2.5維頻率域可控源電磁法水力壓裂監(jiān)測(cè)正演模擬

余勝紅,唐新功,熊治濤

(1.“油氣資源與勘探技術(shù)”教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(長江大學(xué)),湖北武漢430100;2.南方科技大學(xué)地球與空間科學(xué)系,廣東深圳518055)

水力壓裂是用于非常規(guī)油氣資源開采的一項(xiàng)重要技術(shù)手段之一,目前已被廣泛應(yīng)用于煤層氣和頁巖氣以及干熱巖的開采中[1-2]。其實(shí)質(zhì)是將壓裂液以高壓的形式注入到儲(chǔ)層中,致使儲(chǔ)層中原有的裂縫擴(kuò)展并產(chǎn)生新的裂縫,從而增大儲(chǔ)層滲透率,提高油氣開采效率[3-4]。裂縫的幾何形狀、有效壓裂體積以及擴(kuò)展范圍是評(píng)價(jià)水力壓裂效果的主要參數(shù)。目前,微地震監(jiān)測(cè)因獲取信息多、操作簡(jiǎn)便等優(yōu)勢(shì)成為水力壓裂監(jiān)測(cè)最常用的方法之一[5-6]。然而,當(dāng)壓裂過程結(jié)束后,部分不含支撐劑的裂縫會(huì)發(fā)生閉合現(xiàn)象,而由于微地震監(jiān)測(cè)與壓裂進(jìn)程的同步性,無法準(zhǔn)確獲取壓裂后的有效壓裂體積參數(shù),導(dǎo)致對(duì)產(chǎn)能的預(yù)測(cè)與評(píng)價(jià)與實(shí)際情況產(chǎn)生偏差[7]。而水力壓裂時(shí)所注入壓裂液的電阻率通常比圍巖電阻率低很多,電磁法具有對(duì)于地下電阻率變化反應(yīng)靈敏,尤其對(duì)低阻體反應(yīng)更加靈敏的優(yōu)勢(shì),為電磁法用于監(jiān)測(cè)水力壓裂裂縫的定位和后續(xù)擴(kuò)展范圍評(píng)估提供了物理基礎(chǔ)[8-9]。

目前國內(nèi)外已有一些學(xué)者開展了電磁法監(jiān)測(cè)水力壓裂正反演的研究。YANG等[10]研究了鉆孔電阻率測(cè)量中裂縫橫截面積、形狀及傾斜角度等參數(shù)對(duì)電磁場(chǎng)響應(yīng)的影響,研究結(jié)果表明電磁法對(duì)裂縫的面積、形狀及方位的評(píng)價(jià)具有較好的效果;李洋[11]采用有限元法實(shí)現(xiàn)了大型儲(chǔ)層壓裂裂縫三維空間接收響應(yīng)的快速正演模擬,并模擬了甚低頻(very low frequency,VLF)電磁法非對(duì)稱裂縫的發(fā)育情況;KYUBO等[12]提出了一種粒子映射反演方法進(jìn)行井地電磁水力壓裂監(jiān)測(cè)數(shù)值模擬,利用磁化率對(duì)壓裂后支撐劑的分布進(jìn)行了成像處理;LI等[13]將鋼套管作為長電極源進(jìn)行了壓裂液成像的可檢測(cè)性和可恢復(fù)性研究;CURCIO[14]采用幾種不同的接收裝置對(duì)各向異性組合模型進(jìn)行了水力壓裂監(jiān)測(cè)試驗(yàn),結(jié)果表明,電磁法監(jiān)測(cè)水力壓裂有助于確定裂縫的幾何形狀;范濤等[15]和陳理等[16]的研究結(jié)果表明,電磁數(shù)據(jù)的反演結(jié)果有助于實(shí)現(xiàn)對(duì)裂縫的識(shí)別和定位;由于反演多解性的問題,有學(xué)者提出將電磁法監(jiān)測(cè)與微地震法聯(lián)合應(yīng)用的思路,以彌補(bǔ)各自方法的不足,提高水力壓裂監(jiān)測(cè)的精度[17-18]。這些關(guān)于電磁法監(jiān)測(cè)水力壓裂的正反演研究結(jié)果為電磁法監(jiān)測(cè)水力壓裂的實(shí)際應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)。

