基于響應(yīng)靈敏度方法的螺栓連接結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別及實(shí)驗(yàn)*

廖華松， 陳海， 汪利， 楊達(dá)豪， 呂中榮

中山大學(xué)航空航天學(xué)院，廣東 深圳 518107

在航空航天等領(lǐng)域中，常用的結(jié)構(gòu)連接裝配方式有3 種：焊接、鉚接及螺栓連接（Shen et al.，1999）。螺栓連接因具有良好的靈活性和互換性，在精密構(gòu)件和工程制造中應(yīng)用較廣。然而，螺栓連接導(dǎo)致接觸表面存在機(jī)械摩擦，帶來(lái)顯著的阻尼效應(yīng)、剛度折減以及能量耗散，呈現(xiàn)出復(fù)雜的非線性動(dòng)力響應(yīng)（Argatov et al.，2011）。該非線性特性可以由微觀滑移-宏觀滑移描述。發(fā)生滑移時(shí)，螺栓孔周?chē)膮^(qū)域位移仍然被限制，而該區(qū)域的邊緣開(kāi)始滑動(dòng)，這種現(xiàn)象稱為微滑移。只要滑移仍在微滑移階段，螺栓連接部位的剛度都會(huì)呈現(xiàn)輕微下降的趨勢(shì)，而阻尼會(huì)呈現(xiàn)出顯著增加的趨勢(shì)（Shetty et al.，2023）。一旦外激勵(lì)達(dá)到足以發(fā)生相對(duì)滑移的程度，結(jié)構(gòu)之間發(fā)生宏觀滑移，結(jié)構(gòu)剛度便會(huì)顯著降低。

為描述螺栓連接部位的粘滯-滑移特性，相關(guān)學(xué)者提出了Ⅰwan 模型。Ⅰwan 模型由大量的Jenkins單元（往往含有10-100個(gè)狀態(tài)變量）并聯(lián)組合而成。每個(gè)Jenkins單元由單個(gè)彈簧和庫(kù)侖滑塊并列而成，具有典型的粘滯-滑移特性，是顯著的非光滑單元（Segalman， 2001）。為求解Ⅰwan模型所表征的滯回響應(yīng)曲線，需要求解幾十個(gè)Jenkins 單元滑塊的狀態(tài)變量，存在計(jì)算量大、非線性程度高等不足。Bouc-Wen 模型的非線性主要來(lái)源于絕對(duì)值算子并且由唯一的微分方程所控制。相較于Ⅰwan 模型，Bouc-Wen模型計(jì)算效率較高。Lacey團(tuán)隊(duì)研究了不同表面光滑度的鋼材料進(jìn)行螺栓連接時(shí)的初滑移系數(shù)及初始剛度（Laceya et al.， 2023）。該結(jié)構(gòu)伴隨著滯回現(xiàn)象的同時(shí)還存在著一些其他的殘余剛度特性（Mayergoyz， 1986）。本文將討論用Bouc-Wen模型描述和預(yù)估螺栓連接結(jié)構(gòu)準(zhǔn)靜態(tài)滯回響應(yīng)曲線的潛力，以及殘余剛度的來(lái)源因素。

在螺栓模型校正相關(guān)研究中，常常使用準(zhǔn)靜態(tài)位移荷載，得到相關(guān)的滯回響應(yīng)力?；谠摐仨憫?yīng)數(shù)據(jù)，開(kāi)展參數(shù)辨識(shí)。常用的參數(shù)識(shí)別方法有：高斯-牛頓法（Yar et al.，1987）、最小二乘法（Sues， 1988）、簡(jiǎn)化梯度法（Zhang et al.， 2002）、遺傳算法（Kwok et al.， 2007）等。常用的群算法具有較高的計(jì)算需求，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合需要建立復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)且實(shí)現(xiàn)程度較為繁瑣。而本文將采用響應(yīng)靈敏度方法（Lu et al.， 2017）對(duì)Bouc-Wen 模型螺栓連接結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)靜態(tài)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)識(shí)別。

