基于領(lǐng)導(dǎo)者競爭策略的改進獵人獵物優(yōu)化算法

常耀華 韋根原

摘 要：針對獵人獵物優(yōu)化算法尋優(yōu)精度低和易陷入局部最優(yōu)等問題，提出了一種基于領(lǐng)導(dǎo)者競爭策略的改進獵人獵物優(yōu)化算法。首先將種群隨機分為三個亞群，采用不同的搜索策略，擴大搜索范圍；其次，采用精英組合突變策略，提升種群子代多樣性，規(guī)避局部最優(yōu)值；最后，提出領(lǐng)導(dǎo)者競爭策略，利用個體間的信息交流，統(tǒng)合各個策略，篩選出最優(yōu)變量。通過數(shù)值實驗以及在工程優(yōu)化問題上的應(yīng)用結(jié)果表明，所提算法相較于對比算法具有更為優(yōu)異的尋優(yōu)能力，驗證了改進策略的有效性和可靠性。

關(guān)鍵詞：獵人獵物優(yōu)化算法；精英組合突變策略；領(lǐng)導(dǎo)者競爭策略；均值搜索策略；正余弦策略

中圖分類號：TP18?? 文獻標(biāo)志碼：A?? 文章編號：1001-3695（2024）01-021-0142-08

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2023.05.0222

Improved hunter prey optimization algorithm based on leader competitive strategy

Abstract：Aiming at the problems of low optimization accuracy and easy to fall into local optimization of hunter prey optimization algorithm，this paper proposed an improved hunter prey optimization algorithm based on leader competitive strategy.Firstly，this paper randomly divided the population into three subgroups and adopted different search strategies to expand the search scope.Secondly，it adopted an elite combination mutation strategy to enhance the diversity of population offspring and avoid local optima.Finally，it proposed a leader competitive strategy，used the information exchange between individuals，integrated various strategies，and screened out the optimal variables.Through numerical experiments and application to engineering optimization problems，the results show that the proposed algorithm has better optimization ability than the comparison algorithm，veri-fying the effectiveness and reliability of the improved strategy.

Key words：hunter prey optimization algorithm；elite combination mutation strategy；leader competitive strategy；mean search strategy；sine cosine strategy

0 引言

許多工程應(yīng)用和科學(xué)研究中出現(xiàn)的問題都可以直接轉(zhuǎn)換為優(yōu)化問題［1］，但由于這類問題存在許多決策變量和約束條件，同時需要在巨大而復(fù)雜的搜索空間尋找其最優(yōu)解或可接受的解，所以傳統(tǒng)優(yōu)化方法往往難以解決這些問題。因此，在過去幾年中，受自然現(xiàn)象或規(guī)律啟發(fā)的元啟發(fā)式算法得到了迅速的發(fā)展，并在許多復(fù)雜的優(yōu)化問題上廣泛應(yīng)用［2］。

盡管目前的智能優(yōu)化算法種類繁多且性能優(yōu)異，但是由NFL理論［3］可知，沒有一種算法可以適用于所有情況，因此學(xué)者們?nèi)灾铝τ陂_發(fā)算法，為全局優(yōu)化問題提供新的可能。

獵人獵物優(yōu)化（hunter-prey optimization，HPO）算法［4］于2022年底提出的一種全新的智能優(yōu)化算法，具有調(diào)節(jié)參數(shù)少、收斂速度快等優(yōu)點，在一些工程優(yōu)化問題中有著出色的表現(xiàn)。許建偉等人［5］將HPO算法與小波包變換和極限學(xué)習(xí)機結(jié)合構(gòu)成徑流多步預(yù)報模型，相較于其他算法，極大提高了預(yù)報準(zhǔn)確性。高雨虹等人［6］將HPO算法與長短時記憶網(wǎng)絡(luò)結(jié)合構(gòu)成組合模型，用于出車率預(yù)測，與經(jīng)典算法相比，該模型具有更出色的表現(xiàn)。但根據(jù)算法的機理可知，HPO雖然具有較強的開發(fā)能力，但仍存在全局尋優(yōu)能力較弱、收斂精度有限等問題。Fu等人［7］提出了IHPO算法，利用增強型SCA算法優(yōu)秀的全局搜索能力彌補HPO算法的弱點，魯英達等人［8］提出一種LHPO算法，采用混沌策略對種群優(yōu)化，增加初始種群的多樣性，并利用萊維飛行策略規(guī)避局部極值。

