基于CSO-LSSVM 模型的選擇性激光燒結(jié)成型工藝參數(shù)優(yōu)化*

蔣成雷 李 健 肖亞寧 郭艷玲 王揚威

（東北林業(yè)大學機電工程學院，黑龍江 哈爾濱 150040）

SLS 是一種快速成型技術(shù)[1]。由于其成型過程存在較大的溫差，因此成型件不可避免地會出現(xiàn)收縮、翹曲變形等現(xiàn)象[2]。大量研究表明工藝參數(shù)對成型件燒結(jié)質(zhì)量有明顯影響，設(shè)置合理的工藝參數(shù)是決定成型質(zhì)量的關(guān)鍵[3]。由于選擇性激光燒結(jié)工藝參數(shù)與成型效果間存在高度的非線性關(guān)系，通過傳統(tǒng)的試錯法要花費大量時間和成本，有很大局限性。隨著機器學習和人工智能等科學的不斷發(fā)展，越來越多的國內(nèi)外學者開始嘗試建立回歸預(yù)測模型，以簡化工藝參數(shù)優(yōu)化過程。李小飛等[4]提出了一種基于模糊徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的成型精度預(yù)測模型，該模型可根據(jù)不同的工藝參數(shù)對成型件尺寸誤差進行較準確的預(yù)測。劉兆平等[5]提出了一種基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的覆膜砂選擇性激光成型精度預(yù)測模型，該模型的最大相對誤差僅為2.2%。肖亞寧等[6]提出了一種基于人群搜索算法優(yōu)化BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的選擇性激光燒結(jié)成型件精度預(yù)測方法，該方法相比標準BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有著更好的預(yù)測精度和更高的穩(wěn)定性。Zhang Y P 等[7]提出了一種改進饑餓游戲搜索算法——ELM 預(yù)測模型，用于預(yù)測SLS 零件的收縮，實驗結(jié)果證明該模型具有較好的預(yù)測精度。

本文針對聚醚砜（polyethersulfone，PES）樹脂粉末成型件收縮的問題，首先確定工藝參數(shù)，進行正交試驗，獲得試驗數(shù)據(jù)。然后，利用混沌映射策略、非線性切換因子策略和針孔成像反向?qū)W習策略對標準SO 算法進行增強，提出了一種名為CSO 的改進算法，并將其與LSSVM 結(jié)合，建立SLS 收縮率的預(yù)測模型。與其他預(yù)測模型進行對比，結(jié)果表明該預(yù)測模型擁有更好的效果，可為提高SLS 成型件的質(zhì)量做出工藝參數(shù)指導(dǎo)。

1 選擇性激光燒結(jié)試驗

1.1 試驗數(shù)據(jù)獲取

本次試驗設(shè)備采用CX-B200 小型工業(yè)級激光燒結(jié)成型機（哈爾濱自由智造科技開發(fā)有限公司），試驗材料為PES 粉末。其主要工藝參數(shù)包括激光功率、預(yù)熱溫度、掃描速度、掃描間距和分層厚度。試驗?zāi)Ｐ蜑闃藴蕼y試樣件，其尺寸參數(shù)如圖1 所示。本文設(shè)計了L25(55)正交表，見表1，并且為進一步提高研究的準確性和普遍性，額外增加了10 組工藝參數(shù)組合試驗，以保證樣本數(shù)據(jù)集足夠充分。

表1 正交試驗因素水平

圖1 測試樣件尺寸參數(shù)

為避免試驗的偶然性，每組試驗同時加工3 個標準測試樣件，多次測量求取平均值并計算每個方向上的收縮率，樣件在X方向上的收縮率計算公式為

式中：εx為樣件在X方向上的收縮率；xCAD為設(shè)計尺寸，mm；xMEA為燒結(jié)成型后的實際測量尺寸，mm。Y向和Z向的收縮率公式以此類推，試驗結(jié)果見表2。

表2 試驗樣本數(shù)據(jù)結(jié)果

1.2 多目標函數(shù)的統(tǒng)一化

由于選擇性激光燒結(jié)工藝參數(shù)的優(yōu)化是一個多目標優(yōu)化問題，即要實現(xiàn)三個方向上的收縮率 εx、εy和 εz都同時取得最小值。本文利用線性加權(quán)組合法來消除各項量綱上的差異大小，賦予加權(quán)因子建立統(tǒng)一目標函數(shù)[8]。

