巧用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則解題

導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則是數(shù)學(xué)中的核心內(nèi)容，掌握其基本公式和四則運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵。本文通過(guò)詳細(xì)解析基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和四則運(yùn)算法則，幫助我們系統(tǒng)地理解導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。同時(shí)，針對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)中的常見(jiàn)錯(cuò)誤，本文提供了基本的規(guī)避方法，確保求導(dǎo)過(guò)程的準(zhǔn)確性。最后，通過(guò)2023年全國(guó)高考Ⅱ卷的真題實(shí)戰(zhàn)演練，展示如何運(yùn)用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則解決復(fù)雜問(wèn)題，為大家提供一種巧妙的學(xué)習(xí)方法和解題思路。

一、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的基本情況

（一）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

在微積分中，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式是理解和應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)。這些公式包括常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。因此，對(duì)于函數(shù)f（x），它的變式及其相對(duì)應(yīng)的函數(shù)求導(dǎo)結(jié)果具體見(jiàn)下表1。

（二）導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則是指在函數(shù)進(jìn)行加減乘除運(yùn)算時(shí)，其導(dǎo)數(shù)的計(jì)算規(guī)則。那么，已知，為可導(dǎo)函數(shù)，且。

具體來(lái)說(shuō)，滿足以下條件：

（1）.

（2），特別需要注意的是：

可見(jiàn)，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則是微積分中的基本工具，它們幫助我們?cè)谔幚韽?fù)雜函數(shù)時(shí)系統(tǒng)地分解和計(jì)算導(dǎo)數(shù)。結(jié)合基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和四則運(yùn)算法則，我們便可以有效地求解各種函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，為進(jìn)一步的微積分分析做好準(zhǔn)備。

二、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的常見(jiàn)錯(cuò)誤與規(guī)避方法

（1）分析在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)過(guò)程中的常見(jiàn)錯(cuò)誤

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，但大家在實(shí)際操作中常常會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)誤。常見(jiàn)的錯(cuò)誤包括以下幾種。

①未正確識(shí)別復(fù)合結(jié)構(gòu)。我們有時(shí)未能正確識(shí)別出復(fù)合函數(shù)，就直接對(duì)整個(gè)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，而忽略了內(nèi)部的函數(shù)結(jié)構(gòu)。例如，對(duì)于函數(shù)，我們可能會(huì)錯(cuò)誤地直接對(duì)求導(dǎo)，而忽略了的部分。

②鏈?zhǔn)椒▌t應(yīng)用錯(cuò)誤。即使識(shí)別出了復(fù)合結(jié)構(gòu)，我們?cè)趹?yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t時(shí)也可能會(huì)出錯(cuò)。例如，對(duì)于，我們可能會(huì)錯(cuò)誤地只對(duì)求導(dǎo)，而忽略了的導(dǎo)數(shù)。

（2）規(guī)避這些錯(cuò)誤的方法

為了避免上述錯(cuò)誤，我們可以采取以下步驟完成求導(dǎo)過(guò)程。

①首先，識(shí)別復(fù)合結(jié)構(gòu)。我們要明確復(fù)合函數(shù)的內(nèi)部和外部結(jié)構(gòu)。例如，對(duì)于，可以設(shè)，則。

②其次，逐步求導(dǎo)。將復(fù)合函數(shù)分解為多個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，逐步求導(dǎo)。例如，對(duì)于，設(shè)，則，先求對(duì)的導(dǎo)數(shù)，再求對(duì)的導(dǎo)數(shù)，然后應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t。

③最后，檢查結(jié)果。求導(dǎo)后，通過(guò)代入簡(jiǎn)單數(shù)值，檢查結(jié)果是否正確。

通過(guò)這些步驟，可有效規(guī)避復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)中的常見(jiàn)錯(cuò)誤，確保求導(dǎo)過(guò)程的準(zhǔn)確性。

三、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則在高考真題中的實(shí)戰(zhàn)演練

2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅱ卷的第6題的題干表明：已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求a的最小值。

解析：縱觀本題，首先該題定義域?yàn)椋?/p>

因?yàn)?，已知函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，即在上恒成立。

所以，可以通過(guò)令，

再利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，求得，由此可知，g（x）在上單調(diào)遞增。

因此，在上單調(diào)遞增。

要使在上恒成立，需，即，

最后即可解得。則答案是a的最小值為。

通過(guò)本文解析，我們復(fù)習(xí)了基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，探討了復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)中的常見(jiàn)錯(cuò)誤及其規(guī)避方法。希望大家能夠通過(guò)本文的講解，更加系統(tǒng)地理解和應(yīng)用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，在高考中取得優(yōu)異的成績(jī)。