考慮局部損傷區(qū)變化的能量平衡尺寸效應(yīng)模型1)

劉小宇 張慧梅,2) 楊 政

* (西安科技大學(xué)理學(xué)院,西安 710600)

? (西安交通大學(xué)人居環(huán)境與建筑工程學(xué)院,西安 710049)

引言

不同于理想脆性材料在突然破壞之前的變形沒有明顯的損傷過程,實際材料,例如巖石、混凝土、聚合物、合金和復(fù)合材料等內(nèi)部含有大量缺陷 (裂紋、空洞、位錯、夾雜和晶界等),在達到極限載荷前一直存在缺陷的萌生、發(fā)展和聚合,這類材料被稱為準(zhǔn)脆性材料[1].準(zhǔn)確描述混凝土、巖石等準(zhǔn)脆性材料單軸抗壓強度的尺寸效應(yīng)對宏微觀結(jié)構(gòu)的安全設(shè)計和制造至關(guān)重要[2-3].準(zhǔn)脆性材料的單軸抗壓強度通常表現(xiàn)為“越小越強”,即下降尺寸效應(yīng)[4-5].然而,當(dāng)試件尺寸小于某一臨界值時,大量的試驗和模擬結(jié)果表明: 單軸抗壓強度呈現(xiàn)上升尺寸效應(yīng),即試件尺寸越小,準(zhǔn)脆性材料單軸抗壓強度越低[6-18],在納米金屬和納米合金中也觀察到類似的上升尺寸效應(yīng)現(xiàn)象[19-20].因此,隨著試件尺寸的減小,準(zhǔn)脆性材料單軸抗壓強度先增大后減小.這意味著準(zhǔn)脆性材料在特定尺寸下可以實現(xiàn)最大單軸抗壓強度,實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的最優(yōu)尺寸[21];但是這也意味著傳統(tǒng)的“越小越強”設(shè)計思想對于小尺寸準(zhǔn)脆性材料結(jié)構(gòu)不再適用[4,22].目前,如何解釋和預(yù)測單軸抗壓強度從下降到上升尺寸效應(yīng)轉(zhuǎn)變一直是力學(xué)和材料研究的前沿問題[23-24].

對于下降尺寸效應(yīng),Weibull 基于最弱鏈理論建立統(tǒng)計尺寸效應(yīng)理論.最弱鏈理論假設(shè)一個試件由N個獨立的鏈組成,一旦最薄弱鏈發(fā)生破壞,試件就沒有前兆現(xiàn)象地突然破壞.此后,研究者還提出其他類型的統(tǒng)計尺寸效應(yīng)模型描述平均強度及其波動[25-27].然而,統(tǒng)計尺寸效應(yīng)模型忽略了斷裂過程區(qū)引發(fā)的確定性尺寸效應(yīng).為了體現(xiàn)抗拉強度的確定性尺寸效應(yīng),Ba?ant 等[28-30]考慮斷裂過程區(qū)和能量釋放平衡建立了缺口結(jié)構(gòu)和非缺口結(jié)構(gòu)的尺寸效應(yīng)定律(size effect law,SEL).通過分析材料破壞面的幾何相似性,Carpinteri 等[31-33]建立了多重分形尺寸效應(yīng)模型(multifractal scaling law,MFSL).事實上,當(dāng)準(zhǔn)脆性材料試件達到極限強度時,斷裂過程區(qū)越大,破壞面的分形就會越復(fù)雜,這意味著SEL 和MFSL 背后的機理相同.Hu 等[34]提出邊界尺寸效應(yīng)模型(boundary effect model,BEM) 來解釋下降尺寸效應(yīng).Guan等[35-37]考慮最大骨料或晶粒尺寸修正了BEM,使BEM能更為準(zhǔn)確預(yù)測材料真實斷裂韌性和拉伸強度.考慮斷裂過程區(qū)尺寸隨試件尺寸變化,Ayatollahi等[38]基于最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則建立一個新尺寸效應(yīng)模型,以下簡稱AAM.Cornetti 等[39]和Leguillon 等[40]結(jié)合應(yīng)力和能量準(zhǔn)則提出有限斷裂力學(xué)(finite fracture mechanics,FFM),FFM 可以同時確定強度和斷裂過程區(qū)的尺寸效應(yīng).Ba?ant 等[41]、Di 等[42]和Chen等[43]也通過結(jié)合統(tǒng)計和確定性尺寸效應(yīng)機理建立聯(lián)合尺寸效應(yīng)模型.Ba?ant 等[44]認為單軸壓縮破壞時軸向或傾斜裂縫屈曲釋放的能量等于劈裂裂縫所消耗的能量,并建立了相應(yīng)的單軸抗壓強度的尺寸效應(yīng)模型,以下簡稱BXM 模型.Weiss 等[45]認為壓縮破壞是從完好狀態(tài)到失效狀態(tài)的臨界相變,并推導(dǎo)出平均抗壓強度與其標(biāo)準(zhǔn)差的有限尺寸效應(yīng)定律(fractal fracture size-effect law,FFSEL).FFSEL 可以預(yù)測尺寸趨于無窮大時單軸抗壓強度趨于常數(shù).研究者也提出許多經(jīng)驗?zāi)Ｐ蛠砻枋鰪姸鹊南陆党叽缧?yīng)[46-49].由于經(jīng)驗?zāi)Ｐ秃唵吻覝?zhǔn)確,使其在工程中廣泛應(yīng)用.筆者通過分析準(zhǔn)脆性材料單軸壓縮試件變形破壞過程中的能量輸入、儲存和耗散,建立能反映單軸壓縮破壞機理的能量平衡尺寸效應(yīng)模型[50].

