由Hadamard卷積定義的一類廣義解析函數(shù)的系數(shù)估計(jì)研究

敖 恩,李書海,程曉亮

(1.赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 赤峰 024000;2.赤峰學(xué)院 民族數(shù)學(xué)教育研究所,內(nèi)蒙古 赤峰 024000;3.吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,吉林 四平 136000)

1 預(yù)備知識(shí)

用A表示由在單位圓盤U={z∈:|z|<1}內(nèi)解析且具有形式的函數(shù)形成的函數(shù)族.記S表示A內(nèi)在單位圓盤U={z∈:|z|<1}內(nèi)單葉解析函數(shù)的全體.用P表示在U內(nèi)解析且形如同時(shí)滿足Re{p(z)}>0的函數(shù)全體,稱其為正實(shí)部函數(shù).另外,用Φ表示P內(nèi)滿足條件ψ(0)=0,ψ′(0)>0和ψ(U)為關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的區(qū)域,且形如的函數(shù)全體.

(f*g)(z)=(g*f)(z)=f(z).

f(z)=φ(z)h(ω(z)),z∈U,

則稱函數(shù)f(z)在U內(nèi)擬從屬于h(z),記為f(z)qh(z).特別地,當(dāng)φ(z)=1時(shí),f(z)=h(ω(z)),z∈U,稱函數(shù)f(z)在U內(nèi)從屬于函數(shù)h(z),記為f(z)h(z);當(dāng)ω(z)=z時(shí),f(z)=ψ(z)h(z),z∈U,稱函數(shù)f(z)在U內(nèi)優(yōu)于函數(shù)h(z),記為f(z)?h(z).因此從屬關(guān)系和優(yōu)化關(guān)系是擬從屬關(guān)系的兩種特殊情形.

本文利用擬從屬關(guān)系和Hadamard卷積引入下面的函數(shù)類.

則稱f(z)∈Mq(γ,λ;g,ψ),其中γ∈{0},0≤λ≤1,ψ∈Φ.

函數(shù)類Mq(γ,λ;g,ψ)是一個(gè)更具有廣義性和一般性的解析函數(shù)類.一方面,在定義1中函數(shù)g(z)或參數(shù)γ,λ取一些特殊值時(shí),可得到若干個(gè)解析函數(shù)子類.例如:

另一方面,當(dāng)把擬從屬替換其特殊情形—從屬關(guān)系時(shí),也可推出一些經(jīng)典函數(shù)子類.例如,文獻(xiàn)[5]中的函數(shù)類Nλ(g,γ;ψ);文獻(xiàn)[6]中的Ma-Minda型星象函數(shù)S*(ψ)類和Ma-Minda型凸象函數(shù)類C(ψ).最后,把定義中的Hadamard卷積取為一些常見的微分算子或積分算子(例如Dziok-Srivastava算子、Carlson-Shaffer算子、Ruscheweyh算子、Bernardi-Libera-Livingston算子等)時(shí)也可得到出一些較為一般的解析函數(shù)子類.

近些年來,研究者通過擬從屬關(guān)系引進(jìn)了一些解析函數(shù)子類,并討論了系數(shù)估計(jì)和Fekete-Szeg?問題,如文獻(xiàn)[2-4,7-11].受前期研究成果啟發(fā),本文利用復(fù)分析中的基本不等式和正實(shí)部解析函數(shù)系數(shù)估計(jì),研究了新定義的廣義解析函數(shù)類Mq(γ,λ;g,ψ)的系數(shù)估計(jì)上界問題,豐富了已有的相關(guān)成果.為了討論函數(shù)類的系數(shù)估計(jì),需要引入下面的引理.

引理1[12]設(shè)φ(z)=c0+c1z+c2z2+…在單葉圓盤U內(nèi)解析且|φ(z)|≤1,則

引理2[13]設(shè)ω(z)=ω1z+ω2z2+…在單葉圓盤U內(nèi)解析且|ω(z)|<1,則|ω1|≤1,且對(duì)任意復(fù)數(shù)t,有

當(dāng)函數(shù)ω(z)=z2或ω(z)=z時(shí)上式等號(hào)成立.

