感應(yīng)電動機群分組及聚合算法的比較分析

張思陽，陳宇杰，楊浩伯，吳浩 ，鞠平

(浙江大學(xué) 電氣工程學(xué)院，浙江 杭州 310027)

0 引 言

電力負荷作為電力系統(tǒng)的重要組成部分，負荷模型的精度對于電力系統(tǒng)仿真分析的準確性具有重要影響。感應(yīng)電動機是電力系統(tǒng)中最常見的動態(tài)負荷，感應(yīng)電動機群的等值是負荷建模工作的重要組成部分[1-6]。由于電力系統(tǒng)負荷中的感應(yīng)電動機數(shù)量眾多、種類復(fù)雜，很難在穩(wěn)定計算中考慮所有電動機的負荷模型。因此，電力系統(tǒng)仿真分析時通常將單個負荷節(jié)點下的眾多電動機等值為單臺或兩臺電動機來模擬整個電動機群的負荷特性[7]。

感應(yīng)電動機群的等值方法包括分組及聚合兩個步驟。分組算法通常依據(jù)一個或多個特征指標對感應(yīng)電動機群進行分組。依據(jù)單個特征指標的分組算法通常著眼于感應(yīng)電動機的某一特性，計算過程較為簡便，如文獻[8]提出，電動機的電磁轉(zhuǎn)矩-滑差特性對電動機的動態(tài)特性有很大影響，可將電磁轉(zhuǎn)矩-滑差特性曲線較為相似的電動機劃分為一組。文獻[9]考慮到各電動機靜態(tài)臨界穩(wěn)定特性的差異，定義臨界滑差與臨界電壓的比值為特征指標，將指標相近的電動機劃分為一組。文獻[3,10]提出電動機在電壓發(fā)生小干擾下的動態(tài)特性由其特征值決定，取電動機慣性時間常數(shù)與轉(zhuǎn)子電阻的乘積作為特征指標，指標相近的電動機劃分為一組。

依據(jù)多個特征指標對感應(yīng)電動機群進行分組時還需選擇合適的分組方法，如文獻[11]選擇與電動機轉(zhuǎn)子電磁暫態(tài)特性相關(guān)的轉(zhuǎn)子特征值的阻尼比和與機械暫態(tài)特性相關(guān)的機械特征值的衰減率作為特征指標，基于k-均值聚類算法將電動機群分組。文獻[12]選擇感應(yīng)電動機定子電阻、定子電抗、暫態(tài)開路時間常數(shù)等9個特征指標，使用自組織神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)將感應(yīng)電動機群分組。文獻[13]選用感應(yīng)電動機初始滑差、暫態(tài)開路時間常數(shù)、機械轉(zhuǎn)矩系數(shù)與轉(zhuǎn)子堵轉(zhuǎn)等值電抗的乘積等7個特征指標，由模糊c均值聚類算法對感應(yīng)電動機群分組。

感應(yīng)電動機的聚合是指確定等值電動機的負荷模型參數(shù)，使得等值電動機的外部特性與聚合前多臺并聯(lián)電動機的總體外部特性相同或相近[3]。文獻[14]假設(shè)所有電動機T型等值電路中性點直接并聯(lián)，以各電動機的容量為權(quán)值，等值電動機的參數(shù)為各電動機參數(shù)的加權(quán)和。文獻[15]在加權(quán)聚合計算中考慮了負載率和臨界滑差的影響對權(quán)值進行修正。文獻[10]在加權(quán)聚合計算中使用感應(yīng)電動機轉(zhuǎn)子堵轉(zhuǎn)等值電抗和定子開路時間常數(shù)對權(quán)值進行修正。文獻[11]以等值前后電動機負荷具有相同的總吸收有功功率和無功功率、總電磁功率、總轉(zhuǎn)子銅耗、總最大電磁功率和總動能為原則將電動機群等值為一臺電動機。文獻[12,16]提出將電動機靜態(tài)電路等效為3個并聯(lián)阻抗，通過將同一母線下所有電動機的等值阻抗分別并聯(lián)后，再還原為一臺電動機。文獻[17,18]假設(shè)所有電動機同時處于空載和堵轉(zhuǎn)兩種極端狀態(tài)，依據(jù)等值前后總阻抗相等的原則計算等值電動機的負荷模型參數(shù)。