然而,準(zhǔn)脆性材料的單軸壓縮破壞是由微/細觀缺陷的萌生、擴展和聚合引起[51-55],基于最弱鏈理論的統(tǒng)計尺寸效應(yīng)模型不能體現(xiàn)這一機理.此外,SEL,BEM,AAM,FFM 和聯(lián)合尺寸效應(yīng)模型假設(shè)準(zhǔn)脆性材料的破壞是拉應(yīng)力驅(qū)動,不能反映壓應(yīng)力和沿裂紋表面摩擦對拉裂紋的抑制作用.準(zhǔn)脆性材料壓縮破壞也不是BXM 模型假設(shè)的裂紋屈曲,并且BXM 模型也不能預(yù)測尺寸趨于無窮大時單軸抗壓強度趨于常數(shù).FFSEL 模型物理機制過于復(fù)雜且難以理解.經(jīng)驗?zāi)Ｐ褪菍υ囼灁?shù)據(jù)規(guī)律的擬合,難以反映準(zhǔn)脆性材料單軸壓縮破壞的機理.顯然,上述下降尺寸效應(yīng)模型難以體現(xiàn)單軸抗壓強度的上升尺寸效應(yīng).

對于上升尺寸效應(yīng),考慮試件表面的強度和彈性模量較弱,Andrianopoulos 等[56]建立基于應(yīng)變能密度準(zhǔn)則的上升尺寸效應(yīng)模型,但是該模型無法體現(xiàn)準(zhǔn)脆性材料抗壓強度從下降到上升尺寸效應(yīng)的轉(zhuǎn)變.考慮斷裂韌性的分形特征,Ba?ant[57]提出分形斷裂尺寸效應(yīng)定律,當(dāng)斷裂韌性分形維數(shù)大于1 時,FFSEL 可以描述強度的上升尺寸效應(yīng).Masoumi 等[4]觀察到拋光表面試件的單軸抗壓強度增加,但上升尺寸效應(yīng)區(qū)域的單軸抗壓強度仍小于其最大值.因此,他們認為分形是引發(fā)單軸抗壓強度上升尺寸效應(yīng)的主要因素,表面缺陷可能是次要因素.在此基礎(chǔ)上,結(jié)合FFSEL 和SEL,Masoumi 等[4]建立聯(lián)合尺寸效應(yīng)定律(unified size-effect law,USEL)來描述砂巖、石塊和石灰?guī)r由下降尺寸效應(yīng)向上升尺寸效應(yīng)轉(zhuǎn)變.但是USEL 不能預(yù)測尺寸趨于無窮大時單軸抗壓強度趨于常數(shù),Masoumi 等[58]后來改進USEL(improved unified size-effect law,IUSEL)彌補這一不足,并用IUSEL 描述石灰石和人造石由下降尺寸效應(yīng)向上升尺寸效應(yīng)轉(zhuǎn)變.然而,Ba?ant[57]指出裂紋表面的分形特征不可能是上升尺寸效應(yīng)區(qū)域的主要機理,這意味著USEL 和IUSEL 不能反映上升尺寸效應(yīng)背后的機理.

關(guān)于單軸抗壓強度上升尺寸效應(yīng)機理,Hoskins等[59]認為小試件單軸抗壓強度上升尺寸效應(yīng)是由表面缺陷引起.Zhang 等[60]假設(shè)顆粒流模型中缺陷尺寸與模型尺寸成正比或固定,模擬結(jié)果顯示單軸抗壓強度呈現(xiàn)上升尺寸效應(yīng).單軸壓縮顆粒流模擬也表明上升尺寸效應(yīng)主要是由模型孔隙率降低和模型尺寸與顆粒比增大引起[61-62].此外,單軸壓縮有限元模擬發(fā)現(xiàn)小試件會沿著單個缺陷快速滑動破壞,導(dǎo)致抗壓強度降低[63-64].Faramarzi 等[14]發(fā)現(xiàn)單軸壓縮混凝土粒度越小,單軸抗壓強度的上升尺寸效應(yīng)越明顯.這是由于試件晶粒尺寸越小,破壞表面越光滑,越容易發(fā)生滑移破壞.Quinones 等[13]、伍法權(quán)等[9]和王兆運[65]在單軸壓縮玄武巖、砂巖和花崗巖中觀察到較小試件中萌生的裂紋可以迅速貫通試件.從上述分析可以得出,單軸壓縮小試件強度較低的根源是: 其破壞時局部破壞區(qū)域(即斷裂過程區(qū)或者局部損傷區(qū))較小.這就意味著試件應(yīng)力達到單軸抗壓強度時,局部破壞區(qū)域尺寸隨著試件尺寸變化,而不是SEL,BEM,BXM 和 FSEL 中的常數(shù).在FFM[39-40]和AAM 中[38],研究者已經(jīng)考慮斷裂過程區(qū)的尺寸效應(yīng).然而,一方面FFM 和AAM 是針對準(zhǔn)脆性材料的拉伸破壞建立,不能反映其單軸壓縮破壞物理機理.另一方面,FFM 和AAM 也不能體現(xiàn)單軸抗壓強度從下降到上升尺寸效應(yīng)轉(zhuǎn)變.因此,建立能描述和解釋單軸壓抗壓強度從下降到上升尺寸效應(yīng)轉(zhuǎn)變?nèi)匀皇且粋€挑戰(zhàn)性的問題.

筆者通過分析準(zhǔn)脆性材料單軸壓縮試件變形破壞過程中的能量輸入、儲存和耗散,建立能反映單軸壓縮破壞機理的能量平衡尺寸效應(yīng)模型[50].然而,在能量平衡尺寸效應(yīng)模型中局部損傷區(qū)為常數(shù),這使得其不能體現(xiàn)單軸抗壓強度從下降到上升尺寸效應(yīng)轉(zhuǎn)變.因此,本文首先通過系統(tǒng)深入分析局部損傷區(qū)隨試件尺寸的變化規(guī)律,提出局部損傷區(qū)尺寸效應(yīng)模型并驗證.在此基礎(chǔ)上,建立考慮局部損傷區(qū)變化的能量平衡尺寸效應(yīng)模型.然后分析模型參數(shù)對考慮局部損傷區(qū)變化的能量平衡尺寸效應(yīng)模型影響,以便全面深入理解這一模型.最后應(yīng)用已有大量試驗數(shù)據(jù)驗證本文尺寸效應(yīng)模型,闡明其優(yōu)缺點.