假設(shè)已知各目標函數(shù)值的變化范圍為

式 中：fi(x) 為第i個分目標函數(shù)；ubi和lbi分別為第i個分目標函數(shù)的最大值和最小值。

式中：?fi為各目標函數(shù)的容限，取加權(quán)因子為

針對SLS 工藝參數(shù)的優(yōu)化問題，分別將樣本數(shù)據(jù)的X向收縮率 εx、Y向收縮率 εy、Z向收縮率 εz作為各項目標函數(shù)進行轉(zhuǎn)化，得到SLS 成型件的統(tǒng)一性能計算公式如下：

式中：Q為統(tǒng)一性能的評價指標，表征制件尺寸精度的好壞，Q值越小則成型精度越高。

2 LSSVM 模型與改進蛇優(yōu)化算法

2.1 LSSVM 預(yù)測模型

LSSVM 是Suykens J 等[9]通過引入最小二乘損失函數(shù)，將原本支持向量機中的不等式約束轉(zhuǎn)化為等式約束而衍生出的。LSSVM 繼承了支持向量機的結(jié)構(gòu)風險最小化的特點，且優(yōu)化過程中只需求解一個線性方程組，有效避免了二次規(guī)劃問題，其魯棒性、泛化能力和收斂速度得到了顯著的提升，更加適合處理高緯度和非線性的小樣本數(shù)據(jù)[10]。其描述如下：

假設(shè)訓練數(shù)據(jù)集為 S={(xi,yi)|xi∈Rn,yi∈R}，xi∈Rn為n維系統(tǒng)的第i個輸入向量，yi∈R為對應(yīng)輸出值。定義非線性映射函數(shù) φ(·):Rn→H以構(gòu)造高維特征空間，將輸入空間映射變換至希爾伯特空間，此時特征空間中的LSSVM 數(shù)學模型可表示為

式中：w為原始空間的權(quán)向量；b為偏置量；xi和yi分別為系統(tǒng)的輸入向量和輸出值。

為解決SVM 中的二次規(guī)劃問題，基于結(jié)構(gòu)風險最小化原則，采用最小二乘法建立了LSSVM 的目標函數(shù)[11]，其表達式為

式中：∥w∥2為控制模型的復(fù)雜度；C為正則化參數(shù)（C>0），決定著對超出誤差范圍樣本的懲罰程度；ei為第i個松弛變量。

為更好地解決優(yōu)化問題，將拉格朗日乘子引入式（7），可得：

式中：αi為第i個拉格朗日乘子，αi>0；根據(jù)庫恩-塔克條件，分別對拉格朗日函數(shù)中的相關(guān)參數(shù)進行偏導(dǎo)數(shù)運算，令結(jié)果等于零可得：

消去w和ei，可得線性方程組如下：

式 中：α=[α1,α2,···,αn]T；Z=[1,1,···,1]T；y=[y1,y2,···,yn]T；E為n×n的單位矩陣，K=κ(xi,xj)。鑒于徑向基核函數(shù)的良好穩(wěn)定性，故采用其作為LSSVM 模型的核函數(shù)，即：

式中：σ為核函數(shù)參數(shù)，σ>0。

得到LSSVM 預(yù)測模型的表達式為

2.2 改進蛇優(yōu)化器

式 中：Xi為第i個個體的位置；rand為 [0,1]的隨機數(shù)；UB、LB分別為待解決優(yōu)化問題的上下界。在種群初始化之后，首先通過以下公式計算溫度和食物量。

式中：Temp為溫度；t為當前迭代次數(shù)；T為最大迭代次數(shù)；Q為食物量；c1為等于0.5 的常數(shù)。

在探索階段中，若Q<0.25，蛇通過選擇隨機位置來尋找食物，并以此更新自己的位置。此時雄雌個體的位置更新公式分別如下：

式中：Xi,m(t+1) 為第i個雄性個體在下一次迭代時的位置；Xrand,m(t)為隨機雄性個體的當前位置；Xi,f(t+1) 為第i個雌性個體在下一次迭代時的位置；Xrand,f(t) 為隨機雌性個體的當前位置；Am與Af分別為雄雌性尋找食物的能力，可以表示為

式中：frand,m為Xrand,m的適應(yīng)度值；fi,m為雄性群體中第i個個體的適應(yīng)度值；c2為等于0.05 的常數(shù)；frand,f為Xrand,f的適應(yīng)度值；fi,f為雌性群體中第i個 個體的適應(yīng)度值。

在探索階段中，若Q>0.25且Temp>0.6，此時蛇會靠近食物，位置更新公式為

式中：Xi,j(t+1) 為種群中第i個體下一次迭代時的位置（雄性或雌性）；Xfood為當前全局最優(yōu)位置，即食物的位置；c3為等于2 的常數(shù)。若Temp<0.6，蛇將處于戰(zhàn)斗模式或交配模式，戰(zhàn)斗模式時雄雌個體的位置更新公式分別為