單個負荷節(jié)點下的感應(yīng)電動機群中，各感應(yīng)電動機類型及負荷模型參數(shù)各有不同，其負荷特性也存在較大差異，感應(yīng)電動機群分組的特征指標及多臺感應(yīng)電動機的聚合方法難以確定，目前仍未有公認的最佳等值方法。

本文選擇了較為經(jīng)典的三種依據(jù)單個特征指標將感應(yīng)電動機群分組的分組算法及三種電動機加權(quán)聚合法，比較分析了各方法的基本原理，而后采用交叉組合的方式將IEEE推薦的7種感應(yīng)電動機等值，并在單負荷無窮大系統(tǒng)，比較分析了各等值方法的等值效果。

1 三階感應(yīng)電動機模型

由于定子繞組的暫態(tài)過程對電力系統(tǒng)動態(tài)分析影響不大，因此電力系統(tǒng)機電暫態(tài)仿真一般采用忽略定子繞組電磁暫態(tài)過程的三階感應(yīng)電動機模型[19,20]。感應(yīng)電動機靜態(tài)等值電路如圖1所示。

圖1 感應(yīng)電動機靜態(tài)等值電路圖

轉(zhuǎn)子電壓方程和運動方程如下：

式中：T'd0=(Xr+Xm)/Rr為定子開路時間常數(shù)；X=Xs+Xm為轉(zhuǎn)子開路電抗；X'=Xs+XrXm/(Xs+Xm)為轉(zhuǎn)子堵轉(zhuǎn)等值電抗；Rr、Xr、Xm、Xs分別為電動機轉(zhuǎn)子電阻、轉(zhuǎn)子電抗、激磁電抗和定子電抗，Tj為轉(zhuǎn)子慣性時間常數(shù)；ωr=1?s，s為轉(zhuǎn)子滑差；E'd、E'q分別表示感應(yīng)電動機直軸暫態(tài)電勢和交軸暫態(tài)電勢；Id、Iq分別表示感應(yīng)電動機定子直軸和交軸電流；TE、TM分別表示感應(yīng)電動機電磁轉(zhuǎn)矩及機械轉(zhuǎn)矩，其方程見式(3)―(4)。

定子直軸和交軸電流Id和Iq方程為：

式中：Ud、Uq分別表示感應(yīng)電動機直軸和交軸電壓；Rs為感應(yīng)電動機定子電阻。

感應(yīng)電動機電磁轉(zhuǎn)矩TE和機械轉(zhuǎn)矩TM分別為

式中：T0為穩(wěn)態(tài)機械轉(zhuǎn)矩；A、B、C為機械轉(zhuǎn)矩系數(shù)，滿足Aω02+Bω0+C=1，ω0=1-s0，s0為轉(zhuǎn)子初始滑差。

2 感應(yīng)電動機分組算法

由上文引言所述，依據(jù)單個特征指標將感應(yīng)電動機群分組的算法，其分組依據(jù)的物理含義較為明確，且計算簡單，因此本文選擇經(jīng)典的基于感應(yīng)電動機臨界穩(wěn)定特性及動態(tài)特性的特征指標及感應(yīng)電動機的電磁轉(zhuǎn)矩-滑差特性曲線等三種特征指標將感應(yīng)電動機群分組并比較分析。

2.1 基于感應(yīng)電動機靜態(tài)臨界穩(wěn)定特性分組

文獻[9]分析了感應(yīng)電動機負荷的靜態(tài)臨界穩(wěn)定特性，提出當單個負荷節(jié)點下的若干臺電動機遭受大擾動時，穩(wěn)定能力較弱的電動機可能會發(fā)生堵轉(zhuǎn)并吸收大量無功功率，導(dǎo)致負荷節(jié)點電壓下降，穩(wěn)定能力較強的電動機則保持穩(wěn)定?？紤]電動機群穩(wěn)定能力的強弱有利于改善電動機群聚合等值的準確性[9]，因此，選擇感應(yīng)電動機臨界電壓及臨界滑差兩個能夠反映電動機穩(wěn)定能力的參數(shù)作為電動機群分組的依據(jù)。

