考慮混凝土強度隨機不均勻分布的重力壩動力損傷研究

馬天驍,張燎軍,沈德建,王偉強

(1. 沈陽農業(yè)大學 水利學院,遼寧 沈陽 110866; 2. 河海大學 水利水電學院,江蘇 南京 210098;3. 河海大學 土木與交通學院,江蘇 南京 210098)

0 引言

在我國西南高地震烈度區(qū)建有大量的高壩,其中混凝土壩占有相當大的比例。在地震過程中,大壩抗震薄弱部位的混凝土很容易發(fā)生局部損傷、開裂,甚至產生貫穿性裂縫;基巖中存在的微裂隙也可能進一步地擴大、張開,嚴重影響大壩的抗震安全。為了真實地模擬地震過程中大壩和基巖的破壞過程,必須考慮壩體和基巖材料的非線性力學行為。經過長期研究,基于混凝土塑性損傷理論來計算分析混凝土壩在地震過程中的損傷開裂已經成為研究大壩抗震安全非常重要的手段之一。如LEE等[1]基于LUBLINER提出的塑性損傷模型,建立了能夠考慮混凝土拉壓損傷及拉壓相互轉化的損傷模型,并被大型有限元分析軟件ABAQUS采用。很多學者采用塑性-損傷耦合模型,分析了重力壩、拱壩在超強地震荷載作用下的損傷開裂[2-7]。此外,張我華等[8]提出了能夠考慮巖石類脆性材料的損傷破壞模型。李靜等[9]、陳健云等[10]采用混凝土塑性損傷模型研究了強震下高拱壩的承載能力。這些研究表明,混凝土塑性損傷模型可以很好地模擬地震過程中大壩的損傷破壞。

值得注意的是,混凝土是一種由骨料和砂漿等組成的復合材料,在微觀層面上分布有很多毛細孔隙和結晶等?；炷敛⒉皇且环N均質材料,這是它的固有特性。對于大壩混凝土而言,在實際的施工過程中,受施工周期和季節(jié)氣溫的影響,同一強度等級的混凝土由于天氣因素的不同,導致混凝土的凝結速度和水化過程存在一定的差異性。所以在分倉澆筑時,各倉混凝土澆筑質量很難達到絕對的相同[11]。因此,對于重力壩、拱壩所采用的大體積混凝土來說,它的固有特性、澆筑時的施工質量以及在大壩運行過程中出現(xiàn)的老化劣化等原因共同導致了大壩混凝土強度的不均勻性。然而,在目前的混凝土壩抗震分析中,一般將混凝土看成是一種強度均勻分布的材料。即便在計算中考慮了壩體的材料分區(qū),在同一強度等級的分區(qū)內仍然認為它的強度是均勻分布的,關于混凝土強度隨機不均勻分布對大壩和基巖整體動力損傷影響研究還比較少。

鑒于此,本文以Koyna重力壩為例,基于Weibull概率分布模型和混凝土塑性損傷模型,采用Python語言對ABAQUS進行二次開發(fā),在考慮混凝土塑性損傷的前提下,進一步研究其強度的隨機不均勻分布對大壩動力損傷的影響規(guī)律,建立了壩體混凝土的強度隨機不均勻分布模型。采用有限元非線性動力分析,從震后壩體—基巖整體損傷區(qū)域分布、壩體損傷面積比和損傷耗能等角度進行對比分析,得到壩體混凝土強度隨機不均勻分布對重力壩動力損傷的影響規(guī)律。

1 混凝土強度參數(shù)隨機分布理論

1.1 混凝土塑性損傷參數(shù)

本文采用的混凝土損傷參數(shù)是基于ABAQUS中的混凝土塑性損傷模型(CDP模型),采用能量等效原理計算得到的?；谀芰繐p失方法的混凝土損傷變量定義為[12]

(1)

(2)

(3)

式中:Wε為材料損傷時的應變能密度;W0為材料未損傷時的應變能密度。當混凝土未損傷時,Wε=W0,此時損傷因子D=0;在混凝土損傷的極限狀態(tài)時Wε遠小于W0,此時損傷因子D→1。

在混凝土本構方程σ=f(ε)上劃分n個相等的小區(qū)間,對于每一小區(qū)間分別以一條拋物線代替原來的f(ε),表達式為[12]

(4)

1.2 基于Weibull概率模型的混凝土損傷參數(shù)

在采用有限元法對結構進行離散時,一般認為單個單元內部的材料特性是均勻連續(xù)的,但不同單元的力學性質是可以存在差異的,即可以表現(xiàn)出離散性和不均勻性。對于混凝土壩來說,當壩體劃分的單元足夠多時,可將每一個單元作為一個樣本點,樣本單元的材料特性可以認為服從某個概率分布模型,壩體所有單元構成一個總體。用這種方法雖然不能反映每個單元內部材料的細觀差異,但當樣本點足夠多時,也可以在一定程度上體現(xiàn)大壩混凝土的細觀不均勻性。根據(jù)相關學者的研究,如鐘紅[11]建議采用Weibull分布對巖石、混凝土材料非均勻性進行模擬。鑒于此,本文采用Weibull概率分布模型來考慮混凝土力學性能的不均勻性。Weibull概率密度函數(shù)定義為[13]