綜上，我國農(nóng)業(yè)綠色發(fā)展在2005—2016年樣本期間存在顯著的空間相關(guān)性，若在研究農(nóng)業(yè)綠色發(fā)展的影響因素時，忽視這種空間溢出效應(yīng)，則可能出現(xiàn)模型估計上的偏差，甚至得出錯誤的結(jié)論及建議。因此，在農(nóng)業(yè)綠色發(fā)展的影響因素分析中，引入空間權(quán)重矩陣，通過空間計量經(jīng)濟學模型考察鄰近地區(qū)地理因素及其他因素對農(nóng)業(yè)綠色發(fā)展的影響程度。

式中：Xbest,f為當前雌性群體中的最優(yōu)個體位置；FM代表雄性的戰(zhàn)斗力值；Xbest,m為當前雄性群體中最優(yōu)個體位置；FF代表雌性的戰(zhàn)斗力值。FM與FF可由以下方程式計算：

式中：fbest,f為雌性群體中最優(yōu)個體的適應(yīng)度值；fbest,m為雄性群體中最優(yōu)個體的適應(yīng)度值；fi為第i個搜索個體的適應(yīng)度值。交配模式時雄雌個體的位置更新公式分別為

式中：Mm為雄性的交配能力；Mf為雌性的交配能力，計算公式為

若蛇蛋孵化，選擇其中最差的雄性和雌性進行替換，此時位置更新公式如下：

式中：Xworst,m為雄性群體中最差個體位置；Xworst,f為雌性群體中最差個體位置。

2.3 改進策略

2.3.1 混沌映射策略

混沌映射能以更高的速度徹底研究搜索空間，可以使算法具有更快的收斂速度[13]。本文選用Sine映射來對算法進行種群初始化。其公式如下：

在本文中，引入混沌映射的主要作用是初始化種群位置，在種群初始化階段引入混沌映射，此時種群初始化位置更新公式如下：

2.3.2 非線性切換因子

在本文中，引入了一種非線性切換因子，以替代原本算法中的參數(shù)Temp以及Q，更好地平衡算法的探索和開發(fā)能力。其是由Wang L Y 等[14]提出的，定義如下：

2.3.3 針孔成像反向?qū)W習策略

針孔成像反向?qū)W習（pinhole-imaging-based learning，PIL）是Long W 等[15]于2021 年提出的一種新的學習策略。在本文中PIL 用于更新種群位置以避免算法陷入局部最優(yōu)進而增加其全局探索能力。PIL 的數(shù)學模型表述如下：

式中：Xbest表示算法當前最優(yōu)解；表示對應(yīng)的反向解；LB和UB分別是搜索空間的上下限；k是比例系數(shù)；在本文中，k值與迭代次數(shù)相關(guān)，其計算方式如下：

2.3.4 改進算法流程

盡管標準SO 在早期研究中表現(xiàn)出不錯的數(shù)值優(yōu)化能力，然而隨著優(yōu)化問題的復(fù)雜度不斷增加，SO 也不可避免地會出現(xiàn)收斂精度低、收斂速度慢、易于陷入局部最優(yōu)等缺陷。本文提出了一種多策略改進型蛇優(yōu)化器。首先，在算法的初始化階段引入了Sine 映射以豐富種群多樣性，進而提高算法全局探索能力，使算法具有更好的探索能力，從而具有更高的收斂精度。其次，通過針孔成像反向?qū)W習，在每次迭代后對種群位置進行更新，避免陷入局部最優(yōu)，通過針孔成像學習可以有效地增強算法的開發(fā)階段。最后，采用非線性切換因子來代替SO 原有的參數(shù)Temp以及Q，更好地平衡算法的探索和開發(fā)能力。此時算法中的溫度以及食物量的計算公式如下：

最終，本文所提出的改進型CSO 算法的具體步驟如下。

步驟1：初始化種群數(shù)量N，問題維度D，上下界限LB、UB，最大迭代次數(shù)T以及雄性和雌性數(shù)量Nm、Nf，并隨機初始化種群位置。

步驟2：通過式（29）對算法種群初始化位置進行更新。

步驟3：評估所有個體，找到最優(yōu)雄性Xbest,m，最優(yōu)雌性Xbest,f和食物的位置Xfood，通過公式（33）和式（34）計算Temp和Q。