根據(jù)圖1所示的感應(yīng)電動機靜態(tài)等值電路，感應(yīng)電動機的電磁轉(zhuǎn)矩可以表示為[21]：

其中Zs=Rs+jXs，Zr=Rr/s+jXr，Zm=jXm。穩(wěn)態(tài)時，電動機滑差s和電壓U須滿足轉(zhuǎn)矩平衡方程，令TE=TM，即

當U=1時，感應(yīng)電動機的最大電磁轉(zhuǎn)矩所對應(yīng)的滑差為臨界滑差scr，臨界滑差可由下式確定

將臨界滑差代入式(6)，可得感應(yīng)電動機的臨界電壓Ucr。定義感應(yīng)電動機臨界特征gcr，如式(9)所示。

穩(wěn)定能力較差的電動機，其對應(yīng)的臨界特征指標gcr較小，分布也較為集中，易于區(qū)分。在實際計算中，可根據(jù)gcr值將感應(yīng)電動機群進行分組。

2.2 基于感應(yīng)電動機動態(tài)特性分組

文獻[3,10]提出，當單個負荷節(jié)點下的若干臺電動機遭受小擾動時，各電動機的轉(zhuǎn)矩、滑差變化等動態(tài)特性各有區(qū)別?？紤]感應(yīng)電動機在小擾動下的動態(tài)特性差異有利于提高電動機群聚合等值的精度[3,10]。因此，選擇感應(yīng)電動機動態(tài)過程特征值這一能夠反映感應(yīng)電動機在電壓發(fā)生小干擾下的動態(tài)特性的參數(shù)，作為電動機群分組的依據(jù)。

由式(1)中的轉(zhuǎn)子運動方程可得，感應(yīng)電動機轉(zhuǎn)子運動的狀態(tài)方程為

為了簡化定性分析，假設(shè)機械轉(zhuǎn)矩TM恒定，可得

將式(11)在額定滑差sN附近線性化，可得

其中

由于sN一般較小，因此

由式(10)、式(12)和式(14)可得線性化狀態(tài)方程

由于接在同一母線上的各電動機的端電壓相同，因此定義動態(tài)特征指標gdy，如式(16)所示。

當幾臺電動機的動態(tài)特征指標gdy相近時，其動態(tài)特性較為相似，可將其分為一組。

2.3 基于感應(yīng)電動機電磁轉(zhuǎn)矩-滑差特性曲線分組

文獻[8]提出，負荷節(jié)點下的若干臺電動機遭受擾動后，其動態(tài)特性受電磁轉(zhuǎn)矩-滑差特性的影響。因此在電動機群分組時，可考慮將電磁轉(zhuǎn)矩-滑差特性曲線較為相似的電動機劃分為一組。

感應(yīng)電動機電磁轉(zhuǎn)矩TE、機端電壓U、阻抗參數(shù)和滑差s的關(guān)系可由式(5)表示。以國內(nèi)某四臺典型電動機參數(shù)為例[20]，令U=1，做出TE-s曲線如圖2所示，為了便于比較，TE-s曲線作歸一化處理。

圖2 典型感應(yīng)電動機TE-s曲線

將滑差s在0～1范圍內(nèi)采樣，采樣間隔為0.005，計算各電動機在各采樣點上的電磁轉(zhuǎn)矩。定義任意兩條曲線之間的距離dmn，如式(17)所示：

式中：N為采樣點數(shù)；分別為曲線m和曲線n在第i個采樣點上的電磁轉(zhuǎn)矩值。圖2所示4臺電動機電磁轉(zhuǎn)矩-滑差特性曲線的距離如表1所示。

A―0.0012 0.0482 0.0476 B 0.0012―0.0489 0.0481 C 0.0482 0.0489―0.0015 D 0.0476 0.0481 0.0015―

由圖2及表1，根據(jù)曲線相似性，可將曲線A、B代表的電動機劃分為一組，曲線C、D代表的電動機劃分為一組。

3 感應(yīng)電動機聚合算法

感應(yīng)電動機的聚合算法中，最為經(jīng)典的是基于電動機額定容量的加權(quán)聚合法[3,8,10]。因此，本文選擇該方法及兩種加權(quán)因子修正的加權(quán)聚合法將多臺感應(yīng)電動機群聚合并比較分析。

