框架承擔(dān)傾覆力矩的合理計(jì)算方法

常 磊, 崔濟(jì)東, 廖 耘, 周 定, 李盛勇

(廣州容柏生建筑工程設(shè)計(jì)事務(wù)所，廣州 510170)

0 引言

現(xiàn)行《高層建筑混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》(JGJ 3—2010)[1](簡稱高規(guī))基于結(jié)構(gòu)底層框架部分承受的傾覆力矩占比大小來判別結(jié)構(gòu)的抗側(cè)力體系;而對于框支剪力墻結(jié)構(gòu),高規(guī)10.2.16條要求,框支框架承擔(dān)的地震傾覆力矩應(yīng)小于結(jié)構(gòu)總地震傾覆力矩的50%。現(xiàn)行《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50011—2010)[2]6.1.3條與高規(guī)10.2.16條相似,給出了框支框架承擔(dān)的地震傾覆力矩的上限,同時(shí)在其條文說明中給出了計(jì)算方法(簡稱抗規(guī)法),這是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)相關(guān)規(guī)范規(guī)程中出現(xiàn)的唯一算法。

基于抗規(guī)法,文獻(xiàn)[3]提出了統(tǒng)一解法(分為柱剪法和梁剪法)。該方法從理論上推導(dǎo)而出,且文獻(xiàn)[4]對其在工程實(shí)踐中的意義進(jìn)行了闡述,特別在結(jié)構(gòu)抗震體系的判斷和剪力墻端柱暗柱的可靠設(shè)計(jì)上有較大改進(jìn),同時(shí)也給出了結(jié)構(gòu)中斜撐的抗傾覆貢獻(xiàn)表達(dá),并利用諸多典型案例進(jìn)行了應(yīng)用分析[5],雖表明該方法合理可行,但尚未對其進(jìn)行系統(tǒng)總結(jié),也未給出其力學(xué)法下的準(zhǔn)確表達(dá)。

所謂力學(xué)法即視上部結(jié)構(gòu)為隔離體從首層柱底反力來計(jì)算,結(jié)果當(dāng)屬于框架承擔(dān)傾覆力矩的概念范疇。力學(xué)法有諸多計(jì)算表達(dá)方法[6-9],部分方法已被國內(nèi)設(shè)計(jì)軟件廣泛采用。在PKPM、YJK等設(shè)計(jì)軟件中的軸力法也即陳曉明[6]提出的力學(xué)法,簡稱“軸力法”,YJK軟件中改進(jìn)的軸力法[8]簡稱“改進(jìn)軸力法”。此外,文獻(xiàn)[9]提出的力偶法(簡稱稱“力偶法”)將結(jié)構(gòu)總傾覆力矩分為3大力偶,對其中的不平衡力偶進(jìn)行拆分,部分分配給框架;在此基礎(chǔ)上文獻(xiàn)[10]對框支-剪力墻結(jié)構(gòu)中框支框架承擔(dān)傾覆力矩進(jìn)行了分析。不同力學(xué)法取矩點(diǎn)不同,軸力法取矩點(diǎn)為底部所有豎向構(gòu)件豎向軸力絕對值的合力作用點(diǎn),改進(jìn)軸力法取矩點(diǎn)為底部受拉剪力墻和受壓剪力墻兩者中豎向軸力較大者的作用點(diǎn)。力偶法雖未明確取矩點(diǎn),但分配不平衡力偶到框架時(shí)采用梁反彎點(diǎn),實(shí)質(zhì)上是取各邊界梁[3]的反彎點(diǎn)處剪力合力點(diǎn)。此外,還有以結(jié)構(gòu)豎向構(gòu)件軸向剛心為取矩點(diǎn)[7],以結(jié)構(gòu)平面形心為取矩點(diǎn)[11]等。

抗規(guī)法和力學(xué)法[6-9]的計(jì)算結(jié)果差異大,劉付均等[12]基于抗規(guī)法可反映框架和剪力墻抗側(cè)剛度比例而推薦采用該方法,并對其在框支-剪力墻結(jié)構(gòu)中框支框架承擔(dān)傾覆力矩計(jì)算應(yīng)用進(jìn)行了改進(jìn)[13]。王雁飛等[14]基于側(cè)向力作用下框架部分總虛內(nèi)功與結(jié)構(gòu)總虛內(nèi)功的比值來界定抵抗側(cè)向力的作用占比,以此評價(jià)框架的抗側(cè)力貢獻(xiàn),但已不是傾覆力矩比。

框架傾覆力矩的合理計(jì)算在評價(jià)框架-剪力墻結(jié)構(gòu)及框架-核心筒結(jié)構(gòu)這兩種基本結(jié)構(gòu)體系的雙重抗側(cè)力體系上至關(guān)重要[14-18],對在這兩種基本結(jié)構(gòu)體系基礎(chǔ)上演化而來的其他結(jié)構(gòu)體系的研究和應(yīng)用也影響很大[19-20]。

1 傾覆力矩統(tǒng)一解法總結(jié)

1.1 柱剪法和梁剪法的表達(dá)

根據(jù)文獻(xiàn)[3-4]的研究成果,結(jié)構(gòu)內(nèi)部從i0層到n層的局部帶支撐的抗彎框架如圖1(a)所示,其中邊界柱和邊界梁分別指與待求局部結(jié)構(gòu)上下邊界相連的框架柱和與左右邊界相連的連系梁,并將與待求局部結(jié)構(gòu)上下邊界相連的支撐和與左右邊界相連的支撐分別定義為柱型邊界撐和梁型邊界撐。則其在水平向作用于各層的側(cè)向規(guī)定水平力下框架、支撐和框架+支撐的傾覆力矩,以柱剪法可分別按式(1a)～(1c)計(jì)算,以梁剪法可分別按式(2a)～(2c)計(jì)算,式(1a)～(1c)及式(2a)～(2c)中各軸力、彎矩、剪力均按圖1(b)的約定取正負(fù)號。

圖1 建筑結(jié)構(gòu)中局部一般框架+支撐的示意(從i0層到n層)

(1a)

(1b)

(1c)

(2a)

(2b)

(2c)