步驟4：根據(jù)不同的Temp和Q算法進行不同階段位置更新，并得到最終位置。

步驟5：通過式（31）得到最終解的反向解，并進行比較選擇更優(yōu)解。

步驟6：判斷算法是否達到終止條件，若是，則結(jié)束循環(huán)并輸出全局最優(yōu)解，否則返回步驟3。

2.4 算法性能驗證

為驗證CSO 的有效性和可行性，本文選取了部分經(jīng)典基準函數(shù)開展數(shù)值優(yōu)化測試，并且將CSO 與標準SO 優(yōu)化器、鯨魚優(yōu)化算法[16]（whale optimization algorithm，WOA）、哈里斯鷹算法[17]（harris hawks optimizer，HHO）、正弦余弦算法[18]（sine cosine algorithm，SCA）、鼠群優(yōu)化算法[19]（rat swarm optimizer，RSO）以及被囊群優(yōu)化算法[20]（tunicate swarm algorithm，TSA）進行性能對比，每種算法的最大迭代次數(shù)和種群規(guī)模分別被設(shè)置為500 和30，所有算法參數(shù)設(shè)置均和原文獻保持一致，所有算法均在Matlab R2020(a)版本中完成編寫，計算機配置為Intel (R) Core (TM) i5-7300H@2.50GHz中央處理器，8 GB 運行內(nèi)存。將上述7 種算法在每個函數(shù)上均獨立求解30 次，記錄測試結(jié)果的平均適應(yīng)度值（Avg）和標準差（Std）作為評價指標于表3 中。由表3 得出，本文所提出的CSO 在幾乎所有測試函數(shù)上都展現(xiàn)出更為出色的優(yōu)化性能。對于單峰測試函數(shù)，其獲得了更好的仿真結(jié)果；對于多峰和固定維多峰測試函數(shù)，CSO 依舊保持了相較于其他算法更高的收斂精度。試驗結(jié)果證明該算法具有更加優(yōu)秀的性能，可以穩(wěn)定地解決全局優(yōu)化問題。圖2展示了SO、WOA、HHO、SCA、RSO、TSA和CSO 在9 個代表性基準函數(shù)上的收斂曲線。由收斂曲線圖可以看出，CSO 具有更好的收斂精度并且其收斂曲線表現(xiàn)出最快的衰減率，相比于原SO，其收斂速度與精度都有明顯提高。綜上結(jié)果進一步驗證了本文提出改進算法的有效性以及可行性。

表3 不同對比算法在部分基準測試函數(shù)上的優(yōu)化結(jié)果

圖2 不同對比算法的收斂曲線

3 CSO-LSSVM 預(yù)測模型的構(gòu)建

采用LSSVM 建立選擇性激光燒結(jié)工藝參數(shù)組合和統(tǒng)一性能間的非映射關(guān)系，在本模型中假設(shè)有n組訓練樣本數(shù)據(jù) (xi,yi)，其中xi為五維實數(shù)輸入向量，分別為激光功率P、預(yù)熱溫度T、掃描速度V、掃描間距L、分層厚度D，以統(tǒng)一性能指標Q作為燒結(jié)成型件尺寸精度評價指標，即模型輸出yi。

針對需要優(yōu)化的正則化參數(shù)C和核函數(shù)參數(shù) σ，采用預(yù)測樣本的均方根誤差作為CSO 算法最小化尋優(yōu)過程中的適應(yīng)度函數(shù)：

式中：yi為統(tǒng)一性能的真實值；為預(yù)測輸出值；n為總樣本數(shù)量。

CSO 優(yōu)化LSSVM 模型的主要步驟如下。

步驟1：將總樣本數(shù)量的80%作為訓練集，其余為測試集[21]。采用Min-Max 標準化方法將樣本數(shù)據(jù)歸一化至 [0,1]區(qū)間的小數(shù)，公式為

式中：xi和分別表示歸一化前后的數(shù)據(jù)值；xmax和xmin分別對應(yīng)同一維度下的數(shù)據(jù)最大值和最小值。

步驟2：初始化CSO 參數(shù)和種群位置。

步驟3：確 定LSSVM 參數(shù)C和σ的范圍，C∈[0.01,5]，σ ∈[0.01,5]。

步驟4：利用CSO 對LSSVM 的參數(shù)進行尋優(yōu)，將訓練樣本輸入LSSVM 模型進行學習，得到輸出預(yù)測值并計算適應(yīng)度Fit。

步驟5：根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)值不斷更新參數(shù)C和σ的全局最優(yōu)解，判斷是否滿足t≥T的迭代終止條件。t和T分別為當前迭代次數(shù)和最大迭代次數(shù)，若滿足則輸出，否則循環(huán)執(zhí)行步驟5。

