快速反射鏡自適應(yīng)反演PID復(fù)合控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

艾志偉，張慕帆，朱 華，嵇建波，柏元忠

（桂林航天工業(yè)學(xué)院，廣西 桂林 541004）

0 引言

快速反射鏡是一種通過控制在光源和接收器之間的反射光線的鏡面運(yùn)動(dòng)，達(dá)到控制光束目的的一種裝置，它與大慣量機(jī)架結(jié)構(gòu)共同組成復(fù)合軸跟蹤系統(tǒng)，在光學(xué)系統(tǒng)中用來(lái)穩(wěn)定跟蹤目標(biāo)[1]?？焖俜瓷溏R由鏡體、支承結(jié)構(gòu)和驅(qū)動(dòng)器等部分組成，具有諧振頻率高、響應(yīng)速度快、動(dòng)態(tài)滯后誤差小等優(yōu)點(diǎn)，但缺點(diǎn)是工作范圍小，它和機(jī)架共同作用，能夠有效彌補(bǔ)主軸機(jī)架系統(tǒng)的不足，而其缺點(diǎn)也可由主軸系統(tǒng)予以補(bǔ)償，實(shí)現(xiàn)大范圍的快速高精度跟蹤[2]。

快速反射鏡的控制一般采用PID 控制器，它的優(yōu)點(diǎn)是設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，對(duì)硬件要求沒那么高，而且對(duì)抑制帶寬范圍內(nèi)的窄帶和寬帶擾動(dòng)都能較好地抑制，缺點(diǎn)是對(duì)擾動(dòng)的抑制帶寬有限[3-4]。因?yàn)樵趯?shí)際應(yīng)用中，受能量限制，采樣頻率不能做得太高，并且控制器一旦設(shè)計(jì)完成參數(shù)就已經(jīng)確定，控制系統(tǒng)對(duì)不同的擾動(dòng)適應(yīng)性較差，這使得單獨(dú)采用PID 控制具有一定局限性，如對(duì)于基座振動(dòng)引起的擾動(dòng)，單純的PID 控制系統(tǒng)就不能對(duì)其進(jìn)行很好地抑制[4]。

系統(tǒng)中存在的擾動(dòng)可以分為可測(cè)量擾動(dòng)和不可測(cè)量擾動(dòng)[5-6]?？蓽y(cè)擾動(dòng)可以理解為能直接通過傳感器如位移傳感器、陀螺儀和加速度計(jì)等得到測(cè)量值，或可以通過狀態(tài)觀測(cè)器進(jìn)行觀測(cè)的一類擾動(dòng)。對(duì)應(yīng)于可測(cè)擾動(dòng)的定義，不可測(cè)擾動(dòng)是不可以由傳感器直接測(cè)得，也無(wú)法通過狀態(tài)觀測(cè)器進(jìn)行觀測(cè)的一類擾動(dòng)。自適應(yīng)前饋控制技術(shù)對(duì)基座振動(dòng)這類擾動(dòng)能起到很好的抑制效果[7]，但目前的自適應(yīng)前饋控制技術(shù)均需對(duì)現(xiàn)有系統(tǒng)進(jìn)行改造，要求擾動(dòng)信號(hào)可以測(cè)量，這也使得硬件方面變得較為復(fù)雜。將擾動(dòng)根據(jù)是否可測(cè)量進(jìn)行分類是具有實(shí)際意義的：一是這是實(shí)際存在的差異；二是在一些情況下能減少成本。由于兩種擾動(dòng)的處理方法不同，導(dǎo)致系統(tǒng)復(fù)雜度和控制性能一般也不同，不可測(cè)量擾動(dòng)由于不用對(duì)擾動(dòng)進(jìn)行測(cè)量，減少了傳感器的使用，一定程度能降低系統(tǒng)硬件復(fù)雜度。而可測(cè)量擾動(dòng)實(shí)際上也可以當(dāng)成不可測(cè)量擾動(dòng)進(jìn)行處理，在某些情況下，如果用不可測(cè)量擾動(dòng)的抑制方法抑制可測(cè)擾動(dòng)也能取得滿意的控制效果，且降低了成本。