近年來,可控源電磁法已被逐漸應(yīng)用到實(shí)際的煤層氣和頁巖氣的水力壓裂監(jiān)測(cè)中。張瑞林等[19]采用瞬變電磁法監(jiān)測(cè)了水力壓裂時(shí)壓裂液的流動(dòng)方向及擴(kuò)展區(qū)域,證明了瞬變電磁法用于監(jiān)測(cè)水力壓裂的可行性;REES等[20]采用大地電磁測(cè)深法(magnetotellurics method,MT)對(duì)頁巖氣儲(chǔ)層進(jìn)行了水力壓裂監(jiān)測(cè),根據(jù)獲取的電磁場(chǎng)數(shù)據(jù),推測(cè)出了裂縫的方向和連通性;YAN等[21]采用時(shí)間域可控源電磁法(time domain electromagnetic method,TDEM)對(duì)頁巖氣壓裂情況進(jìn)行了連續(xù)監(jiān)測(cè),通過對(duì)電阻率作歸一化處理分析了裂縫的空間展布形態(tài),并與實(shí)際的鉆井及地震資料相結(jié)合,驗(yàn)證了TDEM監(jiān)測(cè)頁巖水力壓裂的有效性;ZHANG等[22]分析了電磁法監(jiān)測(cè)評(píng)價(jià)裂縫參數(shù)的原理,通過對(duì)磁場(chǎng)信號(hào)的分析實(shí)現(xiàn)了對(duì)裂縫的長度和高度的評(píng)估;電磁法除了應(yīng)用于非常規(guī)油氣資源的水力壓裂監(jiān)測(cè)之外,也已成功應(yīng)用于地?zé)岬荣Y源的水力壓裂監(jiān)測(cè)中[23-24]。電磁法監(jiān)測(cè)水力壓裂的成功案例表明,該方法提高了對(duì)裂縫識(shí)別定位的精度,因而提高了油氣資源開發(fā)的效率和產(chǎn)量。

時(shí)間域電磁法是目前采用電磁法進(jìn)行水力壓裂監(jiān)測(cè)最常用的方法[25-26]。該方法采用井下激發(fā)和接收的方式獲得較為精確的結(jié)果,但是方法成本高,數(shù)據(jù)處理與解釋難度大,工作效率較低?？煽卦匆纛l大地電磁法(controlled source audio-frequency magnetotellurics,CSAMT)是一種頻率電磁測(cè)深的方法,采用接地導(dǎo)線或不接地線圈作為發(fā)射場(chǎng)源,在波區(qū)測(cè)量正交的電磁場(chǎng)切向分量,并計(jì)算其卡尼亞視電阻率[27]。該方法具有操作簡(jiǎn)便、工作效率高、信噪比高、探測(cè)深度深等優(yōu)點(diǎn),目前已廣泛應(yīng)用于金屬礦產(chǎn)等資源的勘探中[28-31],而在非常規(guī)油氣資源勘探開發(fā)中的應(yīng)用相對(duì)較少[32-34]。實(shí)際的地質(zhì)結(jié)構(gòu)通常具有二維性,而CSAMT的場(chǎng)源具有三維性,將三維場(chǎng)源二維模型稱作2.5維。相比于二維場(chǎng)源的模擬結(jié)果,2.5維的模擬結(jié)果更加符合實(shí)際地質(zhì)情況[35]。CSAMT數(shù)值模擬的方法主要有積分方程法[36-37]、有限差分法[38-39]和有限元法[40-42]。相比于積分方程法和有限差分法,有限元法在模擬幾何形狀復(fù)雜模型方面更具有靈活性,可通過采用非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格精確剖分復(fù)雜的地電模型,因此在復(fù)雜結(jié)構(gòu)的電磁模擬中得到了廣泛應(yīng)用[43-46]。本文基于2.5維CSAMT有限元正演算法開展水力壓裂正演數(shù)值模擬研究,通過設(shè)計(jì)包含鋼套管和裂縫的二維模型來模擬水力壓裂的過程。對(duì)于數(shù)據(jù)的處理,本文采用對(duì)壓裂前、后裂縫的電場(chǎng)響應(yīng)值進(jìn)行殘差處理的方法,以獲得壓裂區(qū)域的純異常響應(yīng),通過對(duì)純異常響應(yīng)特征的分析,闡明了采用CSAMT進(jìn)行水力壓裂監(jiān)測(cè)的可行性。本文的研究將為CSAMT法在水力壓裂監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用提供理論基礎(chǔ),并將CSAMT法拓展到水力壓裂監(jiān)測(cè)的應(yīng)用中。