1.2 力學(xué)法的表達(dá)

統(tǒng)一解法可以基于構(gòu)件內(nèi)力的形式來表達(dá),理論上說也可以按力學(xué)法的形式來表達(dá)。

(3)

式中:Mcj、Ncj和xj分別為結(jié)構(gòu)底層第j根框架柱柱底彎矩反力、軸反力以及該柱相對于取矩點(diǎn)G0的位置變量;m為結(jié)構(gòu)底層框架柱的總根數(shù)。

對圖1(a)所示建筑結(jié)構(gòu)中局部一般框架+支撐,采用統(tǒng)一解法相應(yīng)的力學(xué)法可仿照文獻(xiàn)[3]的規(guī)定求解XZ面內(nèi)該局部結(jié)構(gòu)的傾覆力矩,具體如下:采用矢量形式來表達(dá)邊界梁邊界端、邊界柱邊界端、梁型邊界撐邊界端以及柱型邊界撐邊界端的力和彎矩(不按圖1(b)的符號約定),如圖2所示,其中各邊界端的X坐標(biāo)也相應(yīng)給出示意。根據(jù)文獻(xiàn)[3-4],可推導(dǎo)出力學(xué)法下該局部一般框架+支撐的傾覆力矩可按式(4)計(jì)算。倘若該局部結(jié)構(gòu)僅在第i0層與底部邊界存在邊界柱或柱型邊界撐,即第i0+1層到第n層均無邊界柱和柱型邊界撐(即結(jié)構(gòu)無上邊界,此時(shí)總樓層數(shù)即n層),此時(shí)該局部一般框架+支撐的傾覆力矩按可由式(4)簡化為式(5)來計(jì)算。進(jìn)一步,若該結(jié)構(gòu)中無支撐或只求局部框架的傾覆力矩,則可進(jìn)一步簡化為式(6)計(jì)算,式(6)與式(3)相似。

圖2 基于力學(xué)法求解圖1所示建筑結(jié)構(gòu)的局部框架+支撐的相關(guān)變量示意(從i0層到n層)

(4)

(5)

(6)

利用力學(xué)法準(zhǔn)確計(jì)算存在前提,即所求隔離體各層邊界梁和梁型邊界撐不可兩端均為邊界端,否則會低估或夸大傾覆力矩結(jié)果?；谖墨I(xiàn)[4-5]關(guān)于框剪梁(即本文邊界梁)的3種定義可知,實(shí)際工程中普遍存在框剪梁兩端均連至剪力墻的情況,特別是對一向少墻剪力墻結(jié)構(gòu)的少墻方向,力學(xué)法計(jì)算結(jié)果會有較大偏差。這限制了式(4)～(6)所示力學(xué)法的應(yīng)用范圍。

對比上述各求解隔離體傾覆力矩的公式,式(1)所示柱剪法和式(2)所示梁剪法均是以隔離體內(nèi)部構(gòu)件內(nèi)力及邊界力求解,對其邊界構(gòu)件在結(jié)構(gòu)體系內(nèi)的位置和形態(tài)沒有要求;而式(4)～(6)所示力學(xué)法則是以隔離體豎向邊界力求解,即需有邊界柱或柱型邊界撐(不可有兩端均為邊界的邊界梁或梁型邊界撐)。式(1)所示柱剪法和式(2)所示梁剪法基于結(jié)構(gòu)內(nèi)部,式(4)～(6)所示力學(xué)基于外部但需根據(jù)內(nèi)部邊界梁或梁型邊界撐來確定取矩點(diǎn)。因此,雖然后者求矩的力學(xué)概念更為清晰,但在求取矩點(diǎn)時(shí),仍要深入結(jié)構(gòu)內(nèi)部,先判定邊界梁或梁型邊界撐,再計(jì)算確定,工作量并未顯著減少。而且前者求解過程中更能深入了解結(jié)構(gòu)內(nèi)部構(gòu)件的抗傾覆貢獻(xiàn),且可準(zhǔn)確考慮邊界梁(或梁型邊界撐)兩端均為邊界端的情況。因此,工程實(shí)踐中,推薦采用前者,特別是式(1)所示的柱剪法。

2 框架承擔(dān)與分擔(dān)的傾覆力矩

重力荷載作用下結(jié)構(gòu)中的豎向構(gòu)件一般是下部構(gòu)件的軸壓力大于上部構(gòu)件,帶來一種下部豎向構(gòu)件承擔(dān)著上部構(gòu)件重力荷載的認(rèn)識,而這往往是正確的(懸掛結(jié)構(gòu)除外),因而形成工程中慣用術(shù)語“力的傳遞”,從而才有承擔(dān)的概念,故將該概念延伸到其他荷載作用及地震作用下。

傳遞這一概念嚴(yán)格說更適合能量,特別是對于地震作用下建筑結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的能量響應(yīng)。此時(shí)建筑結(jié)構(gòu)可比擬為平放軟繩在端部豎向往復(fù)激勵下波動能沿軟繩向另一端傳去,如圖3所示。對繩上某一段(相當(dāng)于建筑結(jié)構(gòu)中某一層),當(dāng)它振動到波幅最大時(shí)其內(nèi)能、動能最小(相當(dāng)于樓層水平速度為零且剪力和彎矩最小),當(dāng)它振動到波幅為零時(shí)其內(nèi)能、動能最大(相當(dāng)于樓層水平速度響應(yīng)最大且剪力和彎矩也最大),而不同質(zhì)點(diǎn)的動能最大值或內(nèi)能最大值未必相同。

圖3 一端往復(fù)激勵下軟繩的波動能傳遞示意

利用振型分解反應(yīng)譜法計(jì)算結(jié)構(gòu)地震響應(yīng),實(shí)為評估動力反應(yīng)過程中最大可能響應(yīng),從而將動力問題靜力化。而規(guī)定水平力進(jìn)一步將靜力化的狀態(tài)平衡化,從而才可仿照豎向荷載考慮力的傳遞,才有承擔(dān)的概念。