本文先用反演設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制律[8]，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行鎮(zhèn)定。由極限思想，把系統(tǒng)承受的不可測(cè)擾動(dòng)近似看成為隨時(shí)間緩慢變化的量，通過反演控制設(shè)計(jì)方法可完成整個(gè)自適應(yīng)控制率的設(shè)計(jì)，此時(shí)系統(tǒng)能自動(dòng)適應(yīng)不同的擾動(dòng)量，給出讓系統(tǒng)穩(wěn)定的控制信號(hào)，而后結(jié)合PID 控制算法對(duì)施加自適應(yīng)控制后的誤差信號(hào)進(jìn)行進(jìn)一步的處理得到一個(gè)補(bǔ)償控制信號(hào)，兩個(gè)控制信號(hào)疊加后共同作用在被控對(duì)象上，相比單獨(dú)的PID 控制算法和自適應(yīng)反演控制算法，自適應(yīng)反演PID 控制能更好地抑制不可測(cè)量擾動(dòng)。

1 自適應(yīng)反演前饋控制算法抑制可測(cè)擾動(dòng)

快速反射鏡的傳遞函數(shù)是由一個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)串聯(lián)組成[9-10]，其傳遞函數(shù)模型可以表示為：

式中：p1、p2、p3、p4由快速反射鏡自身機(jī)電特性決定的常系數(shù)。應(yīng)用主導(dǎo)極點(diǎn)法，該三階系統(tǒng)可以化簡(jiǎn)為一個(gè)二階系統(tǒng)，將二階系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為微分方程，可以寫成如下形式：

式中：θ(t)為反射鏡轉(zhuǎn)角位置；u(t)是控制器輸出控制律；ξ、ωn、kf是由快速反射鏡的機(jī)電特性決定的常數(shù)。選擇反射鏡的轉(zhuǎn)角位置θ(t)和轉(zhuǎn)角速度θ˙(t)為狀態(tài)變量x1和x2，則有：

擾動(dòng)信號(hào)可測(cè)時(shí)，可考慮采用前饋補(bǔ)償控制抑制擾動(dòng)。利用傳感器將擾動(dòng)信號(hào)測(cè)出，經(jīng)自適應(yīng)控制器處理，得到補(bǔ)償信號(hào)，補(bǔ)償信號(hào)與主控制器產(chǎn)生的控制信號(hào)進(jìn)行疊加，得到最終的控制量作用在被控對(duì)象上。但單純的前饋控制系統(tǒng)是開環(huán)系統(tǒng)，穩(wěn)定性很差，難以滿足實(shí)際工藝要求，所以容易聯(lián)想在系統(tǒng)增加閉環(huán)反饋，構(gòu)建自適應(yīng)前饋閉環(huán)控制系統(tǒng)抑制擾動(dòng)。與單純的反饋控制不同的是，在自適應(yīng)前饋閉環(huán)控制系統(tǒng)中，快速反射鏡的實(shí)際輸出角度測(cè)量信號(hào)與參考輸出角度進(jìn)行比較得到誤差信號(hào)不再直接經(jīng)過控制器產(chǎn)生控制信號(hào)，而是與測(cè)得的擾動(dòng)信號(hào)一同作為自適應(yīng)控制器的輸入?yún)?shù)，計(jì)算輸出參數(shù)作為快速反射鏡的控制信號(hào)，若利用反演控制讓誤差信號(hào)能夠依據(jù)某種原則收斂到零，就構(gòu)成了自適應(yīng)反演前饋控制系統(tǒng)，自適應(yīng)反演前饋系統(tǒng)框圖如圖1所示。圖中，θin是系統(tǒng)輸入信號(hào)，θout是系統(tǒng)輸出信號(hào)，θd是擾動(dòng)信號(hào)，e1是跟蹤誤差信號(hào)，由圖可得，誤差信號(hào)e1＝θin－θd－x1。

圖1 可測(cè)擾動(dòng)自適應(yīng)前饋反演控制系統(tǒng)框圖Fig.1 Block diagram of adaptive feedforward inversion control system for measurable disturbance system

利用反演控制方法求解系統(tǒng)控制量。首先對(duì)誤差信號(hào)e1求微分，有：

李氏函數(shù)選擇為：

引入虛擬控制量x2d，其值為：

則誤差變量為：

將式(7)代入式(5)，有：

容易求得：

聯(lián)立(1)(2)(3)(6)(7)(11)式可得：

整理得到自適應(yīng)反演前饋控制器輸出的控制律為：

2 自適應(yīng)反演PID 算法抑制不可測(cè)量擾動(dòng)