1 2.5維CSAMT有限元法正演理論

1.1 2.5維CSAMT偏微分方程

準(zhǔn)靜態(tài)條件下電性源頻率域的Maxwell方程組為(取正時(shí)諧eiωt):

(1)

假設(shè)異常體的走向沿著y軸方向無限延伸,地下為各向同性介質(zhì),即沿著y軸方向電導(dǎo)率σ、磁導(dǎo)率μ、介電常數(shù)ε均保持不變,只在x-z平面內(nèi)發(fā)生變化,電偶極子置于y軸與異常體走向平行,且偶極子中心位于坐標(biāo)原點(diǎn),將(1)式沿y方向作傅里葉變換后,再聯(lián)立方程組即可得到波數(shù)域中其它方向電磁場(chǎng)分量的求解表達(dá)式:

(2)

(3)

(4)

(5)

將(2)～(5)式分別代入(1)式,可得:

(6)

(7)

1.2 2.5維CSAMT有限元求解過程

1.2.1 有限元計(jì)算方程

本文采用伽遼金(Galerkin)法,以(6)式和(7)式為基礎(chǔ),通過推導(dǎo)相應(yīng)的有限元計(jì)算方程,得到節(jié)點(diǎn)電磁場(chǎng)的線性方程組:

(8)

(9)

1.2.2 單元分析

本文采用規(guī)則的矩形單元進(jìn)行網(wǎng)格剖分,考慮到計(jì)算速度的問題,在源和觀測(cè)區(qū)域網(wǎng)格剖分較密,在遠(yuǎn)離源和觀測(cè)區(qū)域網(wǎng)格逐漸稀疏。本文采用4節(jié)點(diǎn)雙線性插值單元,第e個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)局部編碼見圖1,雙線性插值單元的插值函數(shù)表達(dá)式如(10)式所示。

圖1 雙線性差值剖分單元示意

(10)

(8)式和(9)式經(jīng)坐標(biāo)域轉(zhuǎn)換后的表達(dá)式為:

(11)

(12)

(11)式和(12)式可簡(jiǎn)化為以下形式:

(13)

其中,

(14)

(15)

(16)

(17)

1.2.3 剛度矩陣的合成

(13)式為單元e的電磁場(chǎng)線性方程組,可以寫成如下形式:

(18)

1.2.4 場(chǎng)源的加載

為解決場(chǎng)源的奇異性問題,本文采用偽δ函數(shù)來等效場(chǎng)源。當(dāng)偽δ函數(shù)中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)處時(shí),其表達(dá)式如下[47]:

(19)

式中:r表示當(dāng)電偶極子源中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),空間任意一點(diǎn)相對(duì)于電偶極子源點(diǎn)的位置;參數(shù)τ控制著發(fā)射源的規(guī)模和寬度,其值應(yīng)設(shè)為場(chǎng)源附近網(wǎng)格步長的整數(shù)倍,本文取τ=10。由于本文采用4節(jié)點(diǎn)矩形網(wǎng)格,因此場(chǎng)源被分配到了緊鄰源點(diǎn)附近的16個(gè)網(wǎng)格單元上。將(19)式的源項(xiàng)代入(11)式和(12)式,在等效源加載的節(jié)點(diǎn)處作相應(yīng)的場(chǎng)源加載即可。

1.2.5 反傅里葉變換

(20)

式中:F(x,ky,z,ω)為被積核函數(shù),表示波數(shù)域的電磁場(chǎng)分量。根據(jù)(2)式至(5)式即可求得波數(shù)域的其它電磁場(chǎng)結(jié)果,進(jìn)而可以求得空間域的Ex和Hx。

1.2.6 波數(shù)的選取

前文對(duì)2.5維CSAMT進(jìn)行有限元分析及求解過程中均在波數(shù)域內(nèi)進(jìn)行,要得到空間域的電磁場(chǎng)值還需進(jìn)行傅里葉逆變換。根據(jù)傅里葉逆變換的公式可知,理論上傅里葉逆變換的積分范圍為無窮大,即需要進(jìn)行無窮多次的正演計(jì)算,這是無法實(shí)現(xiàn)的。考慮到計(jì)算精度和速度的問題,本文參照了MITSUHATA[47]選取波數(shù)的方式,令波數(shù)ky取值上限為:

(21)