1 局部損傷區(qū)尺寸效應(yīng)模型

1.1 局部損傷區(qū)尺寸效應(yīng)模型構(gòu)建

在準(zhǔn)脆性材料中,破壞通常始于微/細觀裂紋,然后微/細觀裂紋萌生、擴展和聚合形成斷裂過程區(qū)(fracture process zone,FPZ),即局部損傷區(qū)(localized damage zone,LDZ).由于LDZ 中微/細觀裂紋的萌生、擴展和聚合引起的應(yīng)力重分布、能量釋放和耗散直接影響準(zhǔn)脆性材料的確定性尺寸效應(yīng)[66].因此,必須確定LDZ 尺寸效應(yīng),以便準(zhǔn)確預(yù)測準(zhǔn)脆性材料單軸壓抗壓強度的尺寸效應(yīng).

最大主應(yīng)力理論[67]、能量釋放平衡[66]、CTOD函數(shù)[68]、邊界效應(yīng)模型[69]或材料微觀結(jié)構(gòu)[70-71]認為不同尺寸的準(zhǔn)脆性材料試件的拉伸LDZ 尺寸為定值.然而,基于黏聚力模型[42]、有限斷裂力學(xué)[39]和能量釋放率準(zhǔn)則[70]表明: 隨著試件尺寸的增加,拉伸LDZ 尺寸逐漸增加最終趨于常數(shù).同時試驗和模擬結(jié)果也發(fā)現(xiàn)了相同的拉伸LDZ 尺寸效應(yīng)規(guī)律[72-75].事實上,可以想象: 在尺寸特別大的試件中,名義應(yīng)力達到抗壓強度極限時,LDZ 尺寸絕對要遠大于試驗室小尺寸試件產(chǎn)生的LDZ 尺寸.在此基礎(chǔ)上,Ayatollahi 等[38]以及Fakhimi 等[72]提出如下拉伸LDZ 尺寸效應(yīng)模型

式中,r∞為無限大試件中LDZ 尺寸,hldz為材料常數(shù).rldz(D)表示特定尺寸D試件中拉伸LDZ 的大小,其值可以通過視覺圖像方法、聲學(xué)方法和力學(xué)方法確定[76].視覺圖像方法通過分析試樣表面變形前后的圖像,確定試樣表面的位移和應(yīng)變分布,將LDZ 定義為局部高應(yīng)變或者位移突變區(qū)[77].在視覺圖像方法中,由于數(shù)字圖像相關(guān)(digital image correlation,DIC)能準(zhǔn)確地測量全場位移/應(yīng)變分布受到廣泛應(yīng)用[72-73].聲學(xué)方法通過捕捉材料破壞產(chǎn)生的聲波,進而確定材料中微裂紋產(chǎn)生位置,最后確定LDZ 尺寸[74,78].力學(xué)方法利用模擬方法或者壓痕儀測量LDZ力學(xué)性能變化的邊界,進而確定LDZ 尺寸[79-80].

對于單軸壓縮試件,從試驗或模擬結(jié)果圖可以觀察到: 隨著試件尺寸的增加,壓縮LDZ 尺寸逐漸增加[63-64,81-83].此外,Mayolle 等[84-85]發(fā)現(xiàn)地殼中總斷裂帶厚度隨著斷層位移的增加呈非線性增長,直到地殼運動的閾值厚度.這表明在非常大的結(jié)構(gòu)中,壓縮LDZ 的厚度是一個固定值.因此,在式(1)中引入指數(shù)k來體現(xiàn)壓縮LDZrldz與試件尺寸D之間的非線性關(guān)系,并且考慮當(dāng)D≤rldz,壓縮LDZ 尺寸rldz充滿試樣,試樣尺寸D等于壓縮LDZ 尺寸rldz,則壓縮LDZ 尺寸rldz表達式如下

式中,參數(shù)k控制rldz與D的非線性關(guān)系.圖1 給出不同k值時rldz隨D的變化曲線.可以看出k能顯著影響rldz(D) 曲線的非線性上升階段.隨著k增加,達到r∞的臨界尺寸逐漸減小.圖2 為不同hldz值的rldz(D)變化曲線.可以觀察到,hldz越小,rldz越大,材料塑性變形越明顯;即hldz能反映試件的韌脆性.因此,hldz是一個與試件幾何形狀、應(yīng)力狀態(tài)和材料力學(xué)性能有關(guān)的參數(shù).r∞和hldz可以通過擬合試驗或模擬結(jié)果確定.在式(2)中,當(dāng)k=0 時,LDZ 尺寸rldz=r∞/hldz為常數(shù),這和尺寸效應(yīng)定律(SEL)[28-30]、單軸抗壓強度的尺寸效應(yīng)模型(BXM)[44]和邊界尺寸效應(yīng)模型(BEM) 中對LDZ 尺寸的假設(shè)一致,這時LDZ 尺寸不隨試樣尺寸變化.然而,試驗和模擬結(jié)果表明: 隨著試件尺寸的增加,壓縮LDZ 尺寸逐漸增加,并最終趨于定值[63-64,81-85].此外,需要說明的是,拉伸LDZ 尺寸效應(yīng)模型式(1)和式(2) (改進的公式(1))分別基于拉伸和壓縮LDZ 尺寸效應(yīng)試驗和模擬結(jié)果建立,這意味式(1)和(2)是經(jīng)驗性的,不具備任何物理機制.因此,用式(2)去描述單軸壓縮LDZ 尺寸效應(yīng)是合理的.

圖1 參數(shù)k 對局部損傷區(qū)尺寸效應(yīng)模型(式(2))影響Fig.1 Influence of parameter k on the size-dependent model of LDZ(Eq.(2))

圖2 參數(shù)hldz 對局部損傷區(qū)尺寸效應(yīng)模型(式(2))影響Fig.2 Influence of parameter hldz on the size-dependent model of LDZ(Eq.(2))

不同于上述拉伸破壞試件只有單個LDZ,單軸壓縮試件通常可以觀察到多個LDZ[76],這導(dǎo)致定量分析壓縮LDZ 尺寸效應(yīng)較難.由于聲發(fā)射可以獲取單軸壓縮試件內(nèi)部微裂紋萌生、擴展和聚合的特征,但是聲發(fā)射定位時存在很高的誤差,這使得單獨使用聲發(fā)射很難精確測量LDZ 尺寸.DIC 能準(zhǔn)確測量試件表面全場位移/應(yīng)變分布.Zhang 等[76,86-87]的研究表明: 結(jié)合聲發(fā)射和DIC 方法可以準(zhǔn)確測量壓縮LDZ 尺寸.