受可測(cè)量擾動(dòng)抑制方法的啟發(fā)，對(duì)于不可測(cè)量擾動(dòng)抑制，是否也可以基于反演控制方法設(shè)反饋控制算法呢？設(shè)計(jì)的問題難點(diǎn)在于擾動(dòng)不可測(cè)量導(dǎo)致擾動(dòng)量的一階微分、二階微分都無(wú)法得到，造成控制量無(wú)法得出。為了解決這一問題，不妨假設(shè)擾動(dòng)為緩變量，事實(shí)上當(dāng)系統(tǒng)采樣率比較高的時(shí)候，這種假設(shè)是十分合理的，尤其是對(duì)于寬帶擾動(dòng)。根據(jù)高等數(shù)學(xué)中的極限思想，當(dāng)擾動(dòng)量為時(shí)間的連續(xù)函數(shù)時(shí)，如果時(shí)間分割得足夠小那么擾動(dòng)量的變化可以近似看成零。基于這一假設(shè)，擾動(dòng)量的一階、二階微分都為零，從而不用進(jìn)行測(cè)量，只需要測(cè)量包含擾動(dòng)信號(hào)的輸出信號(hào)即可，從而也能實(shí)現(xiàn)跟蹤效果，實(shí)現(xiàn)對(duì)不可測(cè)量擾動(dòng)的抑制。圖2 是不可測(cè)擾動(dòng)自適應(yīng)反演控制系統(tǒng)框圖，圖中以期望輸出θin作為自適應(yīng)控制器的參考信號(hào)，誤差信號(hào)e1作為自適應(yīng)算法輸入信號(hào)，經(jīng)過自適應(yīng)算法改變自適應(yīng)控制器的參數(shù)，自適應(yīng)控制器輸出控制量作用于被控對(duì)象。

圖2 不可測(cè)擾動(dòng)自適應(yīng)反演控制框圖Fig.2 Block diagram of adaptive inversion control for unmeasurable disturbance system

按照可測(cè)擾動(dòng)自適應(yīng)控制器的設(shè)計(jì)流程，整理得到不可測(cè)量擾動(dòng)自適應(yīng)反應(yīng)控制系統(tǒng)輸出控制量為：

由于這里假設(shè)擾動(dòng)量為緩變量，跟實(shí)際情況肯定存在差異，擾動(dòng)頻率越高誤差會(huì)越大，跟蹤性能也越差。PID 控制是設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)最常用的方法，控制器輸出為：

式中：kp、ki、kd是PID 控制器的控制參數(shù)。PID 控制算法對(duì)工作帶寬內(nèi)的擾動(dòng)具有較好的抑制效果，對(duì)帶寬外的擾動(dòng)抑制效果不足，會(huì)造成誤差信號(hào)中可能會(huì)存在未被抑制的擾動(dòng)信號(hào)，因此考慮將誤差信號(hào)經(jīng)自適應(yīng)反演算法處理，由自適應(yīng)控制器輸出一個(gè)補(bǔ)償控制信號(hào)，用于補(bǔ)償PID 控制器輸出的控制信號(hào)，兩個(gè)控制信號(hào)疊加后作用在被控對(duì)象上，組成自適應(yīng)反演PID 控制系統(tǒng)。快速反射鏡系統(tǒng)不可測(cè)量擾動(dòng)的自適應(yīng)反演PID 控制方法如圖3所示，系統(tǒng)以期望輸出θin作為自適應(yīng)控制器的參考信號(hào)，誤差信號(hào)e1作為自適應(yīng)算法輸入信號(hào)，經(jīng)過自適應(yīng)算法改變自適應(yīng)控制器的參數(shù)，自適應(yīng)控制器輸出補(bǔ)償控制量u1，疊加在PID 控制器的輸出控制信號(hào)u2中，控制系統(tǒng)不需要對(duì)擾動(dòng)信號(hào)進(jìn)行測(cè)量，系統(tǒng)輸出控制量為自適應(yīng)反演控制和PID 控制的輸出量之和，表示為：

圖3 不可測(cè)擾動(dòng)自適應(yīng)反演PID 控制系統(tǒng)框圖Fig.3 Block diagram of adaptive inversion PID control for unmeasurable disturbance system