結(jié)合ABAQUS 螺栓搭接結(jié)構(gòu)三維有限元仿真（Ⅴaina et al.， 2023），本文評(píng)估了Bouc-Wen 模型的螺栓連接表征能力；開(kāi)展準(zhǔn)靜態(tài)實(shí)驗(yàn)研究，驗(yàn)證所提方法的有效性。并通過(guò)仿真與物理實(shí)驗(yàn)，對(duì)實(shí)驗(yàn)存在的剛度殘余現(xiàn)象進(jìn)行了力學(xué)機(jī)理分析。

1 Bouc-Wen模型

Bouc-Wen模型（Chang et al.， 2016）是目前應(yīng)用廣泛的滯回模型，它通過(guò)a參數(shù)表現(xiàn)各類軟化、硬化以及接近雙線性的現(xiàn)象（Guo et al.， 2008）。根據(jù)等效歸一化Bouc-Wen 模型（Pellecchia et al.，2021），有

其中z?表示滯回力變化的快慢；x?為滑移的相對(duì)速度；a= [A，γ，β，n] 為無(wú)量綱滯回環(huán)參數(shù)，影響滯回環(huán)的形狀和大小。相比Ⅰwan 模型，Bouc-Wen模型本身是一個(gè)半物理半數(shù)學(xué)的模型，其參數(shù)對(duì)滯回響應(yīng)曲線的影響有：1）參數(shù)A表征滯回曲線原點(diǎn)處剛度，二者呈現(xiàn)正相關(guān)；2）參數(shù)γ的增加會(huì)使得滯回曲線整體以原點(diǎn)為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖1 所示；3）參數(shù)β表征模型彈性非線性的本構(gòu)關(guān)系，能量耗散大小隨β的增加而增加，如圖2所示；4）參數(shù)n表征彈性-塑性程度，n值越小，滯回曲線越平滑（Yang et al.，2022），如圖3所示。

圖1 參數(shù)γ對(duì)遲滯環(huán)的影響Fig.1 The influence of γ on hysteresis loop

圖2 參數(shù)β對(duì)遲滯環(huán)的影響Fig.2 The influence of β on hysteresis loop

圖3 參數(shù)n對(duì)遲滯環(huán)的影響Fig.3 The influence of n on hysteresis loop

因此，Bouc-Wen模型與Ⅰwan模型的滯回響應(yīng)曲線具有相似性，且具備表征螺栓連接結(jié)構(gòu)的能力。

2 螺栓滯回參數(shù)識(shí)別

利用三維有限元仿真，本文討論了Bouc-Wen模型的擬合能力。為此，建立關(guān)于螺栓連接結(jié)構(gòu)參數(shù)辨識(shí)的目標(biāo)函數(shù)。

2.1 目標(biāo)函數(shù)

參數(shù)識(shí)別問(wèn)題可歸結(jié)為一個(gè)非線性最小二乘優(yōu)化問(wèn)題，即尋找參數(shù)a∈Rm，使得

其中B為待識(shí)別參數(shù)的可行域；i= 1，2，3，…，n即螺栓連接結(jié)構(gòu)滯回響應(yīng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)；R(a) =[z(xi) ∈Rq]，i= 1，2，3，…，n為求解微分方程（1）后得到的理論解；為權(quán)重矩陣W的加權(quán)范數(shù)。

2.2 增強(qiáng)響應(yīng)靈敏度方法

非線性目標(biāo)函數(shù)可以使用迭代法進(jìn)行求解，其關(guān)鍵在于通過(guò)已知參數(shù)aˉ來(lái)確定一個(gè)合適的迭代更新量δa，使得g(+δa)盡可能的小。將?在aˉ的領(lǐng)域進(jìn)行一階Taylor展開(kāi)并忽略高階項(xiàng)，得

其中

其中

線性化后的目標(biāo)函數(shù)往往是非適定的，此時(shí)需要引入Tikhonov正則化處理，即

其中λ≥0 為正則化參數(shù)。增量具有以下求解表達(dá)式

其中I為單位矩陣。λ≥0 為正則化參數(shù)，其值直接關(guān)系到不同的更新量δaλ，本文采用L 曲線法確認(rèn)正則化參數(shù)λ，記為.