1.2 局部損傷區(qū)尺寸效應(yīng)模型驗證

本節(jié)收集不同尺寸準(zhǔn)脆性材料試件LDZ 尺寸的試驗和模擬數(shù)據(jù)[73-74,79],并在表1 給出了試驗和模擬材料類型、尺寸范圍、LDZ 尺寸確定方法和數(shù)據(jù)來源.Tarokh 等[74]采用聲發(fā)射(acoustic emission,AE)定位含裂紋三點彎曲試樣所有微裂紋位置,認為所有微裂紋區(qū)的邊緣為LDZ,并確定LDZ 長和寬隨試件尺寸的變化規(guī)律.Zhang 等[73]基于DIC 計算含裂紋半圓形彎曲試樣水平位移,將近似一條斜直線的水平位移梯度作為臨界水平位移梯度,用來區(qū)分加載過程中LDZ 尖端與彈性區(qū)域;這條采樣線所在位置與預(yù)制裂縫尖端的距離作為LDZ 的長度;水平位移曲線靠近裂尖時,水平位移梯度會出現(xiàn)突變點,以兩點之間的距離作為LDZ 的寬度[88].開展不同尺寸含裂紋三點彎曲試樣模擬時,文獻[79-80]把LDZ 定義為單元已經(jīng)進入軟化階段的區(qū)域.

表1 不同準(zhǔn)脆性材料試件LDZ 尺寸試驗和模擬數(shù)據(jù)Table 1 Experiment and simulated data of LDZ sizes for different quasi-brittle materials

對表1 中每組試驗或者模擬數(shù)據(jù),采用擬合方法確定式(1)和式(2)中參數(shù)k,r∞和hldz,在圖3～圖8 中給出.可以看出擬合確定的式(2)中k值差別較大(0.273 9～1.344),并且對于同一試驗,LDZ 長度和寬度尺寸效應(yīng)的非線性參數(shù)k也差別較大.這是因為: ①不同材料微觀結(jié)構(gòu)和力學(xué)特性不同;②不同試驗試樣幾何形狀不同;③沿長度和寬度方向LDZ 增大的機制不同;④試件的受力狀態(tài).這些因素綜合作用使LDZ 尺寸效應(yīng)非線性特征值k差別較大.

圖3 式(1)和式(2)預(yù)測花崗巖試驗LDZ 長度對比[74]Fig.3 Compared Eqs.(1) and (2) with experimental LDZ length of granite[74]

圖4 式(1)和式(2)預(yù)測花崗巖試驗LDZ 寬度對比[74]Fig.4 Compared Eqs.(1) and (2) with experimental LDZ width of granite[74]

圖5 式(1)和式(2)預(yù)測砂巖試驗LDZ 長度對比[73]Fig.5 Compared Eqs.(1) and (2) with experimental LDZ length of sandstone[73]

圖6 式(1)和式(2)預(yù)測砂巖試驗LDZ 寬度對比[73]Fig.6 Compared Eqs.(1) and (2) with experimental LDZ width of sandstone[73]

圖7 式(1)和式(2)預(yù)測混凝土模擬LDZ 長度對比[79]Fig.7 Compared Eqs.(1) and (2) with simulated LDZ length of concrete[79]

圖8 式(1)和式(2)預(yù)測混凝土模擬LDZ 長度對比[80]Fig.8 Compared Eqs.(1) and (2) with simulated LDZ length of concrete[80]

把圖3～圖8 中參數(shù)k,r∞和hldz代入式(1)和式(2),式(1)和式(2)預(yù)測表1 中每組試驗或者模擬數(shù)據(jù)的結(jié)果如圖3～圖8 所示.由圖3～圖8 可以看出式(1) 和式(2) 都能較好預(yù)測試驗或者模擬rldz隨D的變化規(guī)律,其確定系數(shù)R2都大于0.94.在圖3～圖8 中式(2) 擬合的每組數(shù)據(jù)的確定系數(shù)R2明顯高于式(1)擬合的確定系數(shù)R2,這也就驗證式(2)的正確性.

2 考慮局部損傷區(qū)變化的能量平衡尺寸效應(yīng)模型

2.1 抗壓強度能量平衡尺寸效應(yīng)模型建立

通過分析圖9 準(zhǔn)脆性材料單軸壓縮損傷力學(xué)模型變形破壞過程中的能量輸入、儲存和耗散,筆者在先前論文[50]中建立式(3)能反映單軸壓縮破壞機理的能量平衡尺寸效應(yīng)模型.不同于拉伸破壞試件只有單個LDZ,單軸壓縮試件通?？梢杂^察到多個LDZ[76],因此圖9 中LDZ 為單軸壓縮試件中多個LDZ 的綜合

圖9 準(zhǔn)脆性材料單軸壓縮損傷力學(xué)模型[50]Fig.9 Damage mechanics model of quasi-brittle material under uniaxial compression[50]

式中,n(n＞ 0)為體現(xiàn)名義損傷模量尺寸效應(yīng)非線性的參數(shù);σnm,fce和fc分別為單軸名義抗壓強度、壓縮彈性極限強度和真實抗壓強度,且fce≤fc.V=πλD3/4 和VL=πabt/(4sinθ)分別為圖9 中圓柱試樣體積和LDZ 體積;D和H為單軸壓縮圓柱試樣直徑和高,λ=H/D;a,b和t分別為橢圓狀LDZ 的長軸、短軸和厚度,θ為LDZ 和試樣水平方向夾角.事實上,當(dāng)V≤VL,即πλD3/4 ≤ πabt/(4sinθ) ?D≤,LDZ 充滿試樣,試樣體積等于LDZ 體積,這時單軸壓縮試樣名義應(yīng)力應(yīng)變曲線與真實應(yīng)力應(yīng)變曲線重合,名義抗壓強度σnm等于真實抗壓強度fc.