(5)

式中:u為混凝土的力學特性,如彈性模量或抗拉、抗壓強度等;u0為相應的平均值;m為定義概率密度函數(shù)的形狀,是反映材料均勻程度的指數(shù),m值越大表示材質越均勻。

基于式(4)、式(5)可計算混凝土參數(shù),由于壩體混凝土單元通常數(shù)目較多,靠人工將每一個單元都按照Weibull概率分布模型隨機賦予混凝土損傷參數(shù)工作量過于龐大。為此,本文采用Python語言對非線性有限元程序ABAQUS進行二次開發(fā),將生成的混凝土力學參數(shù)隨機分配到每個壩體單元中,完成混凝土不均勻分布模型的建立。

2 計算模型及參數(shù)

2.1 有限元計算模型

印度Koyna重力壩壩高103 m,庫水位91.75 m。該壩在1967年經受了6.3級地震,震后大壩下游面的折坡處出現(xiàn)了不同程度的裂縫,這是目前為數(shù)不多的遭受過強震破壞并且有完整地震記錄的實例,很多學者都采用該壩作為研究對象。本小節(jié)建立的壩體和基巖的有限元分析模型如圖1所示,壩體和基巖采用平面四節(jié)點單元,共劃分單元數(shù)17390個,其中壩體單元4218個。

圖1 Koyna重力壩壩體和基巖有限元分析模型Fig.1 Finite element analysis model of dam body and bedrock of Koyna gravity dam

壩體混凝土材料參數(shù)為:彈性模量E0=30 GPa ,泊松比μ=0.2,密度ρ=2630 kg/m3,抗拉強度ft0=2.9 MPa,抗壓強度fc=24.1 MPa。在進行高壩抗震分析時,地基巖體的損傷破壞是壩體、地基和庫水體系的損傷破壞分析中不可忽視的重要因素?；鶐r作為多裂隙隨機分布的非均勻介質,其損傷應與混凝土類似。但由于無法對巖體進行力學試驗,目前只能借鑒混凝土的損傷演化規(guī)律[14]。為了體現(xiàn)基巖在地震過程中的損傷、開裂行為,考慮到基巖和混凝土都是準脆性材料,具有相似的力學性質,本文根據(jù)文獻[14-16]的建議,將基巖的材料參數(shù)按照式(6)折算為混凝土的強度參數(shù),其表達式為

(6)

經過折算后,基巖的抗拉強度為1.2 MPa,彈性模量E0=20 GPa,泊松比μ=0.2,密度ρ=2700 kg/m3。

計算荷載包括壩體自重、靜水壓力、動水壓力和地震荷載。動水壓力采用Westergarrd附加質量方法進行模擬,采用Rayleigh阻尼,阻尼比為5%。分別輸入實測的順河向和豎向地震波,時程曲線如圖2所示。采用黏彈性邊界[17-19]來模擬基巖的輻射阻尼效應,通過波動輸入法以等效節(jié)點力[20]的形式實現(xiàn)地震動輸入。

圖2 Koyna地震波Fig.2 Koyna seismic waves

2.2 基于Weibull概率分布的壩體損傷參數(shù)

為了研究混凝土強度不均勻分布對重力壩動力損傷的影響,本小節(jié)采用Weibull概率分布函數(shù)來反映材料的非均勻性。分別考慮當不均勻指數(shù)m為3、5、10、15時重力壩的動力損傷情況,m值越大混凝土越均勻。將采用Weibull概率分布模型計算的混凝土參數(shù)隨機分配到壩體各個單元中,使每個單元的材料參數(shù)都各不相同,但總體上滿足Weibull概率分布模型。具體操作細節(jié)是:如當給定的m為3時,因本模型壩體單元數(shù)目為4218個,按照Weibull分布模型生成4218個樣本的混凝土材料參數(shù),這4218個樣本整體上服從m為3的Weibull分布,然后將這4218個樣本隨機分配到壩體各個單元中。重復上述過程,即得到m為5、10、15時的不均勻模型。

對于特定的m值,在生成了相應的4218個樣本混凝土參數(shù)后,要把這些參數(shù)分配到壩體各個單元中,但這種分配具有隨機性,為了排除偶然因素,全面反映各個不均勻指數(shù)下壩體的動力損傷情況,本文對每個不均勻指數(shù)都采用5個樣本進行計算。即對于每一個m值,都進行了5次隨機分配,盡可能避免隨機偶然因素的影響。