以上改進對HPO算法的搜索性能雖然有一定的提升，但面對高維復(fù)雜優(yōu)化問題時，算法仍存在全局探索不充分，容易陷入局部極值導(dǎo)致搜索停滯等問題。對于這些問題的解決方案，目前優(yōu)化算法的主流策略注重于對算法的運行行為邏輯和初始種群位置的改進，保留最優(yōu)值并讓種群內(nèi)的個體向最優(yōu)值方向收斂［9，10］。這類改進策略一定程度上提升了算法的優(yōu)化能力，但以全局最優(yōu)值為中心，忽視了個體之間的信息交流。Li等人［11］提出了一種新型競爭策略，通過將變量分層分類進行競爭和學(xué)習(xí)，使每個變量都有自己的學(xué)習(xí)行為，增強種群的多樣性。但該種方法不可避免地會增加無用的計算成本。綜合以上，本文在發(fā)揮最優(yōu)個體的領(lǐng)導(dǎo)優(yōu)勢的基礎(chǔ)上，從優(yōu)秀個體之間的協(xié)同學(xué)習(xí)和競爭的角度提出一種基于領(lǐng)導(dǎo)者競爭策略的改進獵人獵物優(yōu)化算法（improved hunter prey optimization algorithm based on leader competitive strategy，LCIHPO）。首先采用不同的更新機制更新不同的亞群以此提升算法搜索范圍，提出一種精英組合變異策略，提升子代多樣性，規(guī)避局部最優(yōu)值。最后，提出一種領(lǐng)導(dǎo)者競爭策略，通過最優(yōu)個體間的競爭和交流，使用有限的計算成本統(tǒng)合各個策略優(yōu)勢，提升算法的綜合性能。

1 獵人獵物優(yōu)化算法

HPO算法是一種新穎的元啟發(fā)式算法，算法全程可以分為探索和開發(fā)兩個階段。獵人尋找獵物并追逐的行為便是算法的探索過程，對于獵人的搜索機制，如式（1）所示。

xi，j（t+1）=xi，j（t）+0.5［（2CZHpos（j）-xi，j（t））+

（2（1-C）Zμ（j）-xi，j（t））］（1）

其中：t為迭代數(shù)；xi，j（t）是獵人當(dāng)前所在位置；xi，j（t+1）是獵人下一個位置；Z是自適應(yīng)調(diào)節(jié)參數(shù)；C是平衡算法探索和開發(fā)能力的參數(shù)，由1向0.02遞減；Hpos（j）是獵物所在位置。

相關(guān)參數(shù)的計算如式（2）所示。

其中：R1和R3是［0，1］的隨機向量；tmax是最大迭代數(shù)。

按照獵人捕殺獵物的行動準(zhǔn)則，距離群體最遠的個體會被當(dāng)作獵物，但為了避免選擇獵物而導(dǎo)致的延遲收斂問題，加入一種遞減機制，隨著獵物死亡，可選位置減少，從而得到一種新的獵物位置等式，如式（3）（4）所示。

其中：kbest是引入的遞減機制；N為種群數(shù)量；Deuc為每個變量與平均位置的歐幾里德距離；μj為平均距離。

獵物為了生存而逃跑的行為便是算法的開發(fā)階段，假設(shè)可以讓獵物安全逃跑的位置便是全局最優(yōu)解，開發(fā)階段搜索機制如式（5）所示。

xi，j（t+1）=Gbest（j）+CZ cos（2πR4）×（Gbest（j）-xi，j（t））（5）

其中：xi，j（t）是獵物當(dāng)前位置；xi，j（t+1）是獵物下次移動位置；Gbest（j）是全局最佳位置；R4是［-1，1］的隨機數(shù)。

綜合以上可以得出HPO算法的更新機制，如式（6）所示。

其中：R5是［0，1］的隨機數(shù)；B是一個協(xié)調(diào)參數(shù)，設(shè)置為0.1。當(dāng)R5的值小于B時，代理搜索點被認(rèn)為是獵人的位置，開展獵人搜素機制。反之，則認(rèn)為代理搜索點是獵物的位置，開展獵物位置更新機制。

2 LCIHPO算法

2.1 HPO算法變體

1）基于均值搜索策略的獵人獵物算法（hunter prey optimization algorithm based on mean search strategy，MSHPO）