把V=πλD3/4 和VL=πabt/(4sinθ)代入式(3),并令體現(xiàn)圖9 中單軸壓縮試件中LDZ 尺寸,其量綱為長度,則可得

能量平衡尺寸效應(yīng)模型(式(4))能反映名義抗壓強度的下降尺寸效應(yīng),即隨著試件尺寸D的增大,名義抗壓強度σnm減小[4,5,89-90].然而,當(dāng)D減小到特定尺寸以下時,試驗和模擬結(jié)果表明: 隨著D的減小,試件的抗壓強度會逐漸減小,即名義抗壓強度的上升尺寸效應(yīng)[6-17].此外,由第1 節(jié)可以得出,LDZ尺寸rldz隨著D的增加呈非線性增長,最終趨于定值[73-74,79-80].事實上,可以想象: 在特別大的試件尺寸中,名義應(yīng)力達到抗壓強度極限時,LDZ 絕對要遠大于試驗室小試件產(chǎn)生的LDZ.因此,將式(2)代入式(4),可得名義抗壓強度σnm表達式如下

式中右側(cè)rldz參見式(2).

2.2 抗壓強度能量平衡尺寸效應(yīng)模型參數(shù)研究

為了研究參數(shù)對考慮局部損傷區(qū)變化的能量平衡尺寸效應(yīng)模型的影響,對式(5)進行整理可得

式中,α=fce/fc,0 ≤α≤ 1.下面通過研究參數(shù)對考慮局部損傷區(qū)變化的能量平衡尺寸效應(yīng)模型變化規(guī)律的影響,以便全面深入理解這一模型.

圖10～圖14 給出了參數(shù)α,n,r∞,hldz和k對考慮局部損傷區(qū)變化的能量平衡尺寸效應(yīng)模型影響.通過對圖10～圖14 進行全面分析,可以得出如下5 種類型的尺寸效應(yīng)曲線.

圖10 參數(shù)α 對本文模型影響Fig.10 Effect of the parameter α on the proposed model

類型1: 在圖14 中k=1 時,可以看出,隨著尺寸D增大,σnm/fc逐漸減小,最終趨于α,這和大量單軸壓縮試驗與模擬結(jié)果一致[50,91-92].需要說明的是,類型1 沒有平直段(即σnm/fc不隨尺寸變化)的原因是: 對于任何尺寸試件,局部損傷區(qū)的尺寸rldz一直小于試件尺寸,即處于式(6)中D＞rldz范圍.

類型2: 在圖14 中k=0 時,可以看出,隨著尺寸D增大,σnm/fc首先在一定尺寸范圍內(nèi)保持為常數(shù)1,然后逐漸減小,最終趨于α.Chen 等[93]發(fā)現(xiàn)單軸壓縮光刻加工硅的剪切強度尺寸效應(yīng)具有同樣的規(guī)律,并發(fā)現(xiàn)小尺寸試樣剪切滑移帶呈現(xiàn)充滿試樣且均勻分布.即式(6)中,當(dāng)D≤rldz,損傷區(qū)充滿試樣,試樣體積等于損傷區(qū)尺寸,這時σnm/fc=1.

類型3: 可以看出,在圖10～圖14 中有部分曲線,隨著尺寸D增大,σnm/fc先增加,然后逐漸減小,最終趨于α.研究者在砂巖[11]、石灰石[8]、人造石膏[8]、混凝土[14]、玄武巖和花崗巖[9,13,65]發(fā)現(xiàn)類型3 尺寸效應(yīng).單軸壓縮有限元模擬發(fā)現(xiàn)小試件會沿著單個缺陷快速滑動破壞,導(dǎo)致抗壓強度呈現(xiàn)類型3 升尺寸效應(yīng)[63-64].Faramarzi 等[14]發(fā)現(xiàn)單軸壓縮混凝土粒度越小,單軸抗壓強度的上升尺寸效應(yīng)越明顯.這是由于試件晶粒尺寸越小,破壞表面越光滑,越容易發(fā)生滑移破壞.文獻[9,13,65]在單軸壓縮玄武巖、砂巖和花崗巖中觀察到較小試件中萌生的裂紋可以迅速貫通試件.從上述分析可以得出,單軸壓縮小試件強度呈現(xiàn)上升尺寸效應(yīng)的原因是其破壞時LDZ較小.

類型4: 從圖12 中r∞=10.0,8.0 以及圖14中k=4,可以看出,隨著尺寸D增大,σnm/fc先逐漸增加到1,然后在一定尺寸范圍保持常數(shù)1,再逐漸減小,最終趨于α.類型4 尺寸效應(yīng)是本文理論模型發(fā)現(xiàn)之后,通過查閱大量文獻,在微納尺度鈦合金尺寸效應(yīng)試驗數(shù)據(jù)中證實這一規(guī)律[94].Quek 等[95]開展的納米金屬晶粒尺寸效應(yīng)離散位錯動力學(xué)模擬結(jié)果也呈現(xiàn)類似規(guī)律.事實上,類型4 產(chǎn)生的原因是:式(6)中壓縮LDZ 尺寸rldz具有3 段,即隨著試件尺寸D增大,壓縮LDZ 尺寸rldz首先增大(處在D＞rldz范圍),然后尺寸rldz=D(處在D≤rldz范圍),最后rldz再增大并逐漸趨于定值r∞(處在D＞rldz范圍).

類型5: 在圖10 中α=1.0、圖11 中n=0.0 和圖12 中r∞=0.0 可以看出σnm/fc無尺寸效應(yīng).然而,圖10 中α=1.0 和圖11 中n=0.0 與圖12 中r∞=0.0 名義抗壓強度無尺寸效應(yīng)的機理并不相同.圖10中α=1.0 和圖11 中n=0.0 損傷區(qū)充滿整個試件,圖12 中r∞=0.0 時局部損傷區(qū)尺寸rldz=0,試件為完全脆性破壞.高強和纖維增強混凝土單軸抗壓強度不隨試樣尺寸變化,并觀察到試樣呈現(xiàn)處整體性破壞,即就是損傷區(qū)充滿整個試件[96-97].由于完全脆性破壞是理想化的,因此,并未查閱到理想化脆性破壞(rldz=0)呈現(xiàn)的無尺寸效應(yīng)現(xiàn)象.