式中:Δ為區(qū)域離散的最小網(wǎng)格步長。波數(shù)的選取個(gè)數(shù)及分布決定著反傅里葉變換的精度。在給定的取值范圍內(nèi)(ky≤1/Δ),波數(shù)選取的個(gè)數(shù)越多,計(jì)算精度越高,同時(shí)計(jì)算量也越大。為了兼顧計(jì)算精度和計(jì)算量,一般在每個(gè)對(duì)數(shù)等間隔內(nèi)取5～10個(gè)波數(shù),便能夠保證足夠的計(jì)算精度。在本文計(jì)算中,波數(shù)的取值范圍為10-6～1/Δ,在每個(gè)對(duì)數(shù)間隔內(nèi)取7個(gè)波數(shù),共36個(gè)波數(shù)。

2 正演數(shù)值模擬

2.1 算法有效性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證2.5維CSAMT正演算法的正確性和精度,首先設(shè)計(jì)了均勻半空間和一維層狀介質(zhì)模型進(jìn)行算法驗(yàn)證。設(shè)置的均勻半空間模型的電阻率為100Ω·m,發(fā)射源沿構(gòu)造走向y方向布設(shè),源中心點(diǎn)的坐標(biāo)位于原點(diǎn),長度為100m,電流強(qiáng)度為1A,測(cè)點(diǎn)位于x=7044m的位置。設(shè)計(jì)的3層H型模型的第1層電阻率為100Ω·m,厚度為528m;第2層電阻率為10Ω·m,厚度為200m;第3層電阻率為100Ω·m,其它參數(shù)均與均勻半空間模型保持一致,頻率范圍取為10-1～103Hz。圖2和圖3分別為采用本文算法計(jì)算的均勻半空間模型和3層H型模型的視電阻率解析解[27]與數(shù)值解結(jié)果的對(duì)比及其相對(duì)誤差曲線。從圖2和圖3可以看出,均勻半空間模型和層狀模型的視電阻率在高頻段(遠(yuǎn)區(qū))時(shí)數(shù)值解與解析解的相對(duì)誤差較小,二者基本擬合;在中低頻段(近區(qū))時(shí),均勻半空間模型的視電阻率相對(duì)誤差在1.8%以內(nèi),層狀模型的視電阻率相對(duì)誤差在1.5%以內(nèi),誤差在可接受范圍內(nèi),驗(yàn)證了本文算法的準(zhǔn)確性并保證了足夠的精度。

圖2 均勻半空間模型視電阻率(ρs)解析解與數(shù)值解結(jié)果對(duì)比(a)及相對(duì)誤差曲線(b)

圖3 3層H型模型視電阻率解析解與數(shù)值解結(jié)果對(duì)比(a)及相對(duì)誤差曲線(b)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文算法的準(zhǔn)確性,計(jì)算了100Ω·m均勻半空間下距離場(chǎng)源50m的測(cè)點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度數(shù)值解與解析解結(jié)果,如圖4所示。從圖4可以看出,隨著頻率的降低,電場(chǎng)強(qiáng)度迅速下降;當(dāng)頻率降低到約25Hz后,電場(chǎng)幅值變化緩慢。從圖4還可以看出,數(shù)值解與解析解在高頻段誤差較小,而在低頻段二者誤差略微增大,但整體的誤差均小于1.6%,表明了本文算法在近區(qū)同樣具有足夠的精度。

圖4 均勻半空間下距離場(chǎng)源50m測(cè)點(diǎn)電場(chǎng)幅值數(shù)值解與解析解結(jié)果對(duì)比(a)及相對(duì)誤差曲線(b)

在實(shí)際應(yīng)用中,場(chǎng)源下方的地電結(jié)構(gòu)對(duì)電磁場(chǎng)的影響規(guī)律至關(guān)重要。因此,首先設(shè)計(jì)了在均勻半空間條件下,場(chǎng)源下方存在一個(gè)電阻率為10Ω·m、埋深為428m、大小為200m×300m的二維低阻異常體模型,發(fā)射源沿構(gòu)造走向y方向布設(shè),源中心點(diǎn)的坐標(biāo)位于原點(diǎn),長度為100m,電流強(qiáng)度為1A。分別計(jì)算了場(chǎng)源下存在異常體和不存在異常體時(shí)電場(chǎng)和磁場(chǎng)的空間分布,計(jì)算結(jié)果如圖5所示。從圖5可以看出,當(dāng)場(chǎng)源下方存在低阻異常體時(shí),在場(chǎng)源附近及異常體所對(duì)應(yīng)的深度(lgf約為1.5Hz)范圍內(nèi),電場(chǎng)和磁場(chǎng)會(huì)有略微的增強(qiáng),但由于場(chǎng)源的影響,其變化并不明顯。在遠(yuǎn)區(qū),無論場(chǎng)源下方是否存在異常體,二者電場(chǎng)和磁場(chǎng)的響應(yīng)基本相同。計(jì)算結(jié)果表明,采用可控源電磁法探測(cè)地下低阻裂縫時(shí),與場(chǎng)源下方是否存在異常體的關(guān)系不明顯。

