粘性波動方程解的逐點(diǎn)估計(jì)

徐紅梅,郭曉曉

(河海大學(xué)理學(xué)院,江蘇 南京 211100)

0 引言

本文中考慮二維空間帶粘性項(xiàng)非線性波動方程解的逐點(diǎn)估計(jì)。方程形式為

(1)

耗散波動方程能幫助我們理解流體力學(xué)中的許多復(fù)雜方程。如,帶阻滯項(xiàng)的線性歐拉方程可轉(zhuǎn)變成帶阻滯項(xiàng)的波動方程。線性Navier-Stokes方程也可變形成(1)的線性結(jié)構(gòu)。因此有很多學(xué)者研究帶耗散結(jié)構(gòu)的波動方程,并取得了很多成果。下面只列出帶粘性項(xiàng)?tΔu的波動方程的部分結(jié)果。 在文獻(xiàn)[1-4]中,用能量估計(jì)的方法考慮了一系列擬線性波動方程在有界域中的初值問題。 文獻(xiàn)[5]中得到了高維線性方程的Lp估計(jì)。文獻(xiàn)[6]中結(jié)合能量估計(jì)和格林函數(shù)的方法得到非線性粘性波動方程小初值情形經(jīng)典解的整體存在性和Lp估計(jì)。文獻(xiàn)[7]中得到奇數(shù)維空間非線性方程解的逐點(diǎn)估計(jì)。文獻(xiàn)[8]中考慮了空間維數(shù)n≥4且為偶數(shù)時解的逐點(diǎn)估計(jì)。從文獻(xiàn)[6-8]中可以看出,方程解的衰減性與空間維數(shù)有關(guān),維數(shù)越高,解衰減越快。所以二維空間解的逐點(diǎn)估計(jì)更難計(jì)算。此文中,我們由對高頻格林函數(shù)和非線性項(xiàng)更詳細(xì)的分析,解決了這一問題。

本文中,我們用C代表正常數(shù),α是多重指標(biāo)α=(α1,α2),且|α|=α1+α2,下面我們列出一些準(zhǔn)備工作。

1 準(zhǔn)備工作

本研究是在對(1)的格林函數(shù)作詳細(xì)分析的基礎(chǔ)上得出的。方程(1)的格林函數(shù)G1,G2為如下方程的解

直接計(jì)算得

(2)

(3)

其中

(4)

我們需要對Gi(i=1,2)分不同的頻率作估計(jì)。于是定義光滑截?cái)嗪瘮?shù)

其中2ε≤R。定義

當(dāng)|ξ|充分大時,由泰勒展開可得

(5)

(6)

(7)

(8)

依此類推,由式(2),(5)～(6)得,當(dāng)V∈Hl,對多重指標(biāo)α,β,|α|≤l-2,有

≤C

(9)

于是

(10)

同理可得,當(dāng)|α|≤l,

(11)

由式(10)～(11),可得

定理1.1當(dāng)V∈Hl,對任意正整數(shù)N,存在正常數(shù)C,b,有

有了這些準(zhǔn)備,下面我們可以進(jìn)入本文中的主要工作。

2 解的逐點(diǎn)估計(jì)

由文獻(xiàn)[7,定理2.5]知,若式(1)有解,則解u(x,t)可表示為

(12)

定理2.1若初值u0(x),u1(x)滿足‖u0‖Hl∩W1。1≤E,u1(x)= ?xig(x),‖g‖Hl+1∩L1≤E,且u0,u1有緊支集,對j=0,1,存在正常數(shù)CN,b,有

定理2.1的證明當(dāng)u0,u1有緊支集,由文獻(xiàn)[9,引理2.4]和[8,命題 3.1],得

由文獻(xiàn)[9,引理2.4]和[8,命題3.2],得

下面估計(jì)非線性項(xiàng)。令

由M(t)定義,當(dāng)|α|≤l-3,可得

(13)

由式(1)中f(u)的形式,可得當(dāng)|α|≤l-4,有

(14)

當(dāng)|α|=l-3,由[6,定理1.1]和(13)式,得

(15)

為估計(jì)式(12)中的定積分,還需要知道G2,3(x,t)的構(gòu)造,由文獻(xiàn)[9,定理2.4],式(3)、(7)、(8),得

G2,3(x)=f1(x)+Cδ(x)+f2(x)

(16)

引理2.1

引理2.1的證明當(dāng)|x|≥t時,有|x|-sr≥|x|-tr≥0,所以A2(x,s)≤A2(x,t)。于是

由文獻(xiàn)[9,引理2.6],有

(17)

所以當(dāng)0≤|x|≤t,有

引理得證。

引理2.2

引理2.2的證明當(dāng)|x-y|<2ε,

所以

(18)

當(dāng)|x|≥t+|x-y|,則|y|-tr≥|x|-tr-|x-y|≥0,于是

An(y,s)≤CAn(x,s)≤CAn(x,t).

(19)

(20)

由式(18)～(20),引理得證。

引理2.3

(21)

(22)

(23)

由式(21)～(23),引理得證。

由引理2.1,引理2.2,引理2.3及式(14)～(15)得,當(dāng)|α|≤l-3,有

(24)

由定理2.1及式(12)、(24),當(dāng)|α|≤l-3,有

其中C與E無關(guān)。由M(t)的定義,得

M(t)≤CE+M2(t)+CEM(t).

由M(0)充分小及M(t)的連續(xù)性,得M(t)有界。于是得到本文中結(jié)論。

定理2.2若方程(1)中的u0,u1滿足‖u0‖Hl∩Wl,1≤E,u1(x)=?xig(x),‖g‖Hl+1∩L1≤E,l≥4,E充分小,則方程的解u(x,t)滿足