2023年高考數(shù)學全國乙卷理科第20題的6種證法及推廣

賈方正

【摘要】對高考試題的研究既有利于教師明確考試重點和命題方向，也有利于學生總結(jié)解題技巧與方法，對高考備考具有非常積極的影響.2023年高考數(shù)學全國乙卷理科第20題———解析幾何綜合題考查了直線與圓錐曲線的位置關系及其運算，具有很好的區(qū)分度.筆者對其進行了深入探究，給出該題的6種證明方法，并對試題進行推廣，希望借此幫助相關教師總結(jié)教法，幫助學生提高解題效率.

【關鍵詞】2023年高考；全國乙卷；解析幾何；推廣

試題承擔著對較高水平考生的鑒別任務，通過增加思維強度來選拔拔尖創(chuàng)新人才.2023年高考試題對考生的能力要求較高，呈現(xiàn)出“反刷題”的現(xiàn)象，要求考生從“機械刷題”和“題海戰(zhàn)術(shù)”中跳出來.其中的全國乙卷理科第20題，以高等幾何中的極點與極線為命題背景，注重對數(shù)學本質(zhì)及其應用性的考查，具有很好的選拔功能.

一、真題再現(xiàn)

2023年高考數(shù)學全國乙卷理科第20題如下：

結(jié) 語

試題的解決過程也是考生經(jīng)歷猜想和假設、轉(zhuǎn)化和化歸、實驗和論證等問題研究的過程.教師通過對高考試題進行深度研究，可促進自身的專業(yè)發(fā)展，從而更好地服務于教學.該題雖然證明的是線段的中點為定點，但實質(zhì)是證明直線的斜率之和為定值.對于定值問題，解決的方法主要有常規(guī)方法、同構(gòu)方法、曲線系方法、齊次化方法等.有興趣的讀者還可以對該題的高等數(shù)學背景進行深度探究，然后基于高等數(shù)學背景對該題進行推廣，還可以對該題進行改編，甚至基于極點與極線命制出高質(zhì)量的原創(chuàng)題.

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