在HPO算法中，獵人的全局搜索機制受獵物所在位置以及所有可能獵物的平均位置的影響，若要提升尋得全局最優(yōu)解的可能性，則必須擴大搜索區(qū)間。文獻［12］提出了一種基于均值搜索策略的MSPSO算法，利用均值策略平衡全局和局部尋優(yōu)的能力，擴大了算法的搜索范圍。本文將均值搜索策略引入HPO算法中，使用決策變量的個體最優(yōu)值和全局最優(yōu)值的線性組合取代獵物位置和平均位置，引導(dǎo)變量更新，新的獵人搜索機制公式為

其中：Pbest為個體歷史最優(yōu)值。

2）基于正余弦策略的獵人獵物算法（hunter prey optimization algorithm based on sine-cosine strategy，SCHPO）

受SCA算法［13］決策變量更新公式的啟發(fā)，本文通過引入正余弦模型震蕩特性對獵物行動模式產(chǎn)生的影響，維持獵物位置的多樣性，進而提升種群內(nèi)個體的尋優(yōu)能力，減少陷入局部最優(yōu)的可能，改進獵物位置更新公式為

其中：r1，r2為［0，1］均勻分布的隨機數(shù)。

2.2 精英組合突變策略

HPO算法在解決高維多極值的復(fù)雜優(yōu)化問題時，往往存在容易陷入局部最優(yōu)值區(qū)和多樣性差等問題。在算法中引入突變算子，可以有效提高子代的隨機性，使算法避免過早陷入局部最優(yōu)值導(dǎo)致探索停滯，從而提升算法的尋優(yōu)效能。

Hu等人［14］采用單個突變算子策略，使用自適應(yīng)策略選擇突變率，根據(jù)突變率在合適的階段采用突變算子。但面對現(xiàn)實中復(fù)雜的優(yōu)化問題時，往往很難準(zhǔn)確地判斷算法所處階段，若采用錯誤的突變算子便會影響算法對最優(yōu)值的尋取效率。Wang等人［15］采用一種基于個體適應(yīng)度值的突變算子選擇策略，通過對比變異前后個體的適應(yīng)度值高低，判斷下一次迭代是否繼續(xù)采用該突變算子。這種方法平衡了突變算子的探索和開發(fā)能力，但該策略相對失去了一定的隨機性，降低了子代的多樣性。

綜上所述，本文提出一種精英組合突變策略：為了提高突變的隨機性，選用組合突變算子的形式；為了保證算子選擇的合理性，將基于個體適應(yīng)度值的突變算子選擇策略作為組合突變算子的選擇機制；為了保證突變的有效性，構(gòu)建精英池，采用精英池中的粒子作為突變變量。精英池中的粒子用于幫助提升種群的多樣性，因此精英粒子需要含有盡量多的優(yōu)秀且多樣的信息，選用種群中每個粒子的個體歷史最優(yōu)解存儲在精英池中，如式（9）所示。

其中：F為比例因子；x′（t）為變異個體；mr1、mr2、mr3、mr4、mr5為隨機整數(shù)，mr1≠mr2≠mr3≠mr4≠mr5≠i。

組合突變算子中，式（10）突變算子具有較強的探索能力，收斂速度較慢，不容易陷入局部最優(yōu)，式（11）突變算子具有很強的開發(fā)能力，收斂速度快，但容易陷入局部最優(yōu)。根據(jù)調(diào)節(jié)因子u選擇突變方式。

為了保證充分變異的同時兼顧計算效率，令突變因子p為［0，1］的隨機數(shù)，當(dāng)p小于變異概率pm時進行變異，反之則不進行。經(jīng)過多次實驗對比，當(dāng)pm=0.7時，變異效果最好。