引理3[14]設(shè)ω(z)=ω1z+ω2z2+…在單葉圓盤U內(nèi)解析且|ω(z)|<1,則對(duì)任意實(shí)數(shù)t有

同時(shí),當(dāng)-1

2 主要結(jié)果

除特別聲明,本文規(guī)定下列函數(shù)的級(jí)數(shù)展開式分別為如下形式:

f(z)=z+a2z2+a3z3+…,

(1)

g(z)=z+b2z2+b3z3+…,bi∈,bi>0(i=2,3,…),

(2)

φ(z)=c0+c1z+c2z2+…,|φ(z)|<1,

(3)

ψ(z)=1+B1z+B2z2+…,B1∈,B1>0,

(4)

ω(z)=ω1z+ω2z2+…,|ω(z)|<1.

(5)

定理1設(shè)f(z)∈Mq(γ,λ;g,ψ),則

(6)

且對(duì)任何復(fù)數(shù)μ有

(7)

極值函數(shù)f(z)滿足

或

證明由于f(z)∈Mq(γ,λ;g,ψ),則根據(jù)定義1,存在滿足條件|φ(z)|≤1,ω(0)=0,|ω(z)|<1的兩個(gè)解析函數(shù)φ(z),ω(z)使得

(8)

(9)

又將函數(shù)φ(z),ψ(z)和ω(z)的冪級(jí)數(shù)展開式(3)—(5)代入式(8)右側(cè),整理可得

(10)

把式(9)—(10)分別代入式(8)兩側(cè),比較兩邊同次冪的系數(shù)可得

(11)

由此可得

(12)

于是在式(11)中利用引理1可知式(6)成立.同理,在式(12)中利用引理1和引理2便可推出式(7).即定理1證畢.

定理2若f(z)∈Mq(γ,λ;g,ψ),則對(duì)任何實(shí)數(shù)μ,有:

(1)當(dāng)γc0>0時(shí),有

(13)

(2)當(dāng)γc0<0時(shí),有

其中

(14)

證明下面對(duì)γc0>0時(shí)進(jìn)行證明.根據(jù)式(7),有

其中

當(dāng)μ≤σ1或者μ≥σ2時(shí),分別有t≤-1和t≥1;當(dāng)σ1≤μ≤σ2時(shí),有-1≤t≤1.于是根據(jù)引理3可知式(13)成立.

當(dāng)μ<σ1或者μ≥σ2時(shí),對(duì)應(yīng)的極值函數(shù)f(z)滿足

當(dāng)σ1<μ<σ2時(shí),

當(dāng)μ=σ1或者μ=σ2時(shí),對(duì)應(yīng)的極值函數(shù)f(z)分別滿足

和

當(dāng)γc0<0時(shí),同理可證相應(yīng)結(jié)果.綜上所述,定理2證畢.

類似于定理2的證明,利用引理3也可得定理3.

定理3若f(z)∈Mq(γ,λ;g,ψ),則對(duì)任何實(shí)數(shù)μ及γc0>0,有:

(1)當(dāng)σ1<λ≤σ3時(shí),

(2)當(dāng)σ3≤λ<σ2時(shí),

又對(duì)任何實(shí)數(shù)μ及γc0<0,有

(3)當(dāng)σ2<λ≤σ3時(shí),

(4)當(dāng)σ3≤λ<σ1時(shí),

其中σ1,σ2由式(14)確定,

注在定理1—3中,令ψ(z)=1,即為文獻(xiàn)[5]中的定理1—3.

3 結(jié)語

本文由擬從屬關(guān)系和Hadamard卷積定義了比較廣義的解析函數(shù)子類Mq(γ,λ;g,ψ),拓展了解析函數(shù)類范疇,并利用復(fù)分析的一些方法和正實(shí)部解析函數(shù)的系數(shù)估計(jì)和分析技巧,重點(diǎn)研究了由擬從屬關(guān)系和Hadamard卷積定義的解析函數(shù)子類Mq(γ,λ;g,ψ)中函數(shù)的系數(shù)估計(jì)上界問題,主要解決了起始項(xiàng)的系數(shù)a2和a3的邊界估計(jì)問題,以及在參數(shù)取為復(fù)數(shù)和實(shí)數(shù)兩種情況下的系數(shù)泛函估計(jì)—Fekete-Szeg?問題,得到了全新的結(jié)果.