對于分擔(dān)傾覆力矩則更側(cè)重于分,視結(jié)構(gòu)內(nèi)各構(gòu)件為平行關(guān)系,無需考慮構(gòu)件間的支承關(guān)系,也無需關(guān)注力矩的傳遞。因此,文獻(xiàn)[3-5]中論述的規(guī)定水平力下框架傾覆力矩是指結(jié)構(gòu)內(nèi)框架部分所分擔(dān)(或分配)的傾覆力矩,即本文式(1)、(2)及式(4)～(6),只需考慮隔離體內(nèi)框架構(gòu)件的傾覆力矩即可,無需顧及框架和剪力墻之間的支承關(guān)系。

但求解框架承擔(dān)傾覆力矩則必須考慮框架和剪力墻間的支承關(guān)系,因?yàn)橐紤]“力矩的傳遞和流向”。

對圖4所示結(jié)構(gòu),按式(1)柱剪法求解2層以上隔離體內(nèi)框架分擔(dān)傾覆力矩時(shí),將3層框架柱Z1～Z7的分擔(dān)傾覆力矩均包括進(jìn)來,這顯然不應(yīng)均被2層框架所承擔(dān),從力傳遞路徑最短的角度,2層僅有的框架柱Z8至少是不會承擔(dān)框架柱Z1的分擔(dān)傾覆力矩,僅取2層樓面梁L2和3層框架柱Z7的分擔(dān)傾覆力矩可能更合適。若求解首層框架承擔(dān)傾覆力矩,由于2層剪力墻Q1支承于框架柱Z9上,Q1的分擔(dān)傾覆力矩應(yīng)予計(jì)入;而按式(1)求解首層以上隔離體內(nèi)框架分擔(dān)傾覆力矩時(shí)卻未計(jì)入Q1的分擔(dān)傾覆力矩;2層剪力墻Q3支承于剪力墻Q5上,若剪力墻Q5因與水平力方向的夾角α在90°左右而被視為面外受力,則剪力墻Q3的分擔(dān)傾覆力矩也應(yīng)計(jì)入首層框架承擔(dān)傾覆力矩中。

圖4 某三層框架-剪力墻結(jié)構(gòu)示意

因此,在傾覆力矩方面,框架承擔(dān)與框架分擔(dān)遠(yuǎn)不相同,準(zhǔn)確計(jì)算框架承擔(dān)傾覆力矩相比分擔(dān)傾覆力矩更復(fù)雜。

3 修正的統(tǒng)一解法計(jì)算框架承擔(dān)傾覆力矩

3.1 框架承擔(dān)傾覆力矩的計(jì)算原則

實(shí)質(zhì)上水平力下建筑結(jié)構(gòu)中“力的傳遞”是主拉應(yīng)力或主壓應(yīng)力下的應(yīng)力線軌跡,或者說是應(yīng)變能等高線所示意的流線,而在構(gòu)件層次上構(gòu)件應(yīng)變能是其彎矩和曲率、軸力和拉壓應(yīng)變、剪力和剪應(yīng)變各自積分的總和。若只看構(gòu)件的彎矩,會發(fā)現(xiàn)力矩似乎只傳至節(jié)點(diǎn)區(qū)便結(jié)束,實(shí)則不然。

圖5給出了底部固接的一榀規(guī)則框架在水平力作用下的彎矩圖、軸力圖和剪力圖。水平荷載下結(jié)構(gòu)整體表現(xiàn)為抗彎和抗剪兩大力學(xué)特性,抗剪及“剪力流”直觀地顯示在剪力分布圖中,但抗彎及“彎矩流”卻很難單獨(dú)從彎矩圖中看出。彎矩圖表明水平構(gòu)件的傾覆力矩以其反彎點(diǎn)為界,以彎矩的形式分別向兩側(cè)節(jié)點(diǎn)區(qū)傳遞;而軸力圖進(jìn)一步表明,由水平構(gòu)件傳遞過來的“彎矩流”匯集在節(jié)點(diǎn)區(qū)之后轉(zhuǎn)換為框架柱“軸力流”,再以最短路徑傳至底部支座。因此,水平荷載下結(jié)構(gòu)傾覆力矩的傳遞在能量上的表現(xiàn)為:從水平構(gòu)件反彎點(diǎn)處向兩側(cè)以彎矩曲率的能量表現(xiàn)形式傳遞至節(jié)點(diǎn)區(qū),轉(zhuǎn)化為豎向構(gòu)件軸力拉壓應(yīng)變的能量表現(xiàn)形式,再繼續(xù)往支座傳遞。

圖5 水平荷載下一榀規(guī)則框架的內(nèi)力圖示意

水平荷載下結(jié)構(gòu)的傾覆力矩可僅從其彎矩圖利用梁剪法或柱剪法求得,而無需查看軸力圖[3],但豎向構(gòu)件的軸力圖可理解為傾覆力矩豎向傳遞的路徑。因此,考慮到建筑結(jié)構(gòu)均是底部為支座,在計(jì)算水平荷載下首層框架承擔(dān)傾覆力矩時(shí),可基于以下原則(或約定):從首層各框架柱(包括與所求傾覆力矩方向垂直的剪力墻)出發(fā),從下往上,以相應(yīng)框架柱向上索引,得到各層該框架柱前后左右樓面梁的反彎點(diǎn),各層反彎點(diǎn)連線之后形成一條帶狀子結(jié)構(gòu),不妨稱之為傾覆力矩傳遞帶,該傳遞帶底部即為待求的承擔(dān)傾覆力矩的框架柱,其承擔(dān)傾覆力矩即該傳遞帶內(nèi)上部各結(jié)構(gòu)分擔(dān)傾覆力矩總和,最后匯總首層各框架柱承擔(dān)傾覆力矩即為該結(jié)構(gòu)首層框架承擔(dān)傾覆力矩。

3.2 一般建筑結(jié)構(gòu)中框架承擔(dān)傾覆力矩的計(jì)算

對于一般建筑結(jié)構(gòu),由于無轉(zhuǎn)換(也無支撐),可微調(diào)統(tǒng)一解法中的柱剪法,按式(7)計(jì)算i0層框架承擔(dān)傾覆力矩。

(7)