精英組合突變策略偽代碼為

輸入：更新后的種群。

輸出：變異種群的全局最優(yōu)值Gbestmu；最優(yōu)適應(yīng)度值fitmu。

更新精英池

for i=1：N

if p

if u=1

采用式（10）突變；

更新調(diào)節(jié)因子；

end

if u=0

采用式（11）突變；

更新調(diào)節(jié)因子；

end

else

xi′=e（i）

end

更新全局最優(yōu)值和適應(yīng)度值；

end

2.3 領(lǐng)導(dǎo)者競爭策略

如前文所述，HPO算法的每種變體以及突變策略都有其獨有的優(yōu)勢，為了更好地提升算法綜合效能，本文提出領(lǐng)導(dǎo)者競爭策略，將上文中執(zhí)行不同搜索策略的三個亞群和突變種群的最優(yōu)值帶入到領(lǐng)導(dǎo)者競爭策略中，領(lǐng)導(dǎo)者策略執(zhí)行步驟為

a）將三個亞群和變異種群的最優(yōu)值作為領(lǐng)導(dǎo)者。

b）將領(lǐng)導(dǎo)者按照適應(yīng)度值排序，選取最優(yōu)和次優(yōu)領(lǐng)導(dǎo)者。

c）次優(yōu)領(lǐng)導(dǎo)者向上一級領(lǐng)導(dǎo)者學(xué)習(xí)經(jīng)驗，如式（13）所示。

leaderkrandj（t）←leaderk-1randj（13）

其中：k為次優(yōu)領(lǐng)導(dǎo)者排序k=2，3，4；randj為隨機某個維度，randj∈（1，dim）。

d）最優(yōu)領(lǐng)導(dǎo)者和次優(yōu)領(lǐng)導(dǎo)者展開自學(xué)習(xí)。

e）重新進行領(lǐng)導(dǎo)者排序，選出最優(yōu)領(lǐng)導(dǎo)者作為全局最優(yōu)值。

2.3.1 次優(yōu)領(lǐng)導(dǎo)者自學(xué)習(xí)

反向?qū)W習(xí)策略通常應(yīng)用于初始化種群，可以得到很好的一組初始值，將反向?qū)W習(xí)策略應(yīng)用于算法搜索策略中，也可以提升算法全局尋優(yōu)能力，規(guī)避局部最優(yōu)。但是通過反向?qū)W習(xí)得到解是固定的，若已經(jīng)陷入局部最優(yōu)，則很難跳出。透鏡成像策略［16］是一種基于凸透鏡成像規(guī)律的反向?qū)W習(xí)策略，該方法可以動態(tài)地調(diào)整反向解，進一步提升優(yōu)化能力。將該方法以及思想引入，本文提出一種基于透鏡成像的動態(tài)反向搜索策略。

透鏡成像反向點計算公式如式（14）所示。

其中：L=1，2，3，4為領(lǐng)導(dǎo)者序號；r3為［0，1］的隨機數(shù)。

在實際搜索過程中，搜索空間往往是動態(tài)的，反向?qū)W習(xí)亦然，因此邊界為

lb=min（x（t）），ub=max（x（t））（16）

動態(tài)反向搜索策略具有不對稱性和動態(tài)變化特征，可以引導(dǎo)個體在搜索空間中向相反解學(xué)習(xí)，提高勘探能力，從而增加實現(xiàn)最優(yōu)解決方案的可能性，計算公式為

leader′L=leaderL+r4（r5xnback-leaderL）（17）

其中：r4，r5為［0，1］的隨機數(shù)；leader′L為反向?qū)W習(xí)得到的新個體。

自學(xué)習(xí)后采用貪婪算法比較兩者適應(yīng)度值，保留優(yōu)勢個體，如式（18）所示。

其中：f（·）為適應(yīng)度函數(shù)。

2.3.2 最優(yōu)領(lǐng)導(dǎo)者自學(xué)習(xí)策略

最優(yōu)領(lǐng)導(dǎo)者進行自學(xué)習(xí)以防止被替換，采用個體適應(yīng)度值選擇機制，在算法迭代前期，最優(yōu)領(lǐng)導(dǎo)者應(yīng)當(dāng)搜索盡可能大的區(qū)域，尋找全局最優(yōu)值，采用上文提出的基于透鏡成像的動態(tài)反向搜索策略進行更新。在算法迭代后期，全局最優(yōu)解很大概率在最優(yōu)個體附近，因此采用融合萊維飛行的阿基米德螺旋機制［17］提高算法的局部開采收益，該機制借助阿基米德螺線的旋轉(zhuǎn)特征，以一定角度和步距探索個體的鄰域范圍，可最大限度保證開采的周密性。萊維飛行解計算公式如式（19）所示。