圖5 均勻半空間條件下場(chǎng)源下方無異常體和有異常體時(shí)電場(chǎng)和磁場(chǎng)的空間分布a 場(chǎng)源下無異常體時(shí)電場(chǎng)空間分布; b 場(chǎng)源下存在異常體時(shí)電場(chǎng)空間分布; c 場(chǎng)源下無異常體時(shí)磁場(chǎng)空間分布; d 場(chǎng)源下存在異常體時(shí)磁場(chǎng)空間分布

根據(jù)頁巖氣水力壓裂的實(shí)際情形和電導(dǎo)率參數(shù),設(shè)計(jì)了二維模型來模擬水力壓裂的過程,正演計(jì)算了不同模型的電場(chǎng)響應(yīng)結(jié)果,分析了CSAMT對(duì)水力壓裂裂縫位置的探測(cè)情況。在進(jìn)行數(shù)值模擬時(shí),充分考慮了鋼套管的影響。

2.2 發(fā)射源靠近井

圖6為二維模型示意圖。在背景電導(dǎo)率σb=0.01S/m的均勻半空間內(nèi)放置一個(gè)直徑為0.1m、由550m的垂直井和一個(gè)2000m的水平井組合而成的鋼套管井,以模擬水平井的壓裂過程。沿著y方向布設(shè)的電偶極子長度為100m,電流大小為1A,其中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,偶極子中心與井口的距離為50m。在進(jìn)行數(shù)值模擬時(shí),鋼套管的電導(dǎo)率設(shè)置為106S/m[48],壓裂液為泥質(zhì)流體,電導(dǎo)率取為3S/m[8]。由于鋼套管和壓裂液的電導(dǎo)率均與背景電導(dǎo)率差異較大,本文將鋼套管和壓裂液作為一個(gè)整體,并令其電導(dǎo)率σc=106S/m,空氣電導(dǎo)率σair=10-8S/m。共模擬了3個(gè)水平壓裂段,自右至左分別為壓裂段1(stage1)、壓裂段2(stage2)和壓裂段3(stage3)。壓裂的順序從水平井的右端按照stage1、stage2、stage3依次向左進(jìn)行。其中,stage1裂縫的水平位置為x=2000m;stage2裂縫的水平位置為x=1800m;stage3裂縫的水平位置為x=1600m。將每個(gè)壓裂段生成的裂縫等效為一個(gè)寬度為0.1m、長度為200m的垂直矩形薄板(圖6),裂縫內(nèi)支撐劑和壓裂液混合物的有效電導(dǎo)率σf=2500S/m[48-49]。

圖6 發(fā)射源靠近井口時(shí)的水力壓裂模型示意

測(cè)線以50m為測(cè)點(diǎn)間距、沿著x方向從井口向右布設(shè),共60個(gè)測(cè)點(diǎn),覆蓋長度為2950m。研究區(qū)域部分網(wǎng)格剖分如圖7所示。x、z方向的網(wǎng)格數(shù)分別為Nx=180、Nz=72,空氣層數(shù)量為18層,地層數(shù)量為54層。其中場(chǎng)源、鋼套管及裂縫處區(qū)域網(wǎng)格剖分較密,其它區(qū)域網(wǎng)格剖分較稀疏。場(chǎng)源處網(wǎng)格最小步長為10m;鋼套管處網(wǎng)格最小步長為0.025m;裂縫處網(wǎng)格最小步長為0.02m。挑選了1,10,30,50,80,100Hz共6個(gè)頻點(diǎn)的電場(chǎng)響應(yīng)結(jié)果進(jìn)行展示。

圖7 發(fā)射源靠近井口時(shí)的水力壓裂模型研究區(qū)域網(wǎng)格剖分示意

為了突出每個(gè)壓裂段視電阻率的變化,采用(22)式對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了相對(duì)差異處理:

(22)

式中:ρxi為第i個(gè)壓裂段的視電阻率;ρxc為僅含套管(無裂縫)時(shí)的視電阻率;R1為二者取對(duì)數(shù)后的相對(duì)差異。

壓裂前、后的計(jì)算結(jié)果如圖8所示。其中,s1-c表示stage1與僅含套管時(shí)視電阻率的相對(duì)差異結(jié)果;s2-c表示stage2與僅含套管時(shí)視電阻率的相對(duì)差異結(jié)果;s3-c表示stage3與僅含套管時(shí)視電阻率的相對(duì)差異結(jié)果。從圖8可以看出,當(dāng)頻率從1Hz增加到100Hz時(shí),在對(duì)應(yīng)于1200～2000m的三段裂縫的范圍內(nèi),視電阻率相對(duì)差異值從負(fù)值逐漸過渡到正負(fù)相間再過渡到正值,這是因?yàn)轭l率越低,CSAMT方法的探測(cè)深度越深,反之越淺。根據(jù)本文設(shè)置的模型參數(shù),當(dāng)頻率分別為1Hz、10Hz和30Hz時(shí),視電阻率的相對(duì)差異值較大,此時(shí)主要反映了裂縫的視電阻率;當(dāng)頻率上升為80Hz和100Hz時(shí),視電阻率的相對(duì)差異值較小,曲線主要反映了淺部結(jié)構(gòu)的特征,即背景視電阻率響應(yīng);當(dāng)頻率大約為50Hz時(shí),曲線主要反映了二者過渡區(qū)域的視電阻率響應(yīng)特征。從圖8還可以看出,曲線左側(cè)壓裂前、后視電阻率的相對(duì)差異值均為0,表明在該區(qū)域尚未生成裂縫,不同頻率下3條曲線的極值均在1600～2000m,即分別對(duì)應(yīng)著三段壓裂的地面投影位置。當(dāng)頻率固定時(shí),隨著壓裂進(jìn)程從最右側(cè)的stage1向最左側(cè)的stage3移動(dòng)時(shí),每條曲線對(duì)應(yīng)的極值也具有向左偏移的趨勢(shì),這是因?yàn)殡S著壓裂過程的進(jìn)行,左邊不斷產(chǎn)生新的裂縫,曲線的峰值不斷地向新生裂縫的位置偏移,因此從曲線極值點(diǎn)可以定性和動(dòng)態(tài)地反映出新生裂縫的位置。

圖8 發(fā)射源接近井口時(shí)壓裂前后不同頻率下各壓裂段與僅含套管時(shí)視電阻率的相對(duì)差異曲線a～f 頻率分別為1Hz、10Hz、30Hz、50Hz、80Hz和100Hz

為了更清晰地闡明CSAMT方法對(duì)每個(gè)壓裂段裂縫位置的探測(cè)情況,對(duì)相鄰兩個(gè)壓裂段的視電阻率也進(jìn)行相對(duì)差異處理,根據(jù)其視電阻率差異曲線進(jìn)一步分析每個(gè)壓裂段裂縫的位置情況。相對(duì)差異計(jì)算公式為:

(23)

式中:ρxi為第i個(gè)壓裂段視電阻率的值;ρx(i-1)為第i-1個(gè)壓裂段視電阻率的值;R2為二者取對(duì)數(shù)后的相對(duì)差異。當(dāng)i=1時(shí),R2=R1。

圖9展示了對(duì)裂縫位置反映最明顯的1Hz和10Hz時(shí)相鄰兩個(gè)壓裂段視電阻率的相對(duì)差異曲線。其中,s1-c表示stage1與僅含套管時(shí)視電阻率的相對(duì)差異結(jié)果;s2-s1表示stage2與stage1視電阻率的相對(duì)差異結(jié)果;s3-s2表示stage3與stage2視電阻率的相對(duì)差異結(jié)果。從圖9可以看出,隨著壓裂過程的持續(xù),曲線的極小值也明顯具有向左偏移的趨勢(shì),即曲線的極小值與每個(gè)壓裂段所產(chǎn)生的裂縫的位置具有良好的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