按式(7)計(jì)算時(shí),邊界梁僅取與剪力墻面外相交者,原因是剪力墻面內(nèi)相連的框架梁雖然自身分擔(dān)傾覆力矩屬于框架,但卻傳遞給相連剪力墻,成為剪力墻面內(nèi)受彎的一部分,因此需予以剔除。

3.3 豎向轉(zhuǎn)換建筑結(jié)構(gòu)中框架承擔(dān)傾覆力矩的計(jì)算

對圖4所示結(jié)構(gòu),求解2層框架承擔(dān)傾覆力矩時(shí)由于存在墻支轉(zhuǎn)換柱,利用式(7)會高估2層框架承擔(dān)傾覆力矩;而求解首層框架承擔(dān)傾覆力矩時(shí),又因存在框支轉(zhuǎn)換墻,利用式(7)會低估首層框架承擔(dān)傾覆力矩。

根據(jù)上述框架承擔(dān)傾覆力矩的計(jì)算原則,此時(shí)需對式(7)予以修正,結(jié)果見式(8)。

(8)

式(8)實(shí)質(zhì)上是對式(1c)所示的柱剪法進(jìn)行的修正,其中擬框架柱根據(jù)待求i0層內(nèi)豎向構(gòu)件的性質(zhì)不同而有所不同:當(dāng)其位于i0層的面內(nèi)剪力墻傾覆力矩傳遞帶內(nèi)時(shí),即使是框架柱也需予以剔除;當(dāng)其位于i0層的面外剪力墻或框架柱的傾覆力矩傳遞帶內(nèi)時(shí),即使是面內(nèi)剪力墻也需予以包含(面外剪力墻不包含,但計(jì)入邊界梁或邊界撐的邊界端彎矩)。

對圖4所示結(jié)構(gòu),求解首層和2層的框架承擔(dān)傾覆力矩時(shí),其上方各層擬框架柱分別如圖6、7所示。圖6中,因首層剪力墻Q5與樓面梁夾角90°屬于面外剪力墻,因此首層剪力墻Q5不視為擬框架柱,但與其相連的兩側(cè)樓面梁需視為邊界梁,需計(jì)入其邊界端(圖中星號所示)彎矩,剪力墻Q5之上的剪力墻Q3則視為擬框架柱。

圖6 求解首層框架承擔(dān)傾覆力矩時(shí)擬框架柱判別示意

圖7 求解2層框架承擔(dān)傾覆力矩時(shí)擬框架柱判別示意

式(7)所示的一般建筑結(jié)構(gòu)中框架承擔(dān)傾覆力矩的計(jì)算式為式(8)的特例。因此,不妨將式(8)記為修正的統(tǒng)一解法,用于建筑結(jié)構(gòu)中框架承擔(dān)傾覆力矩的計(jì)算。

3.4 邊界梁有較大拉壓力時(shí)框架承擔(dān)傾覆力矩的計(jì)算

對圖4所示結(jié)構(gòu)可以按圖6所示傾覆力矩傳遞帶的劃分來計(jì)算首層框架承擔(dān)傾覆力矩,當(dāng)剪力墻Q1滿跨布置而與剪力墻Q2相連,與剪力墻Q4一起形成刀把形剪力墻時(shí),如圖8(a)所示,此時(shí)邊界梁L1和L3已不同于普通邊界梁,其存在較大軸向拉壓力,該拉壓力因該滿跨剪力墻協(xié)同受力導(dǎo)致,且沿梁長不等。

圖8 框支墻滿跨布置及一跨單層結(jié)構(gòu)受水平力作用示意

此時(shí)利用式(8)所示修正的柱剪法來計(jì)算時(shí)首要問題是確定傾覆力矩傳遞帶穿越剪力墻Q1哪個(gè)位置。

對圖8(b)所示任意單層單跨結(jié)構(gòu)的樓面梁,無論其兩側(cè)豎向構(gòu)件的剛度差異如何,也無論該樓面梁的剛度如何,水平力下該樓面梁的反彎點(diǎn)在梁長范圍內(nèi),這是顯然的。所以,圖8(a)所示的滿跨剪力墻Q1的水平向反彎點(diǎn)也在該跨內(nèi)?？梢詫⒘篖1、L3和剪力墻Q1組成一類梁的組合構(gòu)件,對其左右端的豎向剖面積分得到其左右端彎矩、剪力,繼而得到反彎點(diǎn),該反彎點(diǎn)即傾覆力矩傳遞帶穿越位置。利用式(8)所示修正的柱剪法計(jì)算首層框架柱Z9承擔(dān)傾覆力矩時(shí),宜剔除擬框架柱Q1(當(dāng)梁L1和L3判定為邊界梁時(shí)也予以剔除),而增加該梁式受力組合構(gòu)件的傾覆力矩貢獻(xiàn)。

一般情況下,梁式受力組合構(gòu)件傳遞給一端框架的傾覆力矩應(yīng)按式(9)計(jì)算。

(9)

式(9)中梁式受力組合構(gòu)件的樓面集中局部彎矩可根據(jù)節(jié)點(diǎn)力矩平衡反算得到。如圖8(a)所示由梁L1、L3和剪力墻Q1組成一梁式受力組合構(gòu)件,靠框架端樓面集中局部彎矩?cái)?shù)量為2,可分別由框架柱Z1的柱底彎矩和框架柱Z9的柱頂彎矩按節(jié)點(diǎn)力矩平衡反算得到。

如圖9(a)所示某典型滿跨框支墻受樓面水平力作用,其梁柱彎矩分布如圖9(b)所示,取梁式受力組合構(gòu)件并積分得到其彎矩分布如圖9(c)所示。該梁式受力組合構(gòu)件左側(cè)框架柱的彎矩圖是曲線狀,其剪力沿層高是變化的,因此不可簡單地視為擬框架柱按式(8)計(jì)算。在文獻(xiàn)[4]計(jì)算框架分擔(dān)傾覆力矩時(shí)對此類埋置在剪力墻內(nèi)部或端部的框架柱都不予計(jì)入,而將與其相連的樓面梁視為邊界梁。根據(jù)式(9),該梁式受力組合構(gòu)件端部積分合力點(diǎn)高度為(12×2×7.2+6×2×3.6)/(12×2+6×2) = 6m,積分結(jié)果見圖9(c),其傳遞給左下方框架柱的傾覆力矩為64.0-(16.6+17)=30.4kN·m。