受篇幅限制,本文只列出各個不均勻指數(shù)下的一組樣本的參數(shù)統(tǒng)計結果,其他樣本統(tǒng)計結果與此類似。由于混凝土抗壓強度較高,在重力壩動力分析中常常只考慮受拉損傷,因此本文僅列出抗拉強度的統(tǒng)計圖,如圖3所示。圖中ft0為混凝土設計強度下抗拉強度的標準值,ft為各個單元實際的抗拉強度值。采用比值的形式來統(tǒng)計壩體混凝土強度參數(shù)的離散情況,由圖3可知,m值越小,離散程度越大,隨著m值的增大,統(tǒng)計數(shù)據(jù)越來越向標準值集中,離散性逐漸降低。

圖3 各個不均勻指數(shù)下抗拉強度分布Fig.3 Distribution of tensile strength under each heterogeneity index

3 震后壩體和基巖損傷分析

3.1 壩體和基巖損傷區(qū)域分析

首先計算當壩體混凝土均勻分布時壩體和基巖的損傷情況。震后大壩下游折坡處出現(xiàn)了一條向上游面擴展的損傷區(qū)域,上游壩面也出現(xiàn)了輕微的損傷區(qū),這與Koyna重力壩實際震害的壩體損傷開裂模式相同,如圖4所示。由于基巖的抗拉強度遠比混凝土小,所以地震時往往基巖首先沿著壩踵向下開裂,這使得壩踵附近的拉應力得到釋放,故壩踵在地震中沒有損傷,這也與實際震害情況一致。該算例與實際震害結果的對比表明:本文所采用的材料模型、地震動輸入方法、遠域地基輻射阻尼的模擬、壩體與庫水的動力相互作用等非線性動力分析方法是合理的。

圖4 混凝土均勻分布時壩體和基巖損傷分布Fig.4 Dam and bedrock damage distribution when concrete is uniformly distributed

當材料的不均勻指數(shù)m為3時,壩體混凝土的材料參數(shù)離散性較大,為了全面地反映該不均勻指數(shù)下壩體和基巖的損傷情況,采用5個樣本進行計算。這5個樣本中,壩體每個單元的材料參數(shù)都是隨機分布、各不相同的,但總體上都服從m為3時的Weibull分布模型。由圖5可知,當m為3時,壩體折坡處附近的上下游面均出現(xiàn)大量的損傷單元,處于紅色的嚴重損傷單元從上下游面向壩體內擴展、交匯,損傷區(qū)域和嚴重程度明顯比圖4中均勻分布時更大。對于壩體中下部,盡管材料也不均勻分布,但并未有大面積的損傷。這說明重力壩的抗震薄弱部位在壩體上部的折坡處附近,該處混凝土的施工質量對大壩的抗震性能尤為重要,且澆筑質量不均勻時會比均勻澆筑的損傷程度更大、危害更為嚴重。從圖中還可以發(fā)現(xiàn),5個樣本的損傷分布情況非常相近,破壞模式相同,這說明服從同一Weibull分布的模型,計算結果離散性較小。此外,從基巖損傷的角度分析,5個樣本的基巖損傷區(qū)域和壩體均勻分布相比,均未發(fā)現(xiàn)明顯的區(qū)別,這表明壩體混凝土強度的不均勻分布對于基巖的損傷影響不大。

圖5 當m=3時各樣本壩體和基巖損傷分布Fig.5 Damage distribution of dam and bedrock of each sample when m=3

當材料的不均勻指數(shù)m為5時,壩體單元總體上都服從m為5時的Weibull概率分布模型。壩體的損傷程度比m為3時稍有減輕,損傷單元的數(shù)目和范圍都有所減少,但仍可以看到處于紅色的嚴重損傷單元從上下游面向壩體內擴展、交匯,損傷區(qū)域和嚴重程度還是明顯比圖4均勻分布時更大?；鶐r損傷區(qū)域和壩體均勻分布相比,均未發(fā)現(xiàn)明顯的區(qū)別,如圖6(a)所示。當材料的不均勻指數(shù)m為10時,壩體的損傷程度比m為5時更為減輕,損傷單元的數(shù)目和范圍都有所減少,如圖6(b)所示。當材料的不均勻指數(shù)m為15時,壩體的損傷程度和均勻分布時較為接近,但上下游面仍有小部分單元處于損傷狀態(tài),如圖6(c)所示。

圖6 各個m值下壩體和基巖損傷分布Fig.6 Damage distribution of dam body and bedrock under each m values

3.2 壩體損傷定量分析

為了更為準確客觀地反映壩體和基巖的損傷情況,本節(jié)通過采用損傷耗散能和損傷面積比2個指標來定量的研究不同均勻程度的壩體的損傷規(guī)律。

由于在大壩地震損傷的過程中常常伴隨著損傷耗能的增加,因此損傷耗能指標可以在一定程度上反映壩體裂縫發(fā)展情況[21],損傷耗能采用式(7)計算,得

(7)