為了獲取合理的迭代更新量，引入置信域限制，使得更新步長(zhǎng)‖ ‖δa應(yīng)該盡可能地小。為了衡量該更新步長(zhǎng)是否合適或足夠小，需引入一致性指標(biāo)，使式（9）中的迭代增量滿足

由此保證線性化后的目標(biāo)函數(shù)與原目標(biāo)函數(shù)足夠接近。由上式可知，合理增大正則化參數(shù)會(huì)使更新步長(zhǎng)足夠地小，滿足置信域限制，因此該正則化也被稱為增強(qiáng)的正則化。

3 算例研究

3.1 有限元準(zhǔn)靜態(tài)實(shí)驗(yàn)仿真

螺栓連接結(jié)構(gòu)在承受準(zhǔn)靜態(tài)荷載時(shí)，可以模擬成單個(gè)Bouc-Wen 模型承受位移激勵(lì)。螺栓連接結(jié)構(gòu)尺寸如圖4 所示（Abad et al.，2014），在ABAQUS 平臺(tái)上對(duì)螺栓連接結(jié)構(gòu)開(kāi)展有限元仿真，其模型如圖5所示。

圖4 實(shí)驗(yàn)鋼板元件尺寸Fig.4 Experimental steel plate element dimensions

圖5 有限元仿真模型Fig.5 Finite element simulation model

螺栓連接結(jié)構(gòu)的材料密度為7 830 kg/m3，楊氏模量為2.07 × 1011Pa，法向表面接觸摩擦系數(shù)為0.3。使用預(yù)緊力3 000 N的M12六角頭螺栓連接兩塊板，如圖5（b）所示施加螺栓預(yù)緊力。如圖5（c）所示，其接觸-摩擦界面的切向特性為庫(kù)倫摩擦且最大彈性滑移量設(shè)置為特征面尺寸的0.01 %；法向剛度采用允許一個(gè)物體的表面穿透到另一個(gè)物體的罰函數(shù)設(shè)置方法。該ABAQUS 設(shè)置可以準(zhǔn)確求解接觸-摩擦界面所產(chǎn)生的滯回曲線，且提供收斂速度。當(dāng)循環(huán)載荷下位移幅值為0.1 mm 時(shí)，螺栓連接部位的滯回響應(yīng)如圖6（a）所示。

圖6 Bouc-Wen、Ⅰwan模型的參數(shù)識(shí)別與收斂過(guò)程Fig.6 The parameter identification and convergence procedure of Bouc-Wen and Ⅰwan model

考慮Bouc-Wen 與四參數(shù)Ⅰwan 模型，使用所提響應(yīng)靈敏度方法對(duì)仿真模型開(kāi)展參數(shù)辨識(shí)。由于模型參數(shù)之間的量級(jí)相差較大，引入歸一化方法對(duì)參數(shù)進(jìn)行預(yù)處理。Bouc-Wen 與Ⅰwan 模型的歸一化矩陣為IB=diag(2×109，2×103，2×103，4) ，II= diag(1 × 109，1，1 × 109，1 × 10-6).參數(shù)識(shí)別結(jié)果如表1-2所示。

表1 Bouc-Wen參數(shù)識(shí)別結(jié)果Table 1 Bouc-Wen parameter identification results

