀態(tài)響應和零輸入響應：

式中，Ik-1表示k-1時刻的電流；U1,k-1、U2,k-1表示k- 1時刻的電壓；Ts表示k-1時刻到k時刻的采樣時間；時間常數(shù)τ1=R1C1，τ2=R2C2。

則電壓全響應：

由SOC 的定義可知，k時刻的SOC 可以表示為：

式中，η表示通過充放電實驗獲得的充放電效率，通常，充電時η= 1，放電時η＜1；QN表示電池額定容量或最大可用容量。由雙極化等效電路模型可知鋰電池的狀態(tài)變量設置為xk=[U1,k,U2,k, SOCk]T；

則由公式(2)～公式(5)可知，帶有過程噪聲wk-1的電池狀態(tài)空間方程可以寫為：

式中，wk-1表示均值為0、協(xié)方差矩陣為Qk-1的噪聲，即wk-1～(0,Qk-1)。

由式(1)可得帶有觀測噪聲vk的觀測方程：

式中，vk表示均值為0、協(xié)方差矩陣為Rk的噪聲，即vk～(0,Rk)。

1.2 不同溫度下的ECM參數(shù)辨識

本工作實驗數(shù)據(jù)來自于McMaster 大學公開的鋰離子電池測試數(shù)據(jù)集，該數(shù)據(jù)集提供了多個溫度條件下的多種測試工況的鋰離子電池充放電數(shù)據(jù)[32]。由數(shù)據(jù)集中每個溫度條件下的混合動力脈沖能力特性(hybrid pulse power characteristic，HPPC)實驗工況測試數(shù)據(jù)，可以得到不同溫度下的不同SOC 階段對應開路電壓(OCV)的值。對相同SOC 下的OCV 取平均值，通過多項式函數(shù)擬合，可以得到多溫度下的SOC-OCV 曲線，如圖2所示。

圖2 多溫度下的SOC-OCV曲線Fig.2 SOC-OCV curves under multiple temperature conditions

由于在ECM中的電池參數(shù)與電池當前SOC和溫度有關，為了保證SOC 估計精度，分別對不同溫度下電池的不同SOC階段進行相應的參數(shù)辨識。應用FFRLS 對鋰電池在-10 ℃、0 ℃、10 ℃、25 ℃、40 ℃條件下的洛杉磯92(LA92)工況測試數(shù)據(jù)進行參數(shù)辨識，得到在不同溫度條件下不同放電程度時R0、R1、C1、R2、C2的值。

由二階RC 等效電路模型可以推出其在復頻域中的輸出方程為：

令E(s)=Uoc(s)-U(s)，則電池模型的傳遞函數(shù)可以表示為：

式中，G(s)代表電路阻抗；τ1、τ2表示極化時間常數(shù)，τ1=R1C1，τ2=R2C2。根據(jù)雙線性變換原理

式中，T表示采樣時間，離散化G(s)可得

式中，α1、α2、β0、β1、β2表示待定系數(shù)，則時域離散化表達為：

將公式(12)變換為最小二乘法的形式：

則

由式(13)估算出θ的最優(yōu)估計。由式(9)～式(11)可得模型參數(shù)求解公式如下：

在不同溫度條件下測試HPPC 工況的放電數(shù)據(jù)，SOC=100%時的離線參數(shù)辨識結果如表1 所示，作為FFRLS辨識過程的初值。

表1 SOC=100%時HPPC的參數(shù)辨識結果Table 1 Parameter identification results for HPPC at SOC=100%

電路參數(shù)與SOC、T存在非線性關系，將辨識結果的離散點作為樣本點利用Matlab 軟件進行插值擬合得到關系式(15)，函數(shù)模型擬合效果如圖3所示。

圖3 電路參數(shù)R0、R1、C1、R2、C2與SOC、T的三維擬合效果圖Fig.3 The 3D fitting effect graph of circuit parameters R0, R1, C1, R2, and C2 with respect to SOC and temperature (T)

選取40 ℃下的LA92工況數(shù)據(jù)對參數(shù)辨識結果的精確性進行驗證。由圖4可知參數(shù)辨識結果具有較高精確性，為下文SOC 估計提供了精確的電池模型。