圖11 參數(shù)n 對本文模型影響Fig.11 Effect of the parameter n on the proposed model

圖12 參數(shù)r∞ 對本文模型影響Fig.12 Effect of the parameter r∞ on the proposed model

在圖10 和圖11 中,α=fce/fc表示抗壓彈性極限強度和真實抗壓強度比值,參數(shù)n可以調(diào)整名義損傷模量尺寸效應(yīng)的非線性.隨著α從0 增大到1 或n逐漸減小到0,(σnm/fc)?D曲線整體增大,最終σnm/fc無尺寸效應(yīng).這是因為當(dāng)α從0 增大到1或n逐漸減小到0 時,名義損傷模量En和真實損傷模量Ed逐漸接近并相等,名義應(yīng)力應(yīng)變曲線與真實應(yīng)力應(yīng)變曲線逐漸接近并重合,最終整個試件會同時破壞,導(dǎo)致名義抗壓強度σnm等于真實抗壓強度fc.

在圖12 和圖13 中,r∞為無限大試件中LDZ 尺寸,hldz反映材料的韌脆性.當(dāng)r∞逐漸減小到0 或者hldz逐漸增大時,本文模型的尺寸效應(yīng)逐漸減弱.這是因為當(dāng)r∞逐漸減小或者hldz逐漸增大時,試樣中局部損傷區(qū)尺寸rldz逐漸減小,試件最終接近完全脆性破壞.

指數(shù)k可以調(diào)整壓縮局部損傷區(qū)rldz與試件尺寸D之間關(guān)系的非線性,從圖14 可以看出,隨著k逐漸減小,本文模型的尺寸效應(yīng)先減弱然后增強,并且先從類型4 轉(zhuǎn)變?yōu)轭愋?,再轉(zhuǎn)變?yōu)轭愋?,最后轉(zhuǎn)變?yōu)轭愋?.

圖14 參數(shù)k 對本文模型影響Fig.14 Effect of the parameter k on the proposed model

下面進一步闡明各種類型名義抗壓強度σnm尺寸效應(yīng)的原因.把式(6)整理為如下形式

上式對尺寸D求導(dǎo)可得

式中,rldz′/rldz和D′/D分別是rldz和D隨D變化的相對變化率.

對式(2)求導(dǎo)可得rfpz′/rfpz為

在式(8) 中,參數(shù)0 ≤α≤ 1;n,r∞,hldz,k≥0,且rldz≤D,因此,(σnm2/fc2)′正負由(rldz′/rldz?D′/D)控制.當(dāng)(rldz′/rldz?D′/D)＞ 0,(σnm2/fc2)′＞ 0,σnm/fc隨D增大而增大,呈現(xiàn)上升尺寸效應(yīng).當(dāng)(rldz′/rldz?D′/D)＜ 0,(σnm2/fc2)′＜ 0,σnm/fc隨D增大而減小,呈現(xiàn)下降尺寸效應(yīng).當(dāng)(rldz′/rldz?D′/D) ≡ 0,(σnm2/fc2)′ ≡0,σnm/fc隨D增大不變化,呈現(xiàn)無尺寸效應(yīng)現(xiàn)象.這就意味rldz′/rldz和D′/D之間的競爭是本文尺寸效應(yīng)模型(式(6))能體現(xiàn)5 種類型的尺寸效應(yīng)的原因.

進一步由式(9)和式(10)可得到

式中,當(dāng)k＜ 1 時,(rldz′/rldz?D′/D) ≤ 0,(σnm2/fc2)′＜0,則σnm/fc隨D增大而減小.當(dāng)k≥ 1 時,令(rldz′/rldz?D′/D)=0,可得式(6)極大值點對應(yīng)的試件尺寸為D=[(k? 1)hldz]1/k.因此,隨著D增大,(rldz′/rldz?D′/D) 由正轉(zhuǎn)負最后趨于0,σnm/fc先增大后減小趨于常數(shù).顯然,進一步研究表明,式(6)變化規(guī)律主要受參數(shù)k和hldz控制.

3 考慮局部損傷區(qū)變化的能量平衡尺寸效應(yīng)模型驗證

3.1 驗證數(shù)據(jù)收集

在本文提出的考慮局部損傷區(qū)變化的能量平衡尺寸效應(yīng)模型(式(5))中令k=0 可得能量平衡尺寸效應(yīng)模型(式(4)).筆者先前的論文[50]已經(jīng)采用大量試驗和模擬數(shù)據(jù)驗證了能量平衡尺寸效應(yīng)模型(式(4))預(yù)測類型1 和2 名義抗壓強度尺寸效應(yīng)[50].同時,由第2 節(jié)的圖10 中α=1.0、圖11中n=0.0 和圖12 中r∞=0.0 可以看出,考慮局部損傷區(qū)變化的能量平衡尺寸效應(yīng)模型能體現(xiàn)名義抗壓強度無尺寸效應(yīng)現(xiàn)象.因此,本文只收集類型3 和4 的尺寸效應(yīng)試驗數(shù)據(jù)對考慮局部損傷區(qū)變化的能量平衡尺寸效應(yīng)模型進行驗證,其中編號1～9 試驗數(shù)據(jù)能體現(xiàn)類型3 尺寸效應(yīng)現(xiàn)象,只有編號10 鈦合金試驗數(shù)據(jù)能體現(xiàn)類型4 尺寸效應(yīng)現(xiàn)象.本文對準(zhǔn)脆性材料的定義為: 材料內(nèi)部含有大量缺陷 (裂紋、空洞、位錯、夾雜和晶界等),在達到極限載荷前一直存在缺陷的萌生、發(fā)展和聚合,這類材料被稱為準(zhǔn)脆性材料[1].巖石、混凝土與合金材料破壞都萌生于缺陷引發(fā)的應(yīng)力集中處,然后在應(yīng)力集中處首先破壞并逐漸擴展、聚合.此外,巖石、混凝土與合金材料破壞時最終形成的LDZ 都是能量耗散和釋放的通道.因此,用本文的考慮局部損傷區(qū)變化的能量平衡尺寸效應(yīng)模型去描述巖石、混凝土與合金材料的尺寸效應(yīng)是合理的.表2 給出了收集數(shù)據(jù)的材料類型、試件尺寸D范圍、數(shù)據(jù)量和數(shù)據(jù)來源.考慮到試驗數(shù)據(jù)的收集通常較為耗時耗力,筆者把表2 涉及的數(shù)據(jù)上傳到百度網(wǎng)盤(https://pan.baidu.com/s/1eZai0IqdVaqHkISWpUe8Ow,密碼: 1234),方便其他研究者在未來使用這些數(shù)據(jù)進行科學(xué)研究.