表2 Ⅰwan參數(shù)識(shí)別結(jié)果Table 2 Ⅰwan parameter identification results

基于識(shí)別結(jié)果，繪制滯回曲線，如圖6 所示。結(jié)果表明，Bouc-Wen 和Ⅰwan 模型都能夠準(zhǔn)確的表征螺栓連接所帶來(lái)的接觸摩擦滯回能量耗散特性。然而，當(dāng)連接界面從粘滯向滑移狀態(tài)轉(zhuǎn)變時(shí)，如圖6（a）左上角和右下角所示，Bouc-Wen 模型的辨識(shí)結(jié)果可以充分表征該特性。因此，本文所提方法可以準(zhǔn)確地從率無(wú)關(guān)角度對(duì)螺栓連接模型開(kāi)展參數(shù)校準(zhǔn)。圖6（c）和6（d）進(jìn)一步闡述了參數(shù)收斂過(guò)程。Bouc-Wen、Ⅰwan 模型的迭代收斂步數(shù)分別為7、11 次，然而所需時(shí)間分別是2.378 3、271.153 s。這是因?yàn)棰駑an 模型由一系列的強(qiáng)非線性Jenkins單元并聯(lián)組合而成，容易產(chǎn)生剛性方程，需要較大計(jì)算資源。而B(niǎo)ouc-Wen 模型僅由單自由度微分方程控制，具有較高的計(jì)算效率。綜上所述，本文所提的基于Bouc-Wen 模型和響應(yīng)靈敏度的螺栓連接模型參數(shù)辨識(shí)方法具有準(zhǔn)確、高效的特性，能夠很好地表征連接界面的接觸摩擦滯回能量耗散特性。

3.2 螺栓搭接結(jié)構(gòu)物理實(shí)驗(yàn)

3.2.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)采用304 不銹鋼制作與仿真模型一致的螺栓搭接構(gòu)件。使用扭力扳手對(duì)M12 螺栓施加65 N·m 扭矩，將構(gòu)件連接在一起。使用Ⅰnstron8801 伺服液壓機(jī)施加簡(jiǎn)諧位移激勵(lì)，并測(cè)量連接界面所產(chǎn)生的接觸摩擦滯回力。在小幅度位移加載下，螺栓與圓孔內(nèi)壁不會(huì)產(chǎn)生接觸?？紤]正弦位移響應(yīng)幅值分別為0.1、0.15 mm 時(shí)的滯回響應(yīng)。本文將對(duì)0.15 mm 時(shí)的位移響應(yīng)數(shù)據(jù)開(kāi)展參數(shù)辨識(shí)，然后基于該辨識(shí)結(jié)果校準(zhǔn)0.1 mm 的位移響應(yīng)數(shù)據(jù)。

3.2.2 參數(shù)辨識(shí)圖7（a）所示實(shí)驗(yàn)滯回響應(yīng)曲線中的微觀滑移段落存有一定的斜率，即殘余剛度K1.通過(guò)求解滯回響應(yīng)曲線粘滯-滑移與滑移-粘滯轉(zhuǎn)換點(diǎn)之間的斜率，得K1= 2.826 × 107N/m?？紤]螺栓連接結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的殘余剛度，Bouc-Wen 模型的表達(dá)式改寫(xiě)為

圖7 基于Bouc-Wen模型的計(jì)算擬合與數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)Fig.7 Computational fitting and data prediction based on Bouc-Wen model

基于本文響應(yīng)靈敏度方法，對(duì)位移幅值為0.15 mm 的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)開(kāi)展參數(shù)辨識(shí)，參數(shù)結(jié)果如表3 所示，響應(yīng)曲線如圖7（a）所示。使用識(shí)別到的4個(gè)參數(shù)，對(duì)另一組數(shù)據(jù)（幅值為0.1 mm）的滯回曲線進(jìn)行預(yù)測(cè)，其結(jié)果如圖7（b）所示。在微觀滑移段落，由于實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)磨損及螺栓松動(dòng)等原因，預(yù)測(cè)曲線與實(shí)驗(yàn)曲線存在一定的偏移，誤差處于可以接受的范圍；在宏觀滑移段落的擬合效果良好，誤差較小。結(jié)果表明，所識(shí)別參數(shù)可以很好地?cái)M合實(shí)驗(yàn)曲線。

表3 響應(yīng)幅值為0.15 mm時(shí)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的參數(shù)識(shí)別Table 3 Experimental data parameter identification when response amplitude is 0.15 mm