式中:MD為壩體損傷耗能;σ為壩體單元應力;εck為開裂應變;V為單元體積,對于二維模型指單元面積。

采用式(7)分別計算均勻分布及m為3、5、10、15時,5組樣本的壩體震后損傷耗能,并繪制出損傷耗能隨地震時間的變化曲線,如圖7所示。從5組樣本的損傷耗能曲線可以看出,隨著地震動的持續(xù),壩體損傷耗散能逐漸增大。一般來說,壩體進入損傷狀態(tài)的單元數(shù)目越多,損傷程度越嚴重,壩體的損傷耗散能越大。由于地震動峰值加速度出現(xiàn)在第三秒附近,壩體的主要損傷破壞區(qū)域在此階段已經形成,故損傷耗散能會發(fā)生明顯增加。隨后的時間雖然地震動在持續(xù),但強度逐漸衰減,壩體損傷范圍僅在原有的基礎上小范圍的增加,未出現(xiàn)新的大面積的損傷區(qū)域,故整體耗散能也有增量,但不會如第三秒附近的耗散能一樣,發(fā)生明顯的增量。壩體混凝土分布越均勻(m值越大),震后壩體損傷耗散能越小,混凝土分布離散性越大(m值越小),震后壩體損傷耗散能越大。從定量的角度進一步表明壩體混凝土強度的不均勻分布對大壩抗震能力影響較大,不均勻性越大,對大壩的抗震安全越不利。

圖7 各組樣本壩體損傷耗散能曲線Fig.7 Dam damage dissipation energy curves of samples in each group

除了壩體損傷耗能指標外,壩體損傷面積比(damage area ration, DAR)也是反映大壩在地震過程中損傷狀況的重要定量指標,損傷面積比定義為

(8)

式中:n為壩體單元數(shù)目;i為壩體單元編號;di(t)為i號單元在t時刻對應的損傷因子;Ai為i號單元的面積。損傷面積比的范圍為0～1,損傷面積比越大,表示壩體損傷情況越嚴重。當損傷面積比為0時,表示壩體無損傷,當損傷面積比為1時,表示壩體所有單元已完全損傷。

采用式(8)分別計算在各個不均勻指數(shù)下各樣本壩體震后損傷面積比并進行匯總,如圖8所示。由圖可知,壩體損傷面積比隨著m值的增加而減小,m值越大即材料分布越均勻,損傷面積比數(shù)值越接近完全均勻工況下的計算結果。同時也可以看出,相同m值下的5個樣本得到的損傷面積比數(shù)值非常接近,分布在平均值附近,離散性很小。這從定量的角度說明了在樣本總體服從同一Weibull概率分布模型的情況下,計算結果差異較小。

圖8 各組樣本壩體損傷面積比Fig.8 Dam damage area ratio of samples in each group

需要說明的是:本文將m值分別選為3、5、10、15來進行分析,主要是為了更好地對比研究混凝土壩在各個不均勻度下壩體的震后損傷破壞規(guī)律,進而得到一般規(guī)律。選擇m為3和5是為了分析混凝土不均勻度對壩體損傷影響規(guī)律的一種“假設”。在實際工程中,不太可能發(fā)生m為3和5這種如此程度不均勻分布的情況,實際Koyna壩的震損也未發(fā)生如m為3和5的嚴重程度。

4 結論

本文主要研究了壩體混凝土強度隨機不均勻分布對重力壩動力損傷的影響,分別從損傷區(qū)域分布和損傷面積比和損傷耗能等角度分析了壩體不同程度的不均勻性對大壩損傷的影響規(guī)律,得到以下結論:

1)壩體混凝土強度隨機不均勻分布對大壩抗震薄弱部位的抗震安全影響較大。對于重力壩而言,盡管在計算時整個壩體單元都考慮了強度不均勻分布,但壩體的不同區(qū)域對于混凝土不均勻程度的“敏感程度”不同。震后損傷區(qū)域仍然集中在壩體抗震薄弱部位,即上下游面折坡處附近,該區(qū)域內進入損傷狀態(tài)的單元數(shù)目及損傷程度較均勻分布時明顯增大。強度不均勻分布對于大壩內部的損傷則影響不大。這表明混凝土強度不均勻分布對于大壩薄弱部位的抗震性能有重要影響,在重力壩地震安全評價時,應該考慮混凝土強度分布不均勻所造成的影響,尤其要注意提高抗震薄弱部位混凝土強度的均勻性。

2)在各個不均勻指數(shù)m下,基巖的損傷情況與壩體均勻分布相比未見有明顯變化,這表明壩體混凝土材料的不均勻分布對基巖的損傷區(qū)域分布影響較小。