3.1 基于電動機額定容量的經(jīng)典加權(quán)聚合法

文獻[14]提出，連接在同一負荷點上的感應(yīng)電動機是并聯(lián)連接的，因此假定所有電動機靜態(tài)等值電路中的三條支路都直接兩端并聯(lián)，即圖1中各電動機等值電路的內(nèi)節(jié)點K相連接，以各電動機額定容量占總?cè)萘康谋戎底鳛闄?quán)重，加權(quán)綜合得到等值感應(yīng)電動機負荷模型參數(shù)。

每臺感應(yīng)電動機的額定容量為

式中：P0為負荷點總有功功率，pper.i、Lf.i分別為每臺感應(yīng)電動機消耗的有功功率占負荷點總有功功率的比例及負載率。

每臺感應(yīng)電動機的加權(quán)因子acl.i為

等值電動機的各支路參數(shù)為

式中：Zag為等值電動機的支路阻抗；Zi為每臺電動機的支路阻抗，包括定子支路阻抗Zs、激磁支路阻抗Zm和轉(zhuǎn)子支路阻抗Zr（參數(shù)定義同上文2.1節(jié)）。感應(yīng)電動機慣性時間常數(shù)Tj、機械轉(zhuǎn)矩系數(shù)A和B參數(shù)等均采用多臺感應(yīng)電動機參數(shù)的加權(quán)值。

3.2 基于電動機負載率和臨界滑差修正的加權(quán)聚合法

文獻[15]提出，連接在同一負荷點上的多臺電動機運行工況不同，其運行工況由各電動機的負載率和臨界滑差決定。上文3.1節(jié)提出的基于電動機額定容量的經(jīng)典加權(quán)聚合法僅考慮電動機容量這一結(jié)構(gòu)性參數(shù)，而未考慮各電動機運行工況的差異對電動機聚合的影響，因此基于電動機負載率和臨界滑差對加權(quán)因子進行修正。

定義考慮電動機運行工況的加權(quán)因子aop.i為

式中：scr.i、Lf.i分別為各感應(yīng)電動機臨界滑差、負載率。

由式(22)可以看出，該修正是為了增加負載率大和臨界滑差小的電動機的權(quán)重?？紤]到電動機運行工況的差異對定子支路和轉(zhuǎn)子支路的聚合有明顯影響，對激磁支路及其他電氣參數(shù)的聚合影響弱。因此，計算等值感應(yīng)電動機定子支路和轉(zhuǎn)子支路參數(shù)時使用式(21)定義的加權(quán)因子aop.i替換式(19)中的acl.i，其余參數(shù)計算仍使用acl.i計算。

3.3 基于電動機轉(zhuǎn)子堵轉(zhuǎn)等值電抗和開路時間常數(shù)修正的加權(quán)聚合法

文獻[10]提出，當負荷點電壓、頻率發(fā)生擾動時，負荷點上連接的電動機有功功率、無功功率變化的特性受感應(yīng)電動機轉(zhuǎn)子堵轉(zhuǎn)等值電抗X'和定子開路時間常數(shù)T0'的影響較大，當感應(yīng)電動機的X'或T0'增大時，其動態(tài)過程中功率振蕩的幅值減小。上文3.1節(jié)提出的基于電動機額定容量的經(jīng)典加權(quán)聚合法未考慮電動機動態(tài)過程的差異，因此在對感應(yīng)電動機群聚合時，需要使用上述兩個參數(shù)對加權(quán)因子進行修正。

感應(yīng)電動機的轉(zhuǎn)子堵轉(zhuǎn)等值電抗X'和定子開路時間常數(shù)T0'定義同式(1)。定義考慮電動機動態(tài)過程的加權(quán)因子ady.i為

由式(24)可以看出，該修正是為了增加轉(zhuǎn)子電阻、轉(zhuǎn)子電抗和定子電抗較小的電動機的權(quán)重。使用式(23)定義的加權(quán)因子ady.i替換式(19)中的acl.i，加權(quán)綜合得到等值感應(yīng)電動機的各電氣參數(shù)。