表2 不同材料抗壓強度尺寸效應(yīng)試驗數(shù)據(jù)Table 2 Experimental data of size effect of compressive strength for different materials

3.2 模型驗證及對比

對表2 中每組試驗數(shù)據(jù),采用非線性最小二乘方法擬合確定本文考慮局部損傷區(qū)變化的能量平衡尺寸效應(yīng)模型(式(5)) 的6 個參數(shù)fce,fc,n,r∞,hldz和k,在表3 給出.此外,采用本文模型(式(5))擬合每組試驗數(shù)據(jù)時,需要每個參數(shù)的初值和范圍,初值越接近擬合值,擬合的準(zhǔn)確性越高且用時約少.因為參數(shù)fce為試件尺寸趨于無窮大時的名義應(yīng)力,這意味著參數(shù)fce小于或等于試驗名義抗壓強度最小值;而參數(shù)fc為真實抗壓強度,其大于或等于試驗名義抗壓強度最大值.基于上述分析就可以很快確定參數(shù)fce和fc的初值和范圍,進而可大幅提高擬合的效率.

表3 不同材料的本文提出模型 (式(5))擬合參數(shù)值Table 3 The optimized parameters of the proposed model (Eq.(5)) for different materials

對于編號1～10 尺寸效應(yīng)試驗數(shù)據(jù)如表3 和圖5～圖24 所示,從表3 可以看出,除編號1 Gosford 砂巖數(shù)據(jù)擬合確定的r∞=14 mm 較大,其余編號2～9 數(shù)據(jù)擬合確定的r∞在0.286～3.024 mm 范圍,Hu 等[69,98]認為LDZ 尺寸和晶粒大小在同一尺度,顯然本文擬合確定的r∞范圍和巖石晶粒大小在同一尺度.對編號10 數(shù)據(jù)擬合確定的試件尺寸趨于無窮大時LDZ 尺寸r∞=1.239 μm,顯然r∞=1.239 μm 大于鈦合金平直段向下降尺寸效應(yīng)轉(zhuǎn)變(圖24)的LDZ 尺寸值0.7 μm,這就表明擬合確定的r∞較為合理.對比表3 中擬合確定的參數(shù)fce和fc值以及圖15～圖24中名義抗壓強度值,可以看出fce小于或接近試驗名義抗壓強度最小值,而fc大于或接近試驗名義抗壓強度最大值.n,r∞,hldz和k都大于等于0.這就表明考慮局部損傷區(qū)變化的能量平衡尺寸效應(yīng)模型擬合參數(shù)fce,fc,n,r∞和hldz,k處在預(yù)設(shè)范圍內(nèi).對于編號1～9 類型3 尺寸效應(yīng)試驗數(shù)據(jù),考慮局部損傷區(qū)變化的能量平衡尺寸效應(yīng)模型擬合參數(shù)n接近0,n體現(xiàn)名義損傷模量尺寸效應(yīng)非線性,這說明產(chǎn)生類型3 尺寸效應(yīng)的主導(dǎo)因素是局部損傷區(qū)尺寸的變化,而非名義損傷模量隨尺寸的非線性變化.

圖15 兩種尺寸效應(yīng)模型預(yù)測編號1 Gosford 砂巖試驗數(shù)據(jù)對比Fig.15 Comparison of experimental values and predicted results of two size effect models for No.1 Gosford sandstone

圖16 兩種尺寸效應(yīng)模型預(yù)測編號1 Pilton 砂巖試驗數(shù)據(jù)對比Fig.16 Comparison of experimental values and predicted results of two size effect models for No.2 Pilton sandstone

圖17 兩種尺寸效應(yīng)模型預(yù)測編號3 Pennant 砂巖試驗數(shù)據(jù)對比Fig.17 Comparison of experimental values and predicted results of two size effect models for No.3 Pennant sandstone

圖18 兩種尺寸效應(yīng)模型預(yù)測編號4 Burrington oolite 砂巖試驗數(shù)據(jù)對比Fig.18 Comparison of experimental values and predicted results of two size effect models for No.4 Burrington oolite limestone

圖19 兩種尺寸效應(yīng)模型預(yù)測編號5 Hollington 砂巖試驗數(shù)據(jù)對比Fig.19 Comparison of experimental values and predicted results of two size effect models for No.5 Hollington sandstone

圖20 兩種尺寸效應(yīng)模型預(yù)測編號6 Gambier 石灰石試驗數(shù)據(jù)對比Fig.20 Comparison of experimental values and predicted results of two size effect models for No.6 Gambier limestone

圖21 兩種尺寸效應(yīng)模型預(yù)測編號7 人造巖石試驗數(shù)據(jù)對比Fig.21 Comparison of experimental values and predicted results of two size effect models for No.7 artificial rock

圖22 兩種尺寸效應(yīng)模型預(yù)測編號8 高強石膏試驗數(shù)據(jù)對比Fig.22 Comparison of experimental values and predicted results of two size effect models for No.8 high-strength gypsum

圖23 兩種尺寸效應(yīng)模型預(yù)測編號9 石灰石試驗數(shù)據(jù)對比Fig.23 Comparison of experimental values and predicted results of two size effect models for No.9 limestone

圖24 兩種尺寸效應(yīng)模型預(yù)測編號10 鈦合金試驗數(shù)據(jù)對比Fig.24 Comparison of experimental values and predicted results of two size effect models for No.10 titanium alloy

由于能量平衡尺寸效應(yīng)模型(式(4))不能體現(xiàn)類型3 和4 尺寸效應(yīng)試驗數(shù)據(jù),因此,本文沒有選擇能量平衡尺寸效應(yīng)模型進行對比研究,而選擇如下改進的聯(lián)合尺寸效應(yīng)定律[8]和考慮局部損傷區(qū)變化的能量平衡尺寸效應(yīng)模型進行對比研究.