圖9 某典型滿跨框支墻受水平力作用及其內(nèi)力圖

當(dāng)梁式受力組合構(gòu)件兩端均傳遞給框架時(shí),則無需按式(9)修正,按式(8)計(jì)算即可。如當(dāng)圖6中的剪力墻Q3和框架柱Z8連為一體而成為滿跨轉(zhuǎn)換時(shí),由于其下方兩側(cè)的剪力墻Q5和框架柱Z10在該方向均屬于框架類,因此無需區(qū)分。

該方法可擴(kuò)展到帶伸臂的框架-核心筒結(jié)構(gòu),只是將伸臂的腹桿和上下弦桿視為梁式受力組合構(gòu)件,按式(9)來計(jì)算其傳遞給外框柱的傾覆力矩。舉例如圖10(a)所示某典型帶伸臂結(jié)構(gòu)受樓面水平力作用,其梁柱彎矩分布如圖10(b)、(c)所示,將伸臂腹桿和上下弦桿視為梁式受力組合構(gòu)件,其端部積分合力點(diǎn)高度為(20×2×7.2+10×2×3.6)/(20×2+10×2)=6m,積分得到其彎矩分布如圖10(d)所示。根據(jù)式(9),該伸臂構(gòu)成的梁式受力組合構(gòu)件傳遞給左下方框架柱的傾覆力矩為104.7-(22.2-17.1+29.3-17.5)=104.7-16.9=87.8kN·m。其靠框架側(cè)樓面集中局部彎矩也可根據(jù)該伸臂靠框架側(cè)構(gòu)件端彎矩求得:5.2+2.8-(-8.9)=16.9kN·m。

圖10 某帶伸臂結(jié)構(gòu)受水平力作用及其內(nèi)力圖

若利用式(1c)所示的柱剪法來計(jì)算該伸臂分擔(dān)傾覆力矩,其結(jié)果正好為其內(nèi)部三根斜腹桿軸力剪力產(chǎn)生的傾覆力矩(經(jīng)計(jì)算為400kN·m)和周邊邊界梁和梁型邊界撐的邊界端彎矩之和,結(jié)果為400+5.2+2.8+1.4+2.4-(-8.9-5.1)=425.8kN·m,這與將伸臂視作梁式受力組合構(gòu)件的傾覆力矩(104.7+321.1=425.8kN·m)一致,結(jié)果相互印證。

對于建筑結(jié)構(gòu)中的環(huán)桁架,其兩側(cè)均連至外框柱,所以無需按式(9)所示梁式受力組合構(gòu)件計(jì)算其傳遞到框架上的傾覆力矩,按式(8)計(jì)算即可,只是需將環(huán)桁架的斜腹桿視作擬框架柱來計(jì)算。

嚴(yán)格意義上,圖6所示的非滿跨轉(zhuǎn)換的剪力墻Q1也會在梁L1和L3內(nèi)產(chǎn)生一定軸向拉壓力(一般不大),應(yīng)視作梁式受力組合構(gòu)件按式(9)計(jì)算,否則會高估其傳遞給下方框架柱Z9的傾覆力矩。對于滿跨轉(zhuǎn)換(如滿跨框支轉(zhuǎn)換剪力墻)、跨內(nèi)轉(zhuǎn)換(如框支梁梁內(nèi)托轉(zhuǎn)、空腹桁架轉(zhuǎn)換等)以及伸臂等均應(yīng)視作梁式受力組合構(gòu)件按式(9)計(jì)算,且計(jì)算時(shí)不宜考慮剛性樓蓋假定。

綜上,對于一般建筑結(jié)構(gòu)(不帶轉(zhuǎn)換)、墻支轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)、框支轉(zhuǎn)換剪力墻結(jié)構(gòu)或帶伸臂的結(jié)構(gòu),規(guī)定水平力下某層框架承擔(dān)傾覆力矩均可結(jié)合式(8)所示修正的統(tǒng)一解法和式(9)所示梁式受力組合構(gòu)件的傾覆力矩計(jì)算式來計(jì)算。

對于一些復(fù)雜結(jié)構(gòu),可能難以得到傾覆力矩傳遞帶,這時(shí)可以近似求解。如,對巨型交叉撐的框架-核心筒結(jié)構(gòu),求解單根巨型斜撐時(shí)難以得到其傾覆力矩傳遞帶,但可以先求得巨型斜撐與外框柱整體承擔(dān)傾覆力矩,從而得到取矩點(diǎn),再根據(jù)所求單根巨型斜撐的內(nèi)力求矩。

4 力學(xué)法求解框架承擔(dān)傾覆力矩

式(8)、(9)給出了結(jié)構(gòu)中框架承擔(dān)傾覆力矩的合理計(jì)算方法,同時(shí)也可得到采用力學(xué)法計(jì)算時(shí)的取矩點(diǎn),可在式(5)取矩點(diǎn)定義基礎(chǔ)上進(jìn)行修正,結(jié)果如式(10)所示。

(10)

按式(10)得到第i0層框架承擔(dān)傾覆力矩的取矩點(diǎn)坐標(biāo),便可仿照式(5)的力學(xué)法來計(jì)算第i0層框架承擔(dān)傾覆力矩。當(dāng)式(10)中的分母項(xiàng)為零時(shí),需按式(11)式計(jì)算MW。

(11)

5 框架傾覆力矩與框架承擔(dān)傾覆力矩的應(yīng)用

框架傾覆力矩與框架承擔(dān)傾覆力矩的差異主要是:對于水平力下的結(jié)構(gòu)總傾覆力矩,框架傾覆力矩是隔離體內(nèi)框架部分所分擔(dān)的傾覆力矩,而框架承擔(dān)傾覆力矩除所求層框架所分擔(dān)的傾覆力矩外還包括由結(jié)構(gòu)內(nèi)其他構(gòu)件傳遞過來的傾覆力矩。在抵抗水平力傾覆作用上,框架傾覆力矩著眼于結(jié)構(gòu)內(nèi)總框架部分,視各框架構(gòu)件之間為平行關(guān)系;而框架承擔(dān)傾覆力矩基于本層框架自身的同時(shí)還需考察該框架與周邊結(jié)構(gòu)之間的支承關(guān)系,可體現(xiàn)框架在結(jié)構(gòu)內(nèi)所處位置的力學(xué)影響。