其中：α表示步長變量；xrand（t）表示隨機生成的個體；u，v為正態(tài)分布的隨機數(shù)；β=1。

融合萊維飛行設(shè)為阿基米德螺線更新機制公式為

leader′1（t）=leader1（t）+|leader1（t）-xlevy（t）|r6 cos（2πr6）（20）

其中：leader1（t）為最優(yōu)領(lǐng)導(dǎo)者；leader′1（t）為更新后的最優(yōu)領(lǐng)導(dǎo)者；r5為［-1，1］的隨機數(shù)。為了保證更新后的個體優(yōu)于原個體，采用式（18）的貪婪算法進行判定。

2.4 LCIHPO算法流程

LCIHPO算法的偽代碼如下：

輸入：種群規(guī)模N；維度D；最大迭代次數(shù)tmax。

輸出：獵物安全位置xbest以及適應(yīng)度fit。

for t=1：tmax

計算個體適應(yīng)度值，得出當(dāng)代最優(yōu)個體以及個體歷史最優(yōu)值

將種群隨機均分為三個亞群，分別為N1、N2、N3

for i=1：N1

按照式（6）更新種群；

對比全局最優(yōu)值并進行擇優(yōu)取代，得到Gbest1 ；

end

for i=1：N2

按照式（5）（7）更新種群

對比全局最優(yōu)值并進行擇優(yōu)取代，得到Gbest2；

end

for i=1：N3

按照式（1）（8）更新種群

對比全局最優(yōu)值并進行擇優(yōu)取代，得到Gbest3；

end

采用精英組合變異策略，得到最優(yōu)變異個體Gbestmu；

將Gbest1、Gbest2、Gbest3、Gbestmu帶入領(lǐng)導(dǎo)者競爭策略中，篩選出最優(yōu)個體；

更新全局最優(yōu)個體和其適應(yīng)度值；

end

2.5 時間復(fù)雜度分析

時間復(fù)雜度主要取決于算法結(jié)構(gòu)的復(fù)雜程度，對于HPO算法，主要在于產(chǎn)生初始種群、獵人位置更新、獵物位置更新和適應(yīng)度值評估四個階段。對于種群規(guī)模為N，決策變量維度為D，迭代數(shù)為T的解決方案，算法初始化時間復(fù)雜度O（N×D），獵人變量更新時間復(fù)雜度為O（（1-B）×T×N×D），獵物位置更新的時間復(fù)雜度為O（B×T×N×D），參數(shù)B為協(xié)調(diào)參數(shù)，取值為0.1，全局最優(yōu)值評定與更新的時間復(fù)雜度為O（T×N×D） ，從而可以得到HPO算法的時間復(fù)雜度。

O（HPO）=O（T×N×D）（21）

LCIHPO算法的時間復(fù)雜度包括HPO和改進HPO算法更新三個亞群，分別進行擇優(yōu)取代保留最優(yōu)值，因此時間復(fù)雜度為O（N×D×T）；精英池更新時間復(fù)雜度為O（N×T）；組合變異策略時間復(fù)雜度為O（N×T）；領(lǐng)導(dǎo)者競爭策略時間復(fù)雜度為O（4×T）綜合以上環(huán)節(jié)，處理高維優(yōu)化問題時，時間復(fù)雜度可進行近似處理，由此可得LCIHPO算法的時間復(fù)雜度為

O（LCIHPO）=O（T×N×D）（22）

式（21）（22）相比相差不大，綜上可知改進算法并沒有增加過大的計算負(fù)擔(dān)。

3 數(shù)值仿真分析

3.1 實驗設(shè)計與參數(shù)設(shè)置

為了驗證本文LCIHPO算法的理論優(yōu)化能力，設(shè)計五組理論仿真實驗，分別為：算法精度和搜索范圍分析；HPO算法和其改進算法的對比分析；與其他智能算法以及改進算法在不同維度下的對比和低維下的迭代趨勢分析；Wilcoxon秩和檢驗；CEC2014復(fù)雜測試函數(shù)的仿真。

本文選取12個基準(zhǔn)測試函數(shù)。如表1所示，f1～f5為單峰測試函數(shù)，f6～f10為多峰測試函數(shù)，f11～f12為固定維度測試函數(shù)。本次仿真實驗的系統(tǒng)運行環(huán)境為Intel CoreTM 12th i5-12500H CPU@3.10 GHz，系統(tǒng)內(nèi)存16 GB，軟件運行環(huán)境為MATLAB 2021b，種群規(guī)模N=30，維度D=30/100/300，最大迭代次數(shù)T=1000，每種算法獨立重復(fù)運行30次。