3 仿真分析

一般認(rèn)為系統(tǒng)在階躍輸入情況下的工作條件是比較苛刻的，如果階躍輸入下控制系統(tǒng)仍然具有較好的控制性能，說明控制系統(tǒng)能應(yīng)對(duì)最嚴(yán)峻的情況，那么輸入信號(hào)為其他形式時(shí)系統(tǒng)控制性能也能滿足要求[11-12]。根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定原理設(shè)計(jì)的自適應(yīng)反演前饋控制系統(tǒng)，搭建了快速反射鏡可測(cè)擾動(dòng)控制系統(tǒng)仿真模型。系統(tǒng)輸入信號(hào)采用階躍信號(hào)，擾動(dòng)采用正弦信號(hào)，得到正弦擾動(dòng)下的輸出響應(yīng)如圖4所示，從圖中可以看到，擾動(dòng)可測(cè)時(shí)，自適應(yīng)前饋反演控制系統(tǒng)對(duì)可測(cè)擾動(dòng)信號(hào)具有較好的抑制能力。

圖4 可測(cè)擾動(dòng)自適應(yīng)反演控制系統(tǒng)輸出響應(yīng)曲線Fig.4 Output response curve of adaptive inversion control for measurable disturbance system

為了測(cè)試不可測(cè)擾動(dòng)作用時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，搭建了快速反射鏡不可測(cè)擾動(dòng)控制系統(tǒng)仿真模型。因?yàn)樵诓蓸宇l率遠(yuǎn)高于擾動(dòng)頻率時(shí)，假設(shè)這個(gè)擾動(dòng)信號(hào)為緩變量近似，所以在仿真過程中，在系統(tǒng)中涉及擾動(dòng)信號(hào)的量的一階導(dǎo)和二階導(dǎo)均設(shè)置成了零。為了分析PID 控制、自適應(yīng)反演控制和自適應(yīng)反演PID 控制（復(fù)合控制）3 種控制算法下的系統(tǒng)性能表現(xiàn)，得到了不可測(cè)量擾動(dòng)抑制系統(tǒng)中無(wú)擾動(dòng)時(shí)3 種控制算法的階躍響應(yīng)曲線，輸入階躍信號(hào)的幅值為0.001 m，采樣頻率為10000 Hz，響應(yīng)曲線如圖5所示。從圖5 中可以直觀地看出，與PID 控制系統(tǒng)相比，自適應(yīng)反演控制系統(tǒng)的輸出沒有產(chǎn)生過大的超調(diào)，也沒有過激的振蕩，但是動(dòng)態(tài)變化過程也緩慢許多，復(fù)合控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)變化過程介于二者之間。計(jì)算得到PID 控制系統(tǒng)的超調(diào)量為17.47%，上升時(shí)間為1.6 ms；自適應(yīng)反演控制系統(tǒng)無(wú)超調(diào)，上升時(shí)間為4.5 ms；復(fù)合控制系統(tǒng)的超調(diào)量為3.41%，上升時(shí)間為2.3 ms?？梢钥吹?，相較于PID 控制系統(tǒng)，復(fù)合系統(tǒng)的超調(diào)量下降了80.5%，復(fù)合控制系統(tǒng)的平穩(wěn)性更好；相較于自適應(yīng)反演控制系統(tǒng)，復(fù)合控制系統(tǒng)的上升時(shí)間降低了48.9%，自適應(yīng)反演PID復(fù)合控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能綜合了兩種算法的優(yōu)勢(shì)，顯示出了更優(yōu)異的動(dòng)態(tài)性能。

圖5 三種控制算法的階躍響應(yīng)曲線Fig.5 Output comparison of three control methods

下面對(duì)不可測(cè)擾動(dòng)作用時(shí)快速反射鏡控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)進(jìn)行測(cè)試。輸入信號(hào)保持不變，擾動(dòng)信號(hào)采用幅值為0.04 mm、頻率為4 Hz 的正弦信號(hào)，快速反射鏡的PID 控制系統(tǒng)、自適應(yīng)反演控制系統(tǒng)和復(fù)合控制系統(tǒng)的輸出曲線如圖6所示。由圖6 輸出的響應(yīng)曲線可以得到擾動(dòng)作用時(shí)PID 控制系統(tǒng)的超調(diào)量為17.57%，上升時(shí)間為1.6 ms；自適應(yīng)反演控制系統(tǒng)的無(wú)超調(diào)量，上升時(shí)間為4.8 ms；復(fù)合控制系統(tǒng)的超調(diào)量3.41%，上升時(shí)間為2.3 ms?？梢钥吹?，對(duì)于低頻擾動(dòng)，3 種控制算法均能較好地抑制，但單純的PID 控制系統(tǒng)和復(fù)合控制系統(tǒng)比單純的自適應(yīng)控制系統(tǒng)抑制效果更好。