將上述計算獲得的最優(yōu)正則化參數(shù)值和核函數(shù)值代入LSSVM 模型進行預(yù)測，預(yù)測完成后，對結(jié)果進行反歸一化，通過對比預(yù)測值和實測值得出結(jié)論。反歸一化公式為

4 仿真結(jié)果與分析

初始化參數(shù)如下：種群規(guī)模N=30，最大迭代次數(shù)T=100，正則化參數(shù)C∈[0.01,5]，核函數(shù)參數(shù)σ ∈[0.01,5]。訓練集的索引序號為[7,4,30,29,8,24,21,15,26,10,22,34,3,1,13,5,31,23,27,25,12,2,20,17,6,32,33,19]，將剩余20%作為測試集進行預(yù)測，測試集的索引序號為[11,14,18,28,9,35,16]。圖3 所示為CSO-LSSVM 預(yù)測模型在參數(shù)迭代尋優(yōu)過程中的適應(yīng)度曲線，經(jīng)反復(fù)驗證得到一組最優(yōu)系數(shù)為：C=5.0，σ=0.092 6，相應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)值等于0.329 0。

圖3 CSO-LSSVM 預(yù)測模型收斂曲線

為驗證CSO-LSSVM 預(yù)測模型的有效性，首先采用標準LSSVM 模型和CSO 優(yōu)化后的LSSVM 模型分別對訓練集和測試集數(shù)據(jù)進行統(tǒng)一性能的預(yù)測和絕對誤差對比，結(jié)果如圖4 和圖5 所示。就訓練集的預(yù)測結(jié)果而言，兩種模型的期望輸出結(jié)果都符合真實值的變化趨勢，但兩者間總存在一定誤差，本文所提出的CSO-LSSVM 模型預(yù)測結(jié)果更接近統(tǒng)一性能變化曲線。這些結(jié)果表明：CSO 能夠有效地增強LSSVM 模型的泛化能力和預(yù)測精度。為突出所提預(yù)測模型的優(yōu)越性，將引入BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和極限學習機與CSO-LSSVM 模型展開進一步的對比實驗。不同模型在測試集上對統(tǒng)一性能的預(yù)測結(jié)果如圖6 所示，可以看出，相較于BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和ELM模型，本文所提的CSO-LSSVM 模型依舊保持更出色的效果表現(xiàn)，預(yù)測精度和絕對誤差在總體上都有明顯優(yōu)勢。

圖4 LSSVM 與CSO-LSSVM 模型在訓練集上的預(yù)測結(jié)果

圖5 LSSVM 與CSO-LSSVM 模型在測試集上的預(yù)測結(jié)果

圖6 不同模型對比結(jié)果

為更直觀地評估本文構(gòu)建的預(yù)測模型的準確性，將選擇均方根誤差（root mean square error，RMSE）、平均絕對百分比誤差（mean absolute percentage error，MAPE）以及平均絕對誤差（mean absolute error，MAE）作為評價標準。結(jié)果見表4 和表5，可以看出：CSO-LSSVM 模型在測試集上得到的預(yù)測值與真實值之間的均方根誤差、平均絕對百分比誤差、平均絕對誤差相比于優(yōu)化前的LSSVM 模型分別減少了0.276 7、9.999 3%、0.368 0，相比于BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分別減少了0.520 3、15.726 3%、0.575 0，相比于ELM 模型分別減少了0.759 9、20.214 3%、0.820 7，分析得出CSO-LSSVM 算法可以有效預(yù)估SLS 制件精度，相比于其他三種算法有著更高的準確性。

表4 不同模型在測試集的預(yù)測值與真實值對比結(jié)果

表5 不同模型的性能評估對比結(jié)果

5 結(jié)語

為了提高SLS 成型件的質(zhì)量，本文在正交試驗的基礎(chǔ)上，CSO 算法被應(yīng)用于優(yōu)化LSSVM 模型的初始正則化參數(shù)和核函數(shù)參數(shù)，以提高其泛化能力和預(yù)測精度，建立了基于CSO-LSSVM 的SLS 成型件精度預(yù)測模型；對比標準LSSVM 模型，BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和ELM 模型的預(yù)測結(jié)果，CSO-LSSVM 模型具有更高的預(yù)測精度，其在測試集上得到的預(yù)測值與真實值之間的均方根誤差、平均絕對百分比誤差、平均絕對誤差分別為0.546 2、9.487 7%、0.401 7。因此，該模型可以為SLS 成型加工提供最優(yōu)工藝參數(shù)，指導(dǎo)加工。