3.2 精度和搜索范圍分析

優(yōu)化算法的目標(biāo)是求取問題的最優(yōu)值，而測試函數(shù)的理論最優(yōu)值和最優(yōu)解是已知的，因此可以通過對比每次迭代得出的實際最優(yōu)解和理論解之間相應(yīng)維度位置變化來分析算法在迭代過程中的搜索精度和范圍。距離表達式如式（23）所示。

dist（t）=|Gbest（j）′-Gbest（j）|（23）

其中：Gbest（j）′為維度j的理論最優(yōu)解。選擇單峰測試函數(shù)f3和多峰測試函數(shù)f6進行測試，維度選為30，j為5，測試結(jié)果如圖1所示。

從圖1可以看出，在單峰函數(shù)f3中，HPO得到的距離值雖然隨著迭代逐步下降，但在有限迭代次數(shù)內(nèi)未突破10-2，而LCIHPO的最終距離值達到了10-6。從距離值曲線來看， LCIHPO相比于HPO，其波動性更強，因此可以得知LCIHPO具有更強的優(yōu)化性能以及多樣性。在多峰函數(shù)f6中，HPO的距離值近似為一條直線，而LCIHPO的距離曲線在迭代前中期大幅下降，突破10-4后下降速度降低。因此可以得知HPO陷入局部最優(yōu)值且搜索停滯，而LCIHPO在探索前期規(guī)避了局部最優(yōu)值，并持續(xù)突破最小值。以上證明了本文策略不僅提高了算法的收斂精度，同時提升了算法的波動性，從而擴大了算法的搜索范圍，提升了得到全局最優(yōu)值的可能。

3.3 算法變體有效性分析

為了證明本文算法變體策略的有效性，將本文提出的HPO變體算法MSHPO、SCHPO與HPO算法進行測試，維度為30，具體結(jié)果如表2所示。

由表2可知，在單峰函數(shù)f1～f5中，SCHPO在f1中各項指標(biāo)收斂至理論最優(yōu)值，在f2～f5中盡管沒有收斂至最優(yōu)值，但大部分指標(biāo)優(yōu)于HPO算法，由此可知，正余弦策略的震蕩特性有效提升了算法的局部開發(fā)能力。MSHPO在單峰函數(shù)測試中略遜于SCHPO，但仍優(yōu)于HPO，在f5中最優(yōu)值優(yōu)于對比算法，表明該搜索策略仍保持一定優(yōu)勢。在多峰測試函數(shù)f6～f10中，MSHPO相關(guān)指標(biāo)相較于對比算法表現(xiàn)較為優(yōu)異，表明均值搜索策略擴大了搜索空間，有效地規(guī)避局部極值問題。在固定維函數(shù)f11、f12中，三種策略均有一定的優(yōu)點，評價指標(biāo)數(shù)值差距并不明顯。綜合以上可知，HPO的兩種算法變體在不同測試函數(shù)中各有優(yōu)勢，整體上優(yōu)化性能較優(yōu)于改進前算法。

3.4 與HPO算法及相關(guān)改進算法對比分析

為了證明本文算法相比其他文獻改進HPO算法具備更優(yōu)的競爭力，將本文算法與HPO、IHPO、LHPO算法在D=30條件下進行對比分析，對比結(jié)果如表3所示。

分析表3可知，本文算法明顯優(yōu)于HPO和對比改進算法，在f1、f2、f6、f7、f12中收斂至理論最優(yōu)值，在其他測試函數(shù)中盡管沒有收斂至最優(yōu)值，但最優(yōu)值和平均值優(yōu)于對比算法，搜索精度相比于其他算法最高。在單峰函數(shù)f3中，LCIHPO的標(biāo)準(zhǔn)差低于HPO，但最優(yōu)值和平均值遠高于HPO。在多峰函數(shù)f6～f10中，LCIHPO各項指標(biāo)均優(yōu)于對比算法，在f10中，最優(yōu)值更是高出HPO算法13個數(shù)量級，表明本文算法可以克服局部極值對尋優(yōu)的影響。在固定維函數(shù)f11、f12中，LCIHPO尋優(yōu)能力仍處于領(lǐng)先地位?？傮w來看，本文算法在不同函數(shù)上均值基本都是最好的表現(xiàn)，且優(yōu)于其他算法，表明本文算法相對于先前改進HPO算法更具有競爭力。