圖4 40 ℃下的LA92工況數(shù)據(jù)模型驗證效果Fig.4 Verification results of the LA92 driving cycle data model at 40 ℃

2 基于MIAEKF的狀態(tài)估計

2.1 多新息自適應擴展卡爾曼濾波(MIAEKF)算法

由于電池充放電是一個非線性過程，因此用卡爾曼濾波估計電池SOC 時需要用泰勒公式將非線性數(shù)學模型進行展開并去掉高階項來線性化模型。上文式(6)、式(7)可以簡化表達為如下形式：

將f(·)、h(·)分別在k-1 時刻的狀態(tài)后驗估計值處、k時刻的狀態(tài)先驗估計值處展開得：

因此，當已知k-1 時刻的后驗估計值x?k-1與狀態(tài)向量的協(xié)方差矩陣Pk-1時，k-1 到k時刻的狀態(tài)向量先驗估計值可以表示為：

相應先驗狀態(tài)協(xié)方差:

則此時的新息為：

計算卡爾曼增益：

狀態(tài)協(xié)方差更新：

本工作在EKF算法中通過構建滑動窗口，分別用其中的殘差數(shù)據(jù)、新息數(shù)據(jù)自適應更新窗口最新時刻的協(xié)方差矩陣[33]，用開窗平均的方法代替?zhèn)鹘y(tǒng)自適應因子的構建，并融合多新息理論，將窗口的均值新息數(shù)據(jù)乘以合理的新息均值系數(shù)用于卡爾曼濾波的后驗估計之中。

當窗口長度為a時，且k時刻之前的歷史數(shù)據(jù)點數(shù)大于a時，令

式中，λ代表窗口長度內新息的均值系數(shù)，對估計精度存在一定影響。

k時刻的后驗估計狀態(tài)更新：

觀測值后驗估計值：

后驗殘差為：

令

通過k時刻之前窗口內的新息數(shù)據(jù)、殘差數(shù)據(jù)，自適應調節(jié)協(xié)方差矩陣Q、R。

式(19)～式(30)體現(xiàn)了MIAEKF 算法的具體內容。算法流程圖如圖5所示。

簡易水位站即為水尺樁，可采用木質、石質或不銹鋼材質。對于無條件建樁的監(jiān)測站，選擇在離河邊較近的固定建筑物或巖石上標注水位刻度；水位監(jiān)測尺的刻度以方便監(jiān)測員直接讀數(shù)為設置原則，并根據(jù)各監(jiān)測點實際情況，標注預警水位。在河南、陜西等省，為了方便預警，直接在水尺上標注兩個預警水位，而不標注水位刻度。

圖5 MIAEKF算法流程圖Fig.5 The steps of the MIAEKF algorithm

2.2 實驗數(shù)據(jù)數(shù)值驗證

2.2.1 算法性能驗證

為驗證MIAEKF的有效性，首先應該找到最優(yōu)的自適應窗口長度a的值，并在此基礎上討論引入多新息均值來提高估計精度，以及合理的新息均值系數(shù)λ。

將MIAEKF 算法中的式(25)、式(26)處，改寫為單新息后驗估計：

在40 ℃ LA92 工況下，驗證單新息AEKF 算法，并討論窗口長度a的值對估計精度的影響。分別驗證a=15、25、50、100、200 時的SOC 估計精 度 。 以 SOCerror的 均 方 根 (RMSE =n為數(shù)據(jù)長度)、最大估計誤差(Maxsocerror)為參考指標，尋找最優(yōu)窗口值，結果如表2所示。

表2 不同窗口長度下AEKF估計精度Table 2 Estimation accuracy of AEKF for different window lengths

圖6表明了在不同窗口長度下AEKF的SOC估計效果，由表2 及圖6 可以看出，在a=25 時SOC的估計精度相對較高。

設置a=25，分別驗證MIAEKF 算法中窗口新息均值系數(shù)λ= 0.5、1、2、3、4、5 時的估計精度，結果如表3所示。

表3 a=25條件下不同λ時MIAEKF SOC估計最大誤差Table 3 The maximum error of MIAEKF SOC estimation for different λ under a=25