圖9 發(fā)射源接近井口時(shí)1Hz(a)和10Hz(b)頻率下相鄰兩個(gè)壓裂段視電阻率的相對(duì)差異曲線

2.3 發(fā)射源遠(yuǎn)離井口

由于CSAMT法通常是在遠(yuǎn)區(qū)或波區(qū)進(jìn)行觀測(cè),因此設(shè)計(jì)了如圖10所示的發(fā)射源遠(yuǎn)離井口的正演模型。與發(fā)射源接近井口模型不同的是,此處垂直鋼套管(井口)距發(fā)射源的水平距離增大為7600m。本次數(shù)值模擬也分為3個(gè)壓裂段,壓裂的順序改為從水平井左端依次向右分別按照壓裂段1(stage1)、壓裂段2(stage2)、壓裂段3(stage3)進(jìn)行壓裂(圖10)。

圖10 發(fā)射源遠(yuǎn)離井口時(shí)的水力壓裂模型示意

其中,stage1裂縫的水平位置為x=6000m;stage2裂縫的水平位置為x=6200m;stage3裂縫的水平位置為x=6400m。128個(gè)測(cè)點(diǎn)以點(diǎn)距50m沿著x方向從3000m到9350m,長度為6350m,其余參數(shù)均與前面的模型一致。網(wǎng)格剖分方式除改變鋼套管和裂縫的位置外,其它網(wǎng)格剖分方式均與圖7一致(圖11)。計(jì)算了1Hz,10Hz,30Hz,50Hz,80Hz和100Hz共6個(gè)頻點(diǎn)的視電阻率響應(yīng)結(jié)果,采用(22)式對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行相對(duì)差異處理,計(jì)算結(jié)果如圖12所示。

圖11 發(fā)射源遠(yuǎn)離井口時(shí)的水力壓裂模型研究區(qū)域網(wǎng)格剖分示意

圖12 發(fā)射源遠(yuǎn)離井口時(shí)壓裂前后不同頻率下各壓裂段與僅含套管時(shí)視電阻率的相對(duì)差異曲線a～f 頻率分別為1Hz,10Hz,30Hz,50Hz,80Hz和100Hz

從圖12可以看出,當(dāng)頻率從1Hz增加到100Hz時(shí),對(duì)應(yīng)于6000～6400m的裂縫位置范圍內(nèi),視電阻率的相對(duì)差異值從負(fù)值逐漸過渡到正負(fù)相間再過渡到正值,隨著頻率的增加,視電阻率的相對(duì)差異值也逐漸減小,其原因與圖8相同,不再贅述。從圖12還可以看出,在對(duì)應(yīng)于6000～6400m裂縫上方的收發(fā)距位置,不論低頻還是高頻,視電阻率的相對(duì)差異均發(fā)生了顯著變化。在同一頻率下,隨著壓裂過程的進(jìn)行,曲線的極值逐漸向右移動(dòng),即向裂縫新生成的方向發(fā)生偏移,曲線峰值不僅體現(xiàn)了先前壓裂的舊裂縫位置,也體現(xiàn)出了新生裂縫的位置,表明了根據(jù)頻率域可控源電磁法視電阻率的相對(duì)差異曲線對(duì)裂縫形成的位置進(jìn)行初步定位是完全可行的。

為了更清晰地闡明CSAMT方法對(duì)每個(gè)壓裂段裂縫位置的探測(cè)情況,同樣采用了(23)式對(duì)視電阻率進(jìn)行相對(duì)差異處理,即計(jì)算了相鄰兩個(gè)壓裂段視電阻率的相對(duì)差異,根據(jù)設(shè)置的模型參數(shù)及對(duì)圖12的分析,此處只展示了對(duì)裂縫位置反映最明顯的1Hz和10Hz時(shí)視電阻率的相對(duì)差異結(jié)果,如圖13所示。從圖13可以看出,在6000～7000m范圍內(nèi),s2-s1和s3-s2視電阻率的相對(duì)差異曲線呈現(xiàn)先增大再減小最后再逐漸增大的趨勢(shì),最終趨近于0。其中,s2-s1視電阻率相對(duì)差異曲線的極大值所對(duì)應(yīng)的位置與stage2所產(chǎn)生的裂縫位置(x=6200m)相對(duì)應(yīng);s3-s2視電阻率的相對(duì)差異曲線的極大值所對(duì)應(yīng)的位置則與stage3所產(chǎn)生的裂縫位置(x=6400m)相對(duì)應(yīng),即相鄰兩個(gè)壓裂段視電阻率的相對(duì)差異極大值所對(duì)應(yīng)的位置與新生成裂縫的位置一致。