3.5 不同維度下算法對比分析

為了驗證本文算法在不同維度下的求解優(yōu)勢，選用粒子群算法（particle swarm optimization，PSO）［18］、SCA、鵜鶘算法（pelican optimization algorithm，POA）［19］、IPSOVP［20］、DSCA［21］與LCIHPO算法在12個不同維度的基準(zhǔn)測試函數(shù)上進行對比分析，f11、f12為固定維度測試函數(shù)，維度設(shè)定如表1所示，相關(guān)參數(shù)按照對應(yīng)文獻中設(shè)置。取平均值、標(biāo)準(zhǔn)差和最優(yōu)值作為評定標(biāo)準(zhǔn)，具體測試結(jié)果如表4、5所示。

由表4、5可知，在不同維度下的單、多峰函數(shù)以及固定維度函數(shù)上，LCIHPO的尋優(yōu)性能整體優(yōu)于對比算法。首先，縱向來看，在維度為30的條件下，LCIHPO算法在f1、f3、f6、f7中收斂至全局最優(yōu)值，在其余測試函數(shù)中未尋到全局最優(yōu)值但搜索精度仍強于對比算法。在求解單峰函數(shù)f4中， LCIHPO算法平均值收斂精度和標(biāo)準(zhǔn)差方面比PSO算法高19個數(shù)量級，表明其具有優(yōu)異的收斂精度和穩(wěn)定性。在求解多峰函數(shù)中，LCIHPO的各項指標(biāo)均優(yōu)于對比算法，表明算法可以很好地克服局部極值的不利影響并以優(yōu)異的態(tài)勢進行全局最優(yōu)值探索。橫向來看，隨著維度的升高，可以看到所有算法的各項指標(biāo)均發(fā)生不同程度的改變，而LCIHPO受維度上升的影響最小。在f1、f2、f6、f7中，LCIHPO算法不受維度上升的影響，平均值和最優(yōu)值仍能收斂至全局最優(yōu)值。在300維度時，LCIHPO在10個測試函數(shù)中平均值排行第一，標(biāo)準(zhǔn)差和最優(yōu)值有9個排行第一，綜合可得LCIHPO對維度變化適應(yīng)性較強。在固定維度函數(shù)中，LCIHPO在f12中平均值和最優(yōu)值尋到理論最優(yōu)值，且標(biāo)準(zhǔn)差較小，盡管在f11中沒有收斂至理論最優(yōu)值，但各項指標(biāo)優(yōu)于對比算法，算法整體性能優(yōu)異?？傮w來看，LCIHPO在不同維度條件下的不同函數(shù)中均展現(xiàn)了良好的尋優(yōu)能力，證明了本文算法的優(yōu)越性。為了更加直觀地展現(xiàn)算法迭代過程，在維度為30的條件下，各個算法在部分函數(shù)中的迭代尋優(yōu)曲線如圖2所示。

通過圖2可以觀察到，LCIHPO能夠以較快的速度收斂到最優(yōu)值，在圖2（a）（b）中，LCIHPO用了較少的迭代次數(shù)便收斂到了理論最優(yōu)值。在圖2（c）中，在其他算法陷入搜索停滯時，LCIHPO仍能不斷探索突破最小值，反映了算法優(yōu)異的收斂速度和精度。在圖2（f）～（h）中，可以看到LCIHPO以較快速度收斂至最優(yōu)值，收斂速度優(yōu)于其他算法，而在圖2（i）（j）中，可以看到當(dāng)其他算法陷入局部極值時，LCIHPO仍能以較快的速度繼續(xù)向最優(yōu)解靠攏，可以看出算法具有較強的規(guī)避局部極值陷阱的能力。通過迭代曲線對比，驗證了本文算法具有良好的收斂速度和精度，更加直觀地展示了算法規(guī)避局部極值的能力。

3.6 Wilcoxon秩和檢驗

為了探究本文算法的改進優(yōu)越性，在顯著水平p=5%條件下，搜索維度為30，采用Wilcoxon秩和檢驗來驗證LCIHPO算法是否與上文中參與對比的算法存在顯著差異，驗證結(jié)果如表6所示。其中：N/A表示性能相近而無法比較；+、-、=分別表示LCIHPO性能優(yōu)于、劣于、近似于對比算法。