由上述數(shù)據(jù)可知，當a=25、λ=2時MIAEKF算法具有較好的SOC估計精度。

在此參數(shù)條件下，用40 ℃下的LA92 工況數(shù)據(jù)，對比EKF、AEKF、MIAEKF算法的SOC估計效果，如圖7所示。

圖7 EKF、AEKF、MIAEKF算法估計效果Fig.7 SOC estimation performance of EKF, AKF, and MIAEKF algorithm

表4 不同SOC估計算法數(shù)據(jù)對比Table 4 Comparison of data for different state of charge (SOC) estimation algorithms

2.2.2 不同溫度下基于MIAEKF的SOC估計

分別對電池在城市驅動臺車(UDDS)工況下，對在-10 ℃、10 ℃、25 ℃條件下的電池實驗數(shù)據(jù)利用MIAKEF 算法進行SOC 估計，以驗證MIAEKF 算法在不同溫度下SOC 估計的有效性，結果如圖8所示。算法的輸入?yún)?shù)為端電壓、端電流和溫度，在估計過程中經(jīng)公式(15)調整與溫度、SOC相關的ECM參數(shù)，進而更新系數(shù)矩陣，以此來適應不同溫度下的SOC估計。

圖8 MIAEKF在UDDS工況不同溫度下的SOC估計Fig.8 MIAEKF-based SOC Estimation at Different Temperatures under UDDS Conditions

由圖8 可知，在不同溫度下MIAEKF 具有良好的估計效果，估計誤差均在±0.8%以內。而上述SOC估計是基于公式(15)進行的，驗證算法的三種溫度條件都在公式(15)中有所體現(xiàn)。為進一步驗證多溫度條件下函數(shù)擬合應用在SOC 估計算法的效果，將對鋰電池在-10 ℃、0 ℃、25 ℃、40 ℃條件下的LA92 工況放電數(shù)據(jù)進行參數(shù)辨識結果的離散點作為樣本點利用Matlab 軟件進行插值擬合得到關系式：

將算法中的公式(15)替換為公式(32)，其中并不體現(xiàn)10 ℃條件下的參數(shù)辨識結果。對電池分別在HWFET、LA92、Mixed 三種工況10 ℃條件下的電池測試數(shù)據(jù)進行SOC 估計。以此驗證多溫度條件下算法的實用性。

由圖9可知，函數(shù)所用的擬合點并不包括10 ℃時的參數(shù)辨識結果，在10 ℃ LA92、HWFET、Mixed三種測試工況下該算法的SOC估計均表現(xiàn)出了較為良好的效果，估計誤差均在±1%以內。

圖9 10 ℃ HWFET、LA92、Mixed工況下MIAEKF算法SOC估計Fig.9 SOC estimation under different testing conditions at 10 °C

3 結 論

在鋰電池雙極化模型的基礎上，通過對鋰電池在不同溫度下的實驗數(shù)據(jù)利用FFRLS 進行參數(shù)辨識的結果，進行模型參數(shù)關于溫度與SOC 的二維函數(shù)擬合。在MIAEKF算法中引入擬合函數(shù)，使在狀態(tài)估計過程中能夠更新參數(shù)，以適應不同溫度下的SOC估計。在較合適的初始參數(shù)條件下，a=25、λ=2 時MIAEKF 相較于EKF、AEKF 具有較好的估計精度。分別對-10 ℃、10 ℃、25 ℃環(huán)境下UDDS工況的數(shù)據(jù)進行驗證，三種不同的溫度環(huán)境下SOC 估計誤差均在±0.8%以內。為進一步驗證擬合函數(shù)在多溫度下的有效性，盡管10 ℃下的參數(shù)辨識結果不作為擬合點，得到的擬合函數(shù)運用在算法中，在10 ℃ LA92、HWFET、Mixed 三種測試工況下進行數(shù)據(jù)驗證，估計誤差均不超過±1%。這為多溫度下的SOC估計提供了一種方法。