4 感應(yīng)電動機群仿真算例的比較分析

由上文第2、3節(jié)，選擇的三種單一指標的分組算法及三種不同加權(quán)因子的加權(quán)聚合法均依據(jù)不同的原則或假設(shè)。為了比較分析不同分組及聚合算法組合后的等值效果，本文將三種分組算法及三種聚合方法交叉組合后，對多臺感應(yīng)電動機進行等值，并在單負荷無窮大系統(tǒng)中對比分析不同等值方法的等值效果。

4.1 感應(yīng)電動機群分組及聚合結(jié)果

4.1.1 感應(yīng)電動機群暫態(tài)仿真分析

選擇IEEE提供的工業(yè)小電動機、工業(yè)大電動機、水泵、廠用電、民用綜合電動機、民用和工業(yè)綜合電動機、空調(diào)綜合電動機等7種典型感應(yīng)電動機[22]作為三種分組算法及聚合算法比較分析的感應(yīng)電動機群算例，其負荷模型參數(shù)如表2所示。為了比較各典型電動機負荷特性之間的差異，采用圖3所示的方法單負荷無窮大母線系統(tǒng)對各電動機進行暫態(tài)仿真。

表2 IEEE典型電動機參數(shù)

圖3 單負荷無窮大系統(tǒng)

設(shè)穩(wěn)態(tài)時，無窮大節(jié)點電壓E=1.05，負荷節(jié)點電壓V=1，負荷節(jié)點功率為PL0+jQL0=1+j0.4pu，系統(tǒng)的基準容量為100MVA，負荷由感應(yīng)電動機負荷和恒阻抗負荷構(gòu)成，感應(yīng)電動機負荷占比60%[22]。設(shè)置負荷節(jié)點在0.06s時發(fā)生三相金屬短路故障，故障持續(xù)0.2s后清除，仿真步長為0.01s，記錄1.5s內(nèi)的動態(tài)響應(yīng)數(shù)據(jù)。分別連接7種感應(yīng)電動機時，負荷節(jié)點的電壓、功角、有功功率和無功功率仿真曲線如圖4(a)至(d)所示。

圖4 IEEE 7種典型感應(yīng)電動機暫態(tài)響應(yīng)曲線

從圖4(a)、4(b)來看，當負荷節(jié)點連接不同電動機時，負荷節(jié)點的電壓及功角具有不同的暫態(tài)恢復(fù)過程，其中有5種電動機在故障期間已經(jīng)出現(xiàn)功角振蕩現(xiàn)象。從圖4(c)、4(d)來看，當機端電壓發(fā)生變化時，7種感應(yīng)電動機的有功功率、無功功率響應(yīng)曲線差異明顯，具有不同的振蕩及恢復(fù)過程。因此，IEEE推薦的7種感應(yīng)電動機一定程度上能夠反映出工程中一個負荷點下多臺感應(yīng)電動機負荷的差異性。

4.1.2 電動機群分組及其聚合參數(shù)

以上文第3節(jié)提出的三種分組算法將IEEE推薦的7種典型感應(yīng)電動機分組。依據(jù)感應(yīng)電動機臨界特征指標gcr和TE-s特性曲線分組結(jié)果相同，如表3所示，7種感應(yīng)電動機TE-s特性曲線如圖5所示。依據(jù)感應(yīng)電動機動態(tài)特征指標gdy分組的結(jié)果如表4所示。

表3 依據(jù)臨界特征指標gcr、TE-s曲線分組結(jié)果

表4 依據(jù)動態(tài)特征指標gdy分組結(jié)果

圖5 7種IEEE典型感應(yīng)電動機電磁轉(zhuǎn)矩-滑差特性曲線

由圖4(a)的電壓變化曲線及圖4(d)無功功率曲線，IEEE-(1-4)、IEEE-(5-7)等兩組電動機的暫態(tài)恢復(fù)過程較為接近，與表2所示的依據(jù)感應(yīng)電動機臨界特征指標gcr和TE-s特性曲線分組結(jié)果較為吻合。

在表3和表4的分組結(jié)果基礎(chǔ)上，計算各聚合算法所得等值感應(yīng)電動機的負荷模型參數(shù)，結(jié)果見表5和表6。

表5 依據(jù)gcr或TE-s特性曲線分組結(jié)果的各聚合算法所得等值電動機參數(shù)