圖13 發(fā)射源遠(yuǎn)離井口時(shí)頻率為1Hz(a)和10Hz(b)時(shí)相鄰兩個(gè)壓裂段視電阻率的相對(duì)差異曲線

為了更加直觀地顯示相鄰兩個(gè)壓裂段視電阻率特征的變化,對(duì)圖10所示模型相鄰兩個(gè)壓裂段的視電阻率直接進(jìn)行了殘差處理,繪制出相應(yīng)的擬斷面圖。圖14為發(fā)射場(chǎng)源遠(yuǎn)離井口時(shí)相鄰兩個(gè)壓裂段的視電阻率殘差擬斷面圖。圖14涵蓋了3段水平井壓裂的區(qū)域。

圖14 發(fā)射場(chǎng)源遠(yuǎn)離井口時(shí)相鄰兩個(gè)壓裂段的視電阻率殘差擬斷面a stage1與僅含套管時(shí)的視電阻率殘差擬斷面; b stage2與stage1的視電阻率殘差擬斷面; c stage3與stage2的視電阻率殘差擬斷面

從圖14可以看出,隨著壓裂過程的進(jìn)行,相鄰兩個(gè)壓裂段的視電阻率發(fā)生了明顯的變化。在x=6000～6400m、f=1～30Hz范圍內(nèi),視電阻率的殘差值較大,體現(xiàn)出stage1裂縫所在的大致位置。由于場(chǎng)源的影響會(huì)使得異常體沿著遠(yuǎn)離場(chǎng)源的一側(cè)稍稍被拉伸[50],因此異常區(qū)域的中心位置與stage1所產(chǎn)生裂縫的中心位置并不完全一致,而是稍微偏向裂縫的右側(cè)(圖14a)。在x=6200～6600m、f=1～30Hz范圍內(nèi),視電阻率的殘差值也產(chǎn)生了相當(dāng)明顯的異常區(qū)域,異常區(qū)域的中心也對(duì)應(yīng)于stage2所產(chǎn)生的裂縫中心的稍微右側(cè)位置(圖14b)。在x=6400～6800m,f=1～30Hz范圍內(nèi),視電阻率的殘差值異常也非常明顯,異常區(qū)域的中心也對(duì)應(yīng)于stage3所產(chǎn)生的裂縫中心稍微右側(cè)的位置(圖14c)。雖然3個(gè)壓裂段的視電阻率殘差的峰值與裂縫位置并不完全一致,但差異很小,因此根據(jù)視電阻率的殘差響應(yīng),可以對(duì)每個(gè)壓裂段所產(chǎn)生的裂縫進(jìn)行大致定位。

3 結(jié)論

1) 隨著壓裂過程的進(jìn)行,壓裂前、后的視電阻率會(huì)發(fā)生變化,視電阻率的相對(duì)差異曲線的極值會(huì)朝著裂縫新生成的方向偏移,其移動(dòng)的方向和范圍與新生裂縫的位置具有良好的對(duì)應(yīng)關(guān)系。根據(jù)視電阻率的相對(duì)差異曲線極值的位置可以對(duì)裂縫進(jìn)行大致定位。

2) 在裂縫所對(duì)應(yīng)的位置處,視電阻率產(chǎn)生了足夠大的殘差值,但由于受到場(chǎng)源的影響,異常區(qū)域的中心與裂縫的中心并不一一對(duì)應(yīng),而是稍微偏向裂縫位置的右側(cè)。根據(jù)相鄰兩個(gè)壓裂段視電阻率的殘差結(jié)果可以對(duì)裂縫的位置進(jìn)行初步定位。

3) 從計(jì)算結(jié)果還可以看出,無論是在近區(qū)還是遠(yuǎn)區(qū)觀測(cè),頻率域可控源電磁法的視電阻率對(duì)裂縫的響應(yīng)特征是一致的,即視電阻率的相對(duì)差異極值偏移的方向均與裂縫新生成的方向一致。因此,可以根據(jù)曲線極值的偏移對(duì)新生裂縫的位置進(jìn)行初步定位。計(jì)算結(jié)果表明了頻率域可控源電磁法對(duì)于水力壓裂裂縫的定位是可行的。本文的研究對(duì)于指導(dǎo)頁巖氣與干熱巖等致密儲(chǔ)層的水力壓裂監(jiān)測(cè)具有參考價(jià)值。