通過表6可以得知，在12個測試函數(shù)中，絕大多數(shù)的p值小于5%，總體上反映了LCIHPO算法與對比算法具有顯著差異，且尋優(yōu)性能優(yōu)于對比算法。

3.7 CEC2014復(fù)雜函數(shù)分析

為了進一步驗證本文算法尋優(yōu)的有效性，選取部分CEC2014復(fù)雜函數(shù)進行仿真分析。選取的函數(shù)類型分別為單峰（UN）、多峰（MN）、混合類型（HF）以及復(fù)合類型（CF），如表7所示。將本文算法與PSO、SCA、HPO、POA、IPSOVP、IHPO、DSCA、LHPO進行對比分析，以平均值與標(biāo)準(zhǔn)差作為評定指標(biāo)，重復(fù)運行40次，測試結(jié)果如表8所示。

由表8可知，在單峰測試函數(shù)CEC01中，本文算法的各項指標(biāo)均優(yōu)于對比函數(shù)，表明其具有更佳的求解精度；在求解多峰測試函數(shù)時，雖然CEC16上IPSOVP的標(biāo)準(zhǔn)差領(lǐng)先其他算法，但LCIHPO的平均值更接近理論最優(yōu)值；對于混合函數(shù)，本文算法在各個函數(shù)上均有優(yōu)異的表現(xiàn)，表明了其具有良好的穩(wěn)定性；在復(fù)合類型函數(shù)中，本文算法收斂到一定值并不再發(fā)生改變，且得到的平均值優(yōu)于對比算法，反映其更善于解決此類問題。綜合以上可以得知，本文算法在復(fù)雜函數(shù)上仍能有優(yōu)異的表現(xiàn)，驗證了本文算法優(yōu)秀的魯棒性。

4 工程優(yōu)化問題的應(yīng)用

為了驗證本文算法在實際工程應(yīng)用中的性能，選取了壓力容器設(shè)計這一經(jīng)典的工程優(yōu)化問題。在該設(shè)計問題中，壓力容器兩端均有封蓋，其中頭部一端為半球狀，包括四個決策變量，分別為容器壁厚度Ts、頭部厚度Th、圓柱內(nèi)壁半徑R和圓柱截面長度L。該問題數(shù)學(xué)模型為

a）決策變量

x=［x1，x2，x3，x4］=［Ts，Th，R，L］（24）

b）目標(biāo)函數(shù)

f（x）min=0.6224x1x3x4+1.7781x2x23+3.1661x21x4+19.84x21x3（25）

c）約束條件

d）邊界約束

0≤x1≤99，0≤x2≤99

10≤x3≤200，10≤x4≤200（27）

將本文算法與HPO、PSO、POA、HHO、DSCA、LHPO以及IHPO算法進行對比，得到結(jié)果如表9所示。

由表9可知，本文算法在八種優(yōu)化算法中取得了最優(yōu)解決方案，最終得到的最小成本為5 884.311 71，證明了本文算法在工程案例中的適用性和可靠性。

5 結(jié)束語

本文提出一種基于領(lǐng)導(dǎo)者競爭策略的改進HPO算法。將初始種群分為三個亞群，采用不同的更新策略以此產(chǎn)生不同的步長，確保算法在不同階段的探索開發(fā)能力；引入精英組合變異策略，依據(jù)個體歷史最優(yōu)值進行變異，減少算法陷入局部最優(yōu)的概率；最終將亞群和變異種群產(chǎn)生的最優(yōu)子代帶入領(lǐng)導(dǎo)者競爭策略中，通過最優(yōu)個體間的信息交流和競爭，統(tǒng)合各個策略的優(yōu)勢。數(shù)值仿真實驗的結(jié)果表明，本文算法比其他改進HPO算法更具有競爭力，在面對不同維度的不同函數(shù)時均具有較穩(wěn)定的尋優(yōu)能力以及優(yōu)異的顯著性差異，而CEC2014函數(shù)的仿真則證明了算法的有效性和魯棒性。最后在壓力容器設(shè)計優(yōu)化問題上分析驗證了LCIHPO在解決工程優(yōu)化問題上的可靠性。未來可進一步將該算法應(yīng)用到電力、熱工系統(tǒng)相關(guān)領(lǐng)域。

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