圖6 不可測(cè)擾動(dòng)作用下3 種系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線Fig.6 Step response of three control methods of unmeasurable disturbance system

為了研究擾動(dòng)作用時(shí)3 種控制系統(tǒng)的誤差變化情況，得到了3 種控制系統(tǒng)的誤差平方曲線，如圖7所示。從圖7 中可以直觀地看到，3 種控制算法均能很快到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)，穩(wěn)態(tài)誤差為零。但相較于其他兩種控制系統(tǒng)，復(fù)合控制系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)需要的時(shí)間更短，且更加平穩(wěn)。根據(jù)誤差均方根的計(jì)算公式，求得快速反射鏡PID 控制系統(tǒng)的誤差信號(hào)均方根誤差為9.1555e－05，自適應(yīng)反演控制的誤差信號(hào)的均方根誤差為6.8891e－05，復(fù)合系統(tǒng)的誤差信號(hào)均方根誤差為5.9728e－05。與PID 控制算法相比，復(fù)合控制系統(tǒng)的均方根誤差值下降了34.76%，相比自適應(yīng)控制算法均方根誤差值下降了13.3%，復(fù)合控制系統(tǒng)的誤差抑制效果相比經(jīng)典PID 控制和自適應(yīng)控制均有提升。

圖7 三種控制算法的誤差平方曲線Fig.7 Square error curves of three control methods

為了進(jìn)一步驗(yàn)證控制系統(tǒng)性能，在3 種控制系統(tǒng)分別施加了幅值不變、頻率分別為25 Hz，90 Hz，150 Hz 和220 Hz 的正弦擾動(dòng)信號(hào)，各系統(tǒng)的誤差曲線如圖8所示。從圖中可以看到，隨著擾動(dòng)頻率的增大，復(fù)合控制系統(tǒng)的擾動(dòng)抑制能力逐漸減弱，且越來(lái)越趨近自適應(yīng)反演控制系統(tǒng)的擾動(dòng)抑制能力，這種情形的出現(xiàn)主要受到兩個(gè)因素的影響：一是隨著頻率的增大，PID 控制的擾動(dòng)抑制能力越來(lái)越弱，在抑制帶寬外，對(duì)擾動(dòng)還有放大效果；二是自適應(yīng)反演控制假設(shè)擾動(dòng)為緩變量，擾動(dòng)頻率越大，越接近采樣頻率，自適應(yīng)反演控制對(duì)擾動(dòng)的抑制也越弱。從圖8 中還可以看到，復(fù)合控制系統(tǒng)對(duì)研究頻率范圍內(nèi)的擾動(dòng)信號(hào)均具有抑制作用，在中低頻段的擾動(dòng)抑制能力主要受控于PID 控制，抑制效果較好；在中高頻段，盡管PID 控制對(duì)擾動(dòng)具有放大作用，但受到自適應(yīng)反演控制的作用，復(fù)合控制系統(tǒng)對(duì)擾動(dòng)還是起到了抑制作用，但擾動(dòng)抑制能力較弱。

圖8 不同頻率擾動(dòng)作用下誤差曲線對(duì)比Fig.8 Comparison of error signals of control systems under different frequency disturbances

4 結(jié)論

本文重點(diǎn)對(duì)復(fù)合軸精跟蹤快速反射鏡不可測(cè)量擾動(dòng)的抑制方法做了研究，提出了一種自適應(yīng)反演PID復(fù)合控制算法，當(dāng)快速反射鏡系統(tǒng)受到可測(cè)擾動(dòng)時(shí)，用反演控制方法設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)前饋反饋控制算法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)可測(cè)量擾動(dòng)的抑制。當(dāng)快速反射鏡系統(tǒng)受到不可測(cè)擾動(dòng)時(shí)，受可測(cè)量擾動(dòng)抑制方法的啟發(fā)，設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)控制算法，對(duì)不可測(cè)量擾動(dòng)有一定抑制效果，同時(shí)與經(jīng)典PID 控制算法進(jìn)行了比較，最終設(shè)計(jì)出了一種結(jié)合自適應(yīng)控制算法和PID 控制算法的復(fù)合算法。仿真表明該算法相比經(jīng)典PID 控制算法和自適應(yīng)控制算法對(duì)不可測(cè)量擾動(dòng)有更好的抑制效果，復(fù)合算法比前兩種算法對(duì)不可測(cè)擾動(dòng)的抑制能力有了較大提高。