由于滯回曲線所圍成的面積表征了該加載-卸載過(guò)程中能量的損耗，計(jì)算預(yù)測(cè)曲線面積與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)面積的殘差和比值。對(duì)響應(yīng)幅值為0.15 mm 的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)識(shí)別結(jié)果，開(kāi)展耗散性能分析。有

式中S1是基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的滯回耗散能力，S2是基于參數(shù)辨識(shí)曲線的滯回耗散能力。分析可知，β小于10%，表明預(yù)測(cè)曲線的能量損耗與原數(shù)據(jù)的能量損耗的誤差較小。所提參數(shù)識(shí)別方法所識(shí)別的Bouc-Wen 模型參數(shù)，可以真實(shí)地反應(yīng)螺栓搭接結(jié)構(gòu)的滯回曲線響應(yīng)。

3.3 仿真與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比

有限元仿真的滯回曲線數(shù)據(jù)來(lái)源于兩個(gè)鋼板連接界面的接觸摩擦力，而實(shí)驗(yàn)中輸出的滯回力的監(jiān)測(cè)點(diǎn)位于鋼板的兩端，其中包含了螺栓、螺帽處的接觸面所產(chǎn)生的接觸摩擦。實(shí)驗(yàn)前后螺栓和鋼板單元均發(fā)生了一定程度的沿預(yù)緊力方向的變形、磨損。殘余剛度很可能來(lái)源于螺帽對(duì)鋼板施加的摩擦力。

對(duì)有限元模型開(kāi)展變形分析，如圖8所示，預(yù)緊力的施加使得鋼板與螺帽接觸的部分發(fā)生了較為明顯的擠壓形變。實(shí)驗(yàn)和有限元仿真表明，由于鋼板單元與螺栓、螺母受預(yù)緊力發(fā)生了變形，由此導(dǎo)致兩者的接觸關(guān)系不僅存在摩擦力，同時(shí)還伴有變形后的殘余力。因此，螺栓連接部位在正常服役狀態(tài)下，其殘余剛度來(lái)源之一為螺栓、螺母接觸面處。

圖8 形變的有限元仿真Fig.8 Finite element simulation of deformation

除了殘余剛度外，仿真與實(shí)驗(yàn)的滯回響應(yīng)曲線也存在一定差異。這是因?yàn)樵谶M(jìn)行仿真時(shí)，所設(shè)定的接觸面摩擦因數(shù)恒為0.3，而實(shí)際實(shí)驗(yàn)中的摩擦系數(shù)未知。對(duì)于兩種不同的響應(yīng)幅值情況，本文所提方法對(duì)有限元仿真、物理實(shí)驗(yàn)都實(shí)現(xiàn)了準(zhǔn)確的螺栓連接參數(shù)辨識(shí)。這也說(shuō)明本文所提方法具有較強(qiáng)的魯棒性。

4 總 結(jié)

本文通過(guò)有限元仿真和準(zhǔn)靜態(tài)實(shí)驗(yàn)研究，對(duì)螺栓搭接結(jié)構(gòu)的接觸摩擦、滯回能量耗散進(jìn)行了研究。結(jié)果表明：

（1）本文基于Bouc-Wen 模型，提出了一種響應(yīng)靈敏度方法，對(duì)螺栓連接結(jié)構(gòu)仿真模型、準(zhǔn)靜態(tài)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了參數(shù)識(shí)別，成功預(yù)測(cè)了不同荷載下的響應(yīng)。所提方法具有較高效率和準(zhǔn)確性。

（2）通過(guò)有限元仿真和準(zhǔn)靜態(tài)實(shí)驗(yàn)研究，在螺栓預(yù)緊力作用下，平板與螺母、螺帽等接觸部位發(fā)生凹陷變形。在切向振動(dòng)作用下，螺母、螺帽會(huì)發(fā)生磨損。在宏觀層面上，該特性表現(xiàn)為殘余剛度。

（3）與Ⅰwan 模型相比，Bouc-Wen 模型不僅可以有效地表征切向振動(dòng)下的螺栓搭接結(jié)構(gòu)模型，而且具有計(jì)算效率高、非線性強(qiáng)度弱等特點(diǎn)。