表6 依據(jù)gdy分組結(jié)果的各聚合算法所得等值電動機參數(shù)

4.2 單負荷無窮大系統(tǒng)下的等值效果

將原始電動機群及不同等值感應(yīng)電動機接入單負荷無窮大系統(tǒng)，比較分析不同等值方法的等值效果。單負荷無窮大系統(tǒng)的接線圖如圖3所示，參數(shù)及故障設(shè)置同上文4.1.1節(jié)。等值前后負荷節(jié)點電壓、功角、有功功率和無功功率的仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 不同感應(yīng)電動機群分組及聚合算法仿真結(jié)果

由圖6(a)―6(d)，不同等值方法所得等值感應(yīng)電動機的仿真結(jié)果存在差異，且在無功功率的等值效果上差異最為明顯。另外，采用感應(yīng)電動機動態(tài)特征指標gdy分組后，以基于感應(yīng)電動機額定容量的加權(quán)因子acl.i的經(jīng)典加權(quán)聚合法所得感應(yīng)電動機在故障持續(xù)8個周波時，功角發(fā)生振蕩，等值效果較差。

為了量化各等值方法的等值效果，定義電壓誤差指標：

式中：Ugi和Uci分別為原7種電動機和等值電動機時的節(jié)點電壓幅值仿真曲線上第i點的值；N為仿真取樣點數(shù)。功角誤差指標、有功功率誤差指標、無功功率誤差指標分別用εδ、εP、εQ表示，定義與式(25)類似。各等值方法所得等值電動機模型的仿真誤差指標如表7所示。

表7 不同等值方法的誤差指標比較

由圖6和表7可以看出，不同感應(yīng)電動機分組算法及聚合算法交叉組合后，其等值效果之間具有明顯差異：

1)依據(jù)感應(yīng)電動機臨界特征指標gcr和TE-s特性曲線分組后的等值效果優(yōu)于依據(jù)動態(tài)特征指標gdy分組。依據(jù)感應(yīng)電動機臨界特征指標gcr和TE-s特性曲線分組時，各方法仿真誤差均不超過8%。而依據(jù)動態(tài)特征指標gdy分組時，三種聚合算法的多個仿真誤差指標大于10%，等值效果較差。

2)基于電動機負載率和臨界滑差修正的加權(quán)因子aop.i的加權(quán)聚合法的等值效果優(yōu)于其他兩種加權(quán)聚合法，不同分組算法下，該方法的仿真誤差均小于其它兩種加權(quán)聚合法。依據(jù)感應(yīng)電動機臨界特征指標gcr和TE-s特性曲線分組后，該方法的各仿真誤差小于5%。

5 結(jié)論

本文首先比較分析了三種感應(yīng)電動機群分組算法和聚合算法的基本原理，而后采用三種分組算法和三種聚合算法交叉組合的方式將IEEE推薦的7種感應(yīng)電動機等值，最后將原始電動機群和等值電動機接入單負荷無窮大系統(tǒng)，比較分析了各等值方法的等值效果。研究發(fā)現(xiàn)：

1)對于分組算法，依據(jù)感應(yīng)電動機的臨界特征指標gcr或TE-s特性曲線分組考慮了電動機在遭受大擾動后的動態(tài)特性，等值效果優(yōu)于依據(jù)感應(yīng)電動機的動態(tài)特征指標gdy分組。

2)對于聚合算法，以基于電動機負載率和臨界滑差修正的加權(quán)因子aop.i的加權(quán)聚合法考慮了電動機的運行工況，在三種不同分組算法下，該方法的誤差均小于其它兩種加權(quán)聚合法，等值效果較好。

3)三種分組算法和三種聚合算法交叉組合后，不同等值方法的等值效果有明顯差異。其中，依據(jù)感應(yīng)電動機臨界特征指標gcr或TE-s特性曲線將感應(yīng)電動機群分組后，以基于負載率和臨界滑差修正的加權(quán)因子aop.i的加權(quán)聚合法將多臺感應(yīng)電動機聚合的等值方法，其等值效果優(yōu)于其它等值方法。

下一步工作將致力于比較多種感應(yīng)電動機群的分組及聚合算法，在更加復(fù)雜的運行條件下研究各等值方法對感應(yīng)電動機群等值精度的影響。