當(dāng)結(jié)構(gòu)內(nèi)框架部分與其余部分之間為弱聯(lián)系(如圖11所示的框剪梁相連)時(shí),框架傾覆力矩與框架承擔(dān)傾覆力矩差異較小,特別地當(dāng)框剪梁邊界端為鉸接時(shí),兩者結(jié)果相同。但是倘若框架部分與結(jié)構(gòu)其余部分之間為強(qiáng)聯(lián)系(如圖12所示的桁架相連、墻支轉(zhuǎn)換、框支轉(zhuǎn)換以及混合轉(zhuǎn)換)時(shí),兩者結(jié)果差異很大。

圖11 結(jié)構(gòu)內(nèi)框架與剪力墻之間為弱聯(lián)系

圖12 結(jié)構(gòu)內(nèi)框架與剪力墻之間為強(qiáng)聯(lián)系

框架傾覆力矩的主要應(yīng)用是評價(jià)結(jié)構(gòu)抗側(cè)特性中框架特性表現(xiàn)的程度如何。對圖12(b)～(d),評價(jià)此類豎向轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)的框架特性時(shí)應(yīng)無需查看其框架部分在剪力墻的上方或是下方、左側(cè)或是右側(cè)、或是在剪力墻之間,只要它屬于框架類構(gòu)件,其分擔(dān)的傾覆力矩則計(jì)入框架傾覆力矩中,這是合理的。在高層建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中,這一概念用于框架結(jié)構(gòu)、框架-剪力墻結(jié)構(gòu)和剪力墻結(jié)構(gòu)的抗側(cè)結(jié)構(gòu)體系分類[1]。

而框架承擔(dān)傾覆力矩主要用于評價(jià)某框架柱或某部分框架柱在抵抗水平傾覆作用時(shí)的重要性,受其所在位置影響很大。由于建筑結(jié)構(gòu)支座在底部,因此一般情況下其在結(jié)構(gòu)底部時(shí)重要性大于頂部。

對于圖11這類框架部分與剪力墻部分之間為弱聯(lián)系的情況,由于框架傾覆力矩與框架承擔(dān)傾覆力矩之間差異不大,導(dǎo)致很長時(shí)間以來工程人員誤以為按抗規(guī)法計(jì)算的是框架承擔(dān)傾覆力矩。而當(dāng)應(yīng)用到圖12(c)、(d)類結(jié)構(gòu)時(shí),如計(jì)算框支剪力墻結(jié)構(gòu)中框支框架承擔(dān)傾覆力矩,發(fā)現(xiàn)抗規(guī)法計(jì)算結(jié)果與概念不符,才疑惑抗規(guī)法有誤,導(dǎo)致出現(xiàn)了諸多形式的力學(xué)法[6-9],其實(shí)是混淆了框架傾覆力矩與框架承擔(dān)傾覆力矩的概念。

抗規(guī)法求解的是框架傾覆力矩,而諸多文獻(xiàn)[6-9]提出的不同力學(xué)法均為求框架承擔(dān)傾覆力矩,兩者并不相同。但無論是求解框架傾覆力矩還是框架承擔(dān)傾覆力矩,抗規(guī)法或現(xiàn)有的力學(xué)法均存在不足的地方。文獻(xiàn)[3-5]所提的統(tǒng)一解法(式(1)、(2))及其相應(yīng)的力學(xué)法(式(4)～(6))是求解框架傾覆力矩的合理方法;修正統(tǒng)一解法(式(7)～(9))及相應(yīng)的力學(xué)法(由式(5)結(jié)合式(10)、(11))是求解框架承擔(dān)傾覆力矩的合理方法。

6 典型結(jié)構(gòu)案例中框架承擔(dān)傾覆力矩的計(jì)算

為便于說明問題,選取典型結(jié)構(gòu)均為一榀平面結(jié)構(gòu),按一般建筑結(jié)構(gòu)(取對稱框架-剪力墻結(jié)構(gòu)、非對稱框架-剪力墻結(jié)構(gòu))、豎向轉(zhuǎn)換建筑結(jié)構(gòu)(取一對稱框支轉(zhuǎn)換剪力墻結(jié)構(gòu))和邊界梁有較大拉壓力的建筑結(jié)構(gòu)(取非對稱滿跨框支轉(zhuǎn)換剪力墻結(jié)構(gòu)和非對稱帶伸臂結(jié)構(gòu))三種類別,分別計(jì)算和比較不同求解方法下框架承擔(dān)傾覆力矩及占比。為便于水平荷載的集中輸入,在樓面處設(shè)置水平平動剛性隔板以模擬實(shí)際結(jié)構(gòu)的剛性樓板作用。

6.1 一般建筑結(jié)構(gòu)(非轉(zhuǎn)換類)

取一個(gè)對稱的3層平面鋼筋混凝土框架-剪力墻結(jié)構(gòu)(簡稱對稱框剪結(jié)構(gòu))進(jìn)行分析,該結(jié)構(gòu)層高5m,梁截面300mm×600mm,柱截面600mm×600mm,墻厚600mm,混凝土強(qiáng)度等級均為C30,1～3層的水平力分別為100、200kN和300kN,其立面圖如圖13所示。利用MIDAS Gen進(jìn)行有限元靜力計(jì)算,為使得樓層梁與剪力墻連接時(shí)轉(zhuǎn)動自由度協(xié)調(diào),將樓面梁貫穿剪力墻(設(shè)計(jì)類軟件中往往通過剛性約束實(shí)現(xiàn))。在該對稱框剪結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上,將右側(cè)框架柱距加大為6m,其余條件不變,得到非對稱框剪結(jié)構(gòu),其立面圖如圖14所示。