式中,fm,Di,l和df為模型參數(shù).對表1 中每組試驗數(shù)據(jù),采用和考慮局部損傷區(qū)變化的能量平衡尺寸效應(yīng)模型(式(5))相同的擬合方法確定IUSEL (式(12))的參數(shù)見表4.

表4 不同材料的IUSEL (式(12))擬合參數(shù)值Table 4 The optimized parameters of the IUSEL (Eq.(12)) for different materials

把表3 和表4 中擬合參數(shù)分別代入考慮局部損傷區(qū)變化的能量平衡尺寸效應(yīng)模型(式(5))和IUSEL(式(12)),這兩種尺寸效應(yīng)模型預(yù)測表2 中每組試驗數(shù)據(jù)的結(jié)果如圖15～圖24 所示.對于編號1～9 類型3 尺寸效應(yīng)試驗數(shù)據(jù),可以看出考慮局部損傷區(qū)變化的能量平衡尺寸效應(yīng)模型和分段的IUSEL 預(yù)測結(jié)果差別不大.

從圖24 可以看出IUSEL 不能體現(xiàn)編號10 類型4 尺寸效應(yīng)數(shù)據(jù)變化規(guī)律.而考慮局部損傷區(qū)變化的能量平衡尺寸效應(yīng)模型能很好預(yù)測編號10 類型4 尺寸效應(yīng)數(shù)據(jù)變化規(guī)律.這是因為考慮局部損傷區(qū)變化的能量平衡尺寸效應(yīng)模型能體現(xiàn)試件尺寸D≤rldz時,即LDZ 充滿試樣,試樣體積等于LDZ 體積,這時單軸壓縮試樣名義應(yīng)力應(yīng)變曲線與真實應(yīng)力應(yīng)變曲線重合,名義抗壓強度σnm等于真實抗壓強度fc.同時,采用擬合方法確定式(5)中真實抗壓強度fc為4.4 GPa,這與試驗數(shù)據(jù)確定的fc=4.41 GPa 非常接近.這也證明本文提出的考慮局部損傷區(qū)變化的能量平衡尺寸效應(yīng)模型的正確性.

為了定量對比考慮局部損傷區(qū)變化的能量平衡尺寸效應(yīng)模型和分段的IUSEL 預(yù)測結(jié)果的準(zhǔn)確性.計算兩種模型預(yù)測結(jié)果的確定系數(shù)R2見表5.可以看出,考慮局部損傷區(qū)變化的能量平衡尺寸效應(yīng)模型預(yù)測編號2,8 和10 尺寸效應(yīng)數(shù)據(jù)R2最大,IUSEL預(yù)測編號1,3～7 和9 尺寸效應(yīng)數(shù)據(jù)R2最大.進一步對比發(fā)現(xiàn)考慮局部損傷區(qū)變化的能量平衡尺寸效應(yīng)模型和分段的IUSEL 預(yù)測所有尺寸效應(yīng)數(shù)據(jù)結(jié)果的總平均確定系數(shù)M-R2接近,但是考慮局部損傷區(qū)變化的能量平衡尺寸效應(yīng)模型能描述5 種不同類型的尺寸效應(yīng).

表5 IUSEL 和本文提出模型預(yù)測結(jié)果的確定系數(shù)R2 和總平均確定系數(shù)M-R2Table 5 The determination coefficients of the IUSEL and proposed model for different materials

4 結(jié)論

本文首先通過系統(tǒng)深入分析局部損傷區(qū)隨試件尺寸的變化規(guī)律,提出局部損傷區(qū)(LDZ)尺寸效應(yīng)模型.在此基礎(chǔ)上,建立考慮局部損傷區(qū)隨尺寸變化的能量平衡尺寸效應(yīng)模型.然后分析參數(shù)對考慮局部損傷區(qū)變化的能量平衡尺寸效應(yīng)模型影響.最后采用已有大量試驗數(shù)據(jù)驗證本文尺寸效應(yīng)模型.本文得出主要結(jié)論如下.

(1) 通過對已有試驗和理論研究的系統(tǒng)深入分析可得: 隨著試件尺寸的增大,LDZ 尺寸逐漸非線性增大后趨于恒定.然后提出能準(zhǔn)確描述LDZ 非線性尺寸效應(yīng)的模型.在此基礎(chǔ)上,建立考慮局部損傷區(qū)變化的能量平衡尺寸效應(yīng)模型.

(2) 對考慮局部損傷區(qū)變化的能量平衡尺寸效應(yīng)模型參數(shù)分析表明: LDZ 尺寸與試件尺寸相對變化率之間的競爭是本文尺寸效應(yīng)模型能體現(xiàn)5 種類型的尺寸效應(yīng)的原因;當(dāng)LDZ 尺寸相對變化率大于試件尺寸相對變化率時,呈現(xiàn)上升尺寸效應(yīng);反之,呈現(xiàn)下降尺寸效應(yīng);當(dāng)LDZ 尺寸相對變化率等于試件尺寸相對變化率時,呈現(xiàn)無尺寸效應(yīng)現(xiàn)象.

(3) 應(yīng)用考慮局部損傷區(qū)變化的能量平衡尺寸效應(yīng)模型和IUSEL 預(yù)測類型3 和4 尺寸效應(yīng)試驗數(shù)據(jù),結(jié)果表明: 考慮局部損傷區(qū)變化的能量平衡尺寸效應(yīng)模型能很好預(yù)測各種材料類型3 和4 尺寸效應(yīng)試驗數(shù)據(jù)變化規(guī)律,而IUSEL 不能描述類型4 尺寸效應(yīng)數(shù)據(jù)變化規(guī)律.考慮局部損傷區(qū)變化的能量平衡尺寸效應(yīng)模型和IUSEL 預(yù)測所有尺寸效應(yīng)數(shù)據(jù)的總平均確定系數(shù)接近.