圖13 對稱框剪結(jié)構(gòu)示意圖

圖14 非對稱框剪結(jié)構(gòu)示意圖

經(jīng)計(jì)算,不同方法下兩算例的首層框架承擔(dān)傾覆力矩及其占比結(jié)果分別如表1、2所示。

表1 對稱框剪結(jié)構(gòu)首層框架承擔(dān)傾覆力矩

表2 非對稱框剪結(jié)構(gòu)首層框架承擔(dān)傾覆力矩

按修正的統(tǒng)一解法計(jì)算時(shí),由于式(7)所示的柱剪法中的邊界梁僅取與剪力墻面外相交者,因此本節(jié)算例按式(7)計(jì)算時(shí)式(7)右端項(xiàng)為零,結(jié)果與抗規(guī)法相同。

按修正的統(tǒng)一解法所對應(yīng)的力學(xué)法計(jì)算時(shí),對于對稱框剪結(jié)構(gòu),扣除項(xiàng)Mw需根據(jù)邊界梁兩端彎矩計(jì)算其各自反彎點(diǎn)坐標(biāo),再結(jié)合其剪力值按式(11)計(jì)算,其結(jié)果與柱剪法結(jié)果很接近;對于非對稱框剪結(jié)構(gòu),需要按式(10)計(jì)算取矩點(diǎn),結(jié)果也與柱剪法結(jié)果很接近。表明這兩種方法結(jié)果是一致的。

由對稱框剪結(jié)構(gòu)到非對稱框剪結(jié)構(gòu),只是右側(cè)兩跨框架的跨度增大,其余均未調(diào)整,則框架承擔(dān)傾覆力矩應(yīng)略有減小。而按現(xiàn)有的力學(xué)法,其框架承擔(dān)傾覆力矩占比變化較大,且非對稱框剪結(jié)構(gòu)各計(jì)算方法的取矩點(diǎn)差異也很大。

非對稱框剪結(jié)構(gòu)力偶法結(jié)果與抗規(guī)法接近(占比均為15.1%),而對稱框剪結(jié)構(gòu)力偶法結(jié)果高達(dá)45.9%,其原因是按文獻(xiàn)[9]對稱結(jié)構(gòu)沒有不平衡力偶,因而未計(jì)算不平衡力偶分解到框架部分的傾覆力矩,但按其給出的不平衡力偶分解到框架部分的傾覆力矩計(jì)算公式來計(jì)算,結(jié)果并不為零,其值為Mw,扣除之后便與抗規(guī)法接近了。這可證明,力偶法與抗規(guī)法等效。

6.2 豎向轉(zhuǎn)換建筑結(jié)構(gòu)

從6.1節(jié)一般建筑結(jié)構(gòu)算例計(jì)算結(jié)果來看,按修正的統(tǒng)一解法計(jì)算框架承擔(dān)傾覆力矩與抗規(guī)法基本一致,原因如下:一是由于所舉案例沒有邊界梁;二是由于框架承擔(dān)傾覆力矩傳遞帶上均為框架,沒有框支墻或墻支柱的情況。

框支剪力墻結(jié)構(gòu)是一種常見的結(jié)構(gòu)體系,因此在6.1節(jié)對稱框剪結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上,將2、3層內(nèi)側(cè)框架柱改為非滿跨轉(zhuǎn)換的框支墻(墻長2m),其余條件不變,得到對稱框支轉(zhuǎn)換剪力墻結(jié)構(gòu),如圖15所示。

圖15 對稱框支轉(zhuǎn)換剪力墻結(jié)構(gòu)示意圖

經(jīng)計(jì)算,不同計(jì)算方法下對稱框支轉(zhuǎn)換剪力墻結(jié)構(gòu)首層框架承擔(dān)傾覆力矩如表3所示,該結(jié)構(gòu)首層框支框架承擔(dān)的傾覆力矩如表4所示。

表3 對稱框支轉(zhuǎn)換剪力墻結(jié)構(gòu)首層框架承擔(dān)傾覆力矩

表4 對稱框支轉(zhuǎn)換剪力墻結(jié)構(gòu)首層框支框架承擔(dān)傾覆力矩

由于沒有梁式受力組合構(gòu)件,按修正的統(tǒng)一解法計(jì)算框架和框支框架承擔(dān)傾覆力矩時(shí),其傳遞帶穿越各層邊界梁反彎點(diǎn)即可,如圖16所示。

圖16 對稱框支轉(zhuǎn)換剪力墻結(jié)構(gòu)的框架及框支框架承擔(dān)傾覆力矩傳遞帶

從表3、4中各計(jì)算方法的框架和框支框架承擔(dān)傾覆力矩的結(jié)果來看,差異很顯著。由于修正的統(tǒng)一解法計(jì)入了傾覆力矩傳遞帶上剪力墻的貢獻(xiàn),其框架承擔(dān)傾覆力矩占比為29.1%,比抗規(guī)法的7.2%高出很多;同樣,對于框支框架承擔(dān)傾覆力矩,修正的統(tǒng)一解法計(jì)算結(jié)果為22.9%,也比抗規(guī)法的1.0%高出很多。這表明,利用抗規(guī)法會嚴(yán)重低估框支剪力墻結(jié)構(gòu)首層框架(或框支框架)承擔(dān)傾覆力矩。

由于外側(cè)普通框架柱軸力遠(yuǎn)高于內(nèi)側(cè)框支柱,導(dǎo)致現(xiàn)有常見的力學(xué)法計(jì)算的框架承擔(dān)傾覆力矩占比時(shí)高達(dá)73.4%,而計(jì)算框支框架承擔(dān)傾覆力矩時(shí)僅為14.9%。其中,力偶法扣除相應(yīng)Mw后的結(jié)果與修正的統(tǒng)一解法結(jié)果相同。

6.3 邊界梁有較大拉壓力時(shí)的建筑結(jié)構(gòu)

在6.1節(jié)非對稱框剪結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上,適當(dāng)調(diào)整,得到非對稱滿跨框支轉(zhuǎn)換剪力墻結(jié)構(gòu)和非對稱帶伸臂結(jié)構(gòu),其立面圖分別見圖17、18。滿跨框支墻墻厚為600mm,伸臂腹桿截面為500mm×500mm。不同方法的非對稱滿跨框支轉(zhuǎn)換剪力墻結(jié)構(gòu)和非對稱帶伸臂結(jié)構(gòu)的首層框架承擔(dān)傾覆力矩結(jié)果分別如表5、6所示,由于力偶法未給出非對稱情況下帶伸臂結(jié)構(gòu)和滿跨轉(zhuǎn)換時(shí)的計(jì)算方法,所以表5、6結(jié)果中均未計(jì)入力偶法。

表5 非對稱滿跨框支轉(zhuǎn)換剪力墻結(jié)構(gòu)首層框架承擔(dān)傾覆力矩

圖17 非對稱滿跨框支轉(zhuǎn)換剪力墻結(jié)構(gòu)示意圖

圖18 非對稱帶伸臂結(jié)構(gòu)示意圖

對比各種計(jì)算方法的兩種結(jié)構(gòu)首層框架承擔(dān)傾覆力矩占比結(jié)果,顯然抗規(guī)法嚴(yán)重偏低,而軸力法首層框架承擔(dān)傾覆力矩占比超過100%,顯然不妥。修正的統(tǒng)一解法下的結(jié)果則比較合理,且其柱剪法和力學(xué)法的結(jié)果也基本一致。

采用修正的統(tǒng)一解法相應(yīng)的力學(xué)法計(jì)算時(shí),表5所示的非對稱滿跨框支轉(zhuǎn)換剪力墻結(jié)構(gòu)的取矩點(diǎn)顯著超出結(jié)構(gòu)平面范圍;表6所示的非對稱帶伸臂結(jié)構(gòu)的取矩點(diǎn)甚至在139km之外,其原因是雖然結(jié)構(gòu)為非對稱的,但剪力墻的豎向合力基本為零(0.04kN),導(dǎo)致按式(10)計(jì)算取矩點(diǎn)時(shí)分母項(xiàng)過小,使得取矩點(diǎn)遠(yuǎn)超出結(jié)構(gòu)平面范圍。也正因此,本文不推薦采用力學(xué)法計(jì)算框架承擔(dān)傾覆力矩,雖然在修正的統(tǒng)一解法下,柱剪法和力學(xué)法計(jì)算結(jié)果相同。

表6 非對稱帶伸臂結(jié)構(gòu)首層框架承擔(dān)傾覆力矩

對兩2個(gè)算例按修正的統(tǒng)一解法計(jì)算首層框架承擔(dān)傾覆力矩時(shí),需計(jì)算各自左右兩個(gè)梁式受力組合構(gòu)件。按式(9)計(jì)算梁式受力組合構(gòu)件時(shí),積分高度均為(200×10+100×5)/(200+100)=8.333m,計(jì)算得到相應(yīng)梁式受力組合構(gòu)件的彎矩值如圖19、20所示,圖中也給出首層框架承擔(dān)傾覆力矩傳遞帶。

圖19 非對稱滿跨框支轉(zhuǎn)換剪力墻結(jié)構(gòu)框架承擔(dān)傾覆力矩傳遞帶及梁式受力組合構(gòu)件積分后的端彎矩值/(kN·m)

圖20 非對稱帶伸臂結(jié)構(gòu)框架承擔(dān)傾覆力矩傳遞帶及梁式受力組合構(gòu)件積分后的端彎矩值/(kN·m)

7 結(jié)論

計(jì)算框架傾覆力矩的統(tǒng)一解法實(shí)為求解框架分擔(dān)的傾覆力矩,總結(jié)并給出其相應(yīng)的力學(xué)法。研究指出框架傾覆力矩與框架承擔(dān)傾覆力矩之間的差異,并給出求解框架承擔(dān)傾覆力矩的合理原則,進(jìn)一步提出求解框架承擔(dān)傾覆力矩的合理方法。有以下主要結(jié)論:

(1)框架傾覆力矩及框架承擔(dān)傾覆力矩兩個(gè)概念容易混淆,前者主要應(yīng)用于評價(jià)結(jié)構(gòu)抗側(cè)特性中框架特性的表現(xiàn)程度,可應(yīng)用于框架-剪力墻結(jié)構(gòu)體系的劃分;而框架承擔(dān)傾覆力矩則主要用于評價(jià)結(jié)構(gòu)構(gòu)件在抵抗水平力傾覆作用下的作用,如用于計(jì)算框支框架承擔(dān)傾覆力矩;建議規(guī)范修編時(shí)區(qū)分此概念,避免混淆。

(2)現(xiàn)有常見計(jì)算方法中,抗規(guī)法更適于求解框架傾覆力矩,而軸力法、改進(jìn)軸力法以及力偶法等均為試圖求解框架承擔(dān)傾覆力矩而提出,在本質(zhì)上與抗規(guī)法不同。

(3)統(tǒng)一解法為求解框架傾覆力矩的合理方法,提出的修正的統(tǒng)一解法則是求解框架承擔(dān)傾覆力矩的合理方法,適用于一般建筑結(jié)構(gòu)(不帶轉(zhuǎn)換)、豎向轉(zhuǎn)換的建筑結(jié)構(gòu)(框支或墻支)以及部分復(fù)雜結(jié)構(gòu)體系(如滿跨框支墻轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)、帶伸臂的框架-核心筒結(jié)構(gòu))等結(jié)構(gòu)體系。

(4)算例表明,現(xiàn)有常見計(jì)算方法(包括抗規(guī)法、軸力法、改進(jìn)軸力法以及力偶法等),在計(jì)算框架承擔(dān)傾覆力矩時(shí),其結(jié)果都有或大或小的差異,而修正的統(tǒng)一解法下的柱剪法和力學(xué)法計(jì)算結(jié)果一致,計(jì)算結(jié)果合理,建議采用。

(5)本文提出的修正的統(tǒng)一解法是基于傾覆力矩傳遞帶概念,而實(shí)際結(jié)構(gòu)中難免有些結(jié)構(gòu)體系很難給出其具體構(gòu)件的傾覆力矩傳遞帶,